גרסת הדפסה | החוברת

מתי שני ביטויים שנראים שונים הם בעצם אותו הדבר?

ביטויים שווי ערך

שני ביטויים אלגבריים הם שווי ערך אם ערכם המספרי זהה עבור כל הצבה אפשרית של המשתנה. זה כמו שני מסלולים שונים שתמיד מגיעים לאותה תחנה.

למשל: $x + x + x$ ו- $3 x$ נראים שונים, אבל הם תמיד נותנים אותה תוצאה. הם שווי ערך.

מתי שווים?: ערך זהה לכל הצבה אפשרית
איך בודקים?: הצבה או פישוט אלגברי
למה חשוב?: בסיס לפישוט ביטויים ופתרון משוואות

ההבדל בין שוויון ערך למשוואה

שוויון ערך מול משוואה

שוויון ערך (זהות)

שני ביטויים שווים לכל ערך של המשתנה.
לא משנה מה נציב - התוצאה תמיד זהה.

$x + x = 2 x$ (נכון לכל $x)$

משוואה

שוויון שנכון רק עבור ערכים מסוימים של המשתנה.
רק הצבות ספציפיות נותנות שוויון.

$2 x + 1 = 5$ (נכון רק כש- $x = 2)$

חשוב להבין את ההבדל: שוויון ערך הוא "תמיד נכון", משוואה היא "לפעמים נכונה".

איך בודקים שוויון ערך?

שתי שיטות לבדיקה

שיטה 1: הצבה

הציבו ערכים שונים בשני הביטויים ובדקו אם התוצאות זהות. שימו לב: הצבה אחת לא מספיקה להוכיח שוויון, אבל הצבה אחת מספיקה להפריך!

שיטה 2: פישוט אלגברי

פשטו את שני הביטויים (כינוס איברים דומים, פתיחת סוגריים). אם קיבלתם את אותו ביטוי - הם שווים!

דוגמאות פתורות

בדיקת שוויון ערך

שווים: $2 (x + 3)$ ו- $2 x + 6$

$x = 1$ : $2 (4) = 8$ , $2 + 6 = 8$
$x = 5$ : $2 (8) = 16$ , $10 + 6 = 16$
אלגברית: $2 (x + 3) = 2 x + 6$
שווי ערך!

לא שווים: $(x + 2)^{2}$ ו- $x^{2} + 4$

$x = 1$ : $(3)^{2} = 9$ , $1 + 4 = 5$
$9 \neq = 5$ .
לא שווי ערך!
(הצבה אחת מספיקה)

שווים: $x + x + x$ ו- $3 x$

$x = 7$ : $7 + 7 + 7 = 21$ , $3 \cdot 7 = 21$
$x = - 2$ : $- 2 - 2 - 2 = - 6$ , $3 (- 2) = - 6$
מובן מאליו: שווי ערך!

שווים: $4 x - 2 x$ ו- $2 x$

$x = 10$ : $40 - 20 = 20$ , $2 \cdot 10 = 20$
אלגברית: $4 x - 2 x = (4 - 2) x = 2 x$
שווי ערך!

הטעות הכי נפוצה

פתרון מודרך - הוכחת שוויון ערך

האם m 3 (x + 2) + x / m שווהל - m 4 x + 6 / m ?

פותחים סוגריים בביטוי הראשון לפי חוק הפילוג
$3 x + 6 + x$
כונסים איברים דומים ( $3 x + x = 4 x)$
$4 x + 6$
קיבלנו בדיוק את הביטוי השני!
$3 (x + 2) + x \equiv 4 x + 6$

תשובה:

כן, שוויערך

תרגיל

תרגיל - להפריך שוויון בהצבה

הפריכו שהביטויים $x^{2} + 4$ ו- $(x + 2)^{2}$ שווי ערך. מצאו $x$ שעבורו הם נותנים תוצאות שונות.

כללים לשוויון ערך

שוויונות חשובים לזכור

ביטוי א׳	ביטוי ב׳	הסבר
$x + x$	$2 x$	חיבור חוזר = כפל
$3 x + 2 x$	$5 x$	כינוס איברים דומים
$2 (x + 3)$	$2 x + 6$	חוק הפילוג
$\frac{x}{2} + \frac{x}{2}$	$x$	חיבור שברים
$x \cdot 1$	$x$	כפל באיבר ניטרלי
$x + 0$	$x$	חיבור אפס

שאלות לחשיבה

האם הביטויים $x^{2}$ ו- $2 x$ שווי ערך?

נתונים הביטויים $3 (2 x - 1)$ ו- $6 x - 3$ . האם הם שווי ערך?

האם $\frac{x}{2} + \frac{x}{2}$ שווה ל- $x$ ?

סיכום

שוויון ערך

ביטויים שנותנים אותה תוצאה לכל הצבה. להוכחה: פישוט אלגברי.

להפריך = קל!

מספיקה הצבה אחת שנותנת תוצאות שונות כדי להוכיח שביטויים לא שווים.

השוואת ביטויים בפעולה

בחרו זוג ביטויים, הזיזו את

x

, וראו מתי הצדדים שווים ומתי הם נפרדים. אם בכל הצבה שבדקתם הצדדים יצאו זהים, זו רמז חזק לשקילות - והפישוט האלגברי מוכיח את זה סופית.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.האם הביטויים $3 (x + 2)$ ו- $3 x + 6$ שווי ערך?

כן, שווים לכל הצבה
לא, שווים רק ל- $x = 0$
לא, אף פעם לא שווים
כן, שווים רק למספרים חיוביים

2.האם הביטויים $x + x + x$ ו- $3 x$ שווי ערך?

כן
לא
רק כשx חיובי
רק כשx שלם

3.הציבו $x = 2$ בביטוי $4 (x - 1)$ . מה התוצאה?

4.איזה ביטוי שווה ל- $5 x + 10$ ?

$5 (x + 2)$
$5 (x + 10)$
$5 x + 2$
$x + 10$

5.כדי להוכיח ששני ביטויים לא שווים, מספיקה:

הצבה אחת שנותנת ערכים שונים
שלוש הצבות
הוכחה אלגברית בלבד
הצבת $x = 0$ בלבד