החוברת · דף לימוד
מהו משתנה?
מתמטיקה · כיתה ז׳ · פרק 1: משתנים וביטויים אלגבריים
הצעד הראשון לעולם האלגברה - מגלים את הכוח של סימנים שמייצגים מספרים
ברוכים הבאים לאלגברה!
דמיינו שיש לכם קופסה שבתוכה מספר סודי. אתם לא יודעים מה המספר, אבל אתם יכולים לתאר מה קורה איתו - להוסיף לו , להכפיל אותו ב-, או לעשות איתו כל דבר. ה"קופסה" הזו היא בדיוק מה שנקרא משתנה.
במודול הזה נגלה למה משתנים הם הכלי החזק ביותר במתמטיקה, ואיך הם מאפשרים לנו לתאר חוקיות שנכונה לכל המספרים - לא רק למספר אחד.
- מה נלמד?: מהו משתנה ולמה הוא כל כך שימושי
- ארבעה תפקידים: נעלם, קבוע, ניסוח כללי ופרמטר
- מהחיים: דוגמאות אמיתיות מהעולם שלכם
מה זה בעצם משתנה?
מהמשבצת לאות
ההתפתחות: ממשבצת למשתנה
בית ספר יסודי - משבצת
המשבצת מייצגת מספר אחד ספציפי שצריך למצוא.
(תשובה אחת ויחידה)
כיתה ז׳ - משתנה
הוא ביטוי כללי.
אפשר להציב בו כל מספר!
נותן , נותן , נותן
המעבר לאותיות פותח לנו עולם שלם של אפשרויות - עכשיו אפשר לתאר חוקים כלליים
ארבעת התפקידים של משתנה
1. נעלם - ערך שמחפשים
דוגמה:
כאן הוא הנעלם. אנחנו מחפשים: מה המספר שאם נכפיל ב- ונוסיף , נקבל ?
התשובה:
2. קבוע - ערך קבוע אך לא ידוע
דוגמה: כל תלמיד קיבל ספרים בתחילת השנה.
הערך של קבוע (כולם קיבלו את אותו מספר), אבל לא נאמר כמה.
3. ניסוח כללי - נכון לכולם
דוגמה:
לא משנה איזה מספר נבחר - סכום שני מספרים זהים הוא תמיד פעמיים המספר.
4. פרמטר - משפיע על המצב
דוגמה:
כאן הוא פרמטר. אם , הקו עובר דרך ראשית הצירים. אם , הקו מוזז למעלה.
דוגמאות מהחיים האמיתיים
משתנים סביבנו
קניות בסופר
קניתם ק"ג תפוחים ב- שקל לק"ג.
העלות הכוללת: שקל.
אם : עלות = שקל.
אם : עלות = שקל.
נסיעה באוטובוס
באוטובוס יש מושבים. עלו נוסעים.
מושבים פנויים: .
אם : נשארו מושבים.
אם : האוטובוס מלא!
ציון במבחן
במבחן יש שאלות, כל אחת שווה נקודות.
ציון מקסימלי: נקודות.
אם : ציון מקסימלי .
היקף משולש שווה צלעות
כל צלע של משולש שווה ס"מ.
ההיקף: ס"מ.
אם : היקף ס"מ.
מדוע משתנים כל כך שימושיים?
הכוח של הכללה
בלי משתנים, נצטרך לחשב כל מקרה בנפרד. עם משתנים, כתיבה אחת מספיקה לכל המקרים!
משתנים חוסכים לנו זמן ומאפשרים לתאר חוקיות כללית בכתיבה אחת.
מה מותר ומה אסור בבחירת משתנה?
כללים לעבודה עם משתנים
אפשר להשתמש בכל אות
- כולן בסדר. נהוג להשתמש באותיות שמרמזות על המשמעות: לזמן, למספר.
אות אחת = משתנה אחד
כל אות מייצגת ערך אחד בלבד באותה בעיה. אם , אז הוא בכל מקום בביטוי.
לא להשתמש ב-o או ב-l
האות דומה לספרה , והאות דומה ל-. עדיף להימנע מהן כדי לא לבלבל.
אותה אות - אותו ערך
בביטוי , כל ה- מייצגים את אותו המספר! אם , התוצאה היא .
שאלות לחשיבה
ברצפה מסודרים לוחות צבעוניים בדפוס: אדום, כחול, אדום, כחול... אם נסמן ב- את מספר הלוח, איך נדע מה צבעו?
דני חשב על מספר, הכפיל אותו ב-, וקיבל . איזה סוג משתנה יתאים כאן, ומה ערכו?
פתרון מודרך - בניית ביטוי אלגברי
- נסמן את המספר שאנחנו מתארים בסימן מתאים
- ״המספר בריבוע״ = בחזקת שתיים
- ״פי שלוש מאותו מספר״ = כפול
- מאחדים: ``ועוד״ = , ``פחות 4״ =
תרגיל
תרגיל - זיהוי סוג המשתנה
במשוואה , איזה תפקיד ממלא , ומהו ערכו?
תרגול מודרך
משתנים בנוסחאות מוכרות
נוסחאות גאומטריות עם משתנים
| צורה | נוסחה | משתנים |
|---|---|---|
| היקף ריבוע | = אורך הצלע | |
| שטח ריבוע | = אורך הצלע | |
| היקף מלבן | = אורך, = רוחב | |
| שטח מלבן | = אורך, = רוחב | |
| היקף משולש שווה צלעות | = אורך הצלע |
שימו לב איך משתנים מאפשרים לנו לכתוב נוסחה אחת לכל הריבועים בעולם!
הביטוי האלגברי הכללי למשלוח
סיכום המודול
הגדרה
4 תפקידים
קבוע - לא ידוע
כללי - לכולם
פרמטר - משפיע