גרסת הדפסה | החוברת

למה כל כך חשוב שכולם יחשבו באותו סדר?

למה בכלל צריך סדר?

דמיינו שני תלמידים מחשבים את אותו ביטוי: $2 + 3 \times 4$ . אחד מקבל 14, השני מקבל 20. מי צודק?

בלי כללים ברורים, ביטוי מתמטי אחד יכול לתת תוצאות שונות. לכן, המתמטיקאים הסכימו על כללי קדימות - סדר קבוע שמבטיח שכולם יגיעו לאותה תוצאה.

ארבע רמות הקדימות

סדר הפעולות מחולק ל-ארבע רמות, מהגבוהה ביותר לנמוכה ביותר. הכלל פשוט: מבצעים קודם כל את הפעולה ברמה הגבוהה ביותר.

1. סוגריים

תמיד קודם כל!
סוגריים קובעים שמה שבתוכם נחשב קודם.

2. חזקות

חזקות ושורשים אחרי הסוגריים, לפני כפל וחילוק.

3. כפל וחילוק

כפל וחילוק באותה רמה.
מבצעים משמאל לימין.

4. חיבור וחיסור

חיבור וחיסור באותה רמה.
מבצעים משמאל לימין (אחרונים!).

תמונה הממחישה את ארבע רמות הקדימות בסדר פעולות החשבון בעזרת מדרגות על לוח כיתה — מדרגות הקדימות מזכירות שמבצעים קודם סוגריים וחזקות, ורק אחר כך כפל, חילוק, חיבור וחיסור.

סדר הקדימות - כלל הזהב

סוגריים > חזקות > \times, \div > +, -

הוכחה ויזואלית: הסדר נובע מהמבנה

כפל הוא חיבור חוזר:

3 \cdot 4 = 4 + 4 + 4

. לכן הביטוי

2 + 3 \cdot 4

אומר: "שניים בתוספת שלוש קבוצות של 4" - סה"כ

2 + 12 = 14

. אם היינו מחברים קודם, היינו מקבלים

5 \times 4

, וזה כבר ביטוי אחר לגמרי.

דוגמאות פתורות - שלב אחר שלב

דוגמה פתורה: 2 + 3 × 4

2 + 3 \cdot 4

מזהים את הפעולות: חיבור וכפל. הכפל קודם.
$2 + 3 \cdot 4$
מבצעים את הכפל
$2 + 12$
מבצעים את החיבור
$14$

תשובה:

14

חישוב עם ארבע רמות

10 + 2 \cdot (3 + 2)^{2} - 5

שלב 1: סוגריים קודם כל
$10 + 2 \cdot 5^{2} - 5$
שלב 2: חזקה לפני כפל
$10 + 2 \cdot 25 - 5$
שלב 3: כפל לפני חיבור וחיסור
$10 + 50 - 5$
שלב 4: חיבור וחיסור משמאל לימין
$60 - 5$
שלב 5: חיסור
$55$

תשובה:

55

המלכודת של שמאל-ימין

20 - 8 - 3

חיבור וחיסור באותה רמה - הולכים משמאל לימין
$(20 - 8) - 3$
קודם החיסור השמאלי
$12 - 3$
תוצאה סופית
$9$

תשובה:

9

דוגמה: סוגריים משנים הכל

$(2 + 3) \times 4 = ?$

שלב 1: סוגריים קודם כל.
שלב 2: $(2 + 3) = 5$
שלב 3: $5 \times 4 = 20$

שימו לב: אותם מספרים, תוצאה שונה לגמרי, רק בגלל הסוגריים.

דוגמה: חזקות בביטוי

$2 + 3^{2} \times 2 = ?$

שלב 1: חזקה קודמת לכפל: $3^{2} = 9$
שלב 2: כפל: $9 \times 2 = 18$
שלב 3: חיבור: $2 + 18 = 20$

שגיאה נפוצה: לחשב קודם $3 \times 2$ ואז להעלות בחזקה. שגוי! - החזקה חלה רק על 3.

מעבדת הנגד-דוגמה

סדר פעולות בתכנות

מתמטיקה ותכנות - אותם כללים

שפות תכנות מיישמות בדיוק את כללי הקדימות שאנחנו לומדים.

2 + 3 \cdot 4 = 14 (בכל שפה!)

הכללים שאתם לומדים הם אוניברסליים. הם עובדים בכל שפת תכנות ובכל מחשבון.

סוגריים מקוננים

לפעמים יש סוגריים בתוך סוגריים. במקרה כזה, מתחילים מהסוגריים הפנימיים ביותר ומתקדמים החוצה.

סוגריים מקוננים

$[(2 + 3) \times 4 - 10] \div 2 = ?$

שלב 1: סוגריים פנימיים: $(2 + 3) = 5$
שלב 2: כפל בתוך הסוגריים: $5 \times 4 = 20$
שלב 3: חיסור בתוך הסוגריים: $20 - 10 = 10$
שלב 4: חילוק: $10 \div 2 = 5$

שגיאות נפוצות - הימנעו מהן!

תרגול עצמי

חשבו בעצמכם - ואז בדקו!

ביטוי	תוצאה נכונה	שגיאה נפוצה
$5 + 2 \times 3$	$11$	$21$ (חיברו קודם)
$(5 + 2) \times 3$	$21$	-
$10 - 6 \div 2$	$7$	$2$ (חיסרו קודם)
$2^{3} + 4 \times 2$	$16$	$24$ (חיברו לפני הכפל)
$10 - 3 - 2$	$5$	$9$ (חיסרו $3 - 2$ קודם)
$24 \div 6 \times 2$	$8$	$2$ (כפלו קודם)
$(4 + 6) \times (2 + 3)$	$50$	-

נסו לחשב לבד לפני שמסתכלים על התשובה!

תרגול מהיר - מה בא קודם?

תרגיל

מסבירים את הטעות

תלמיד חישב $2 + 3 \times 4 = 20$ . הסבירו את השגיאה וחשבו נכון.

חשבו: $20 - 3 \cdot 4 + 2$ = ?

הוסיפו סוגריים לביטוי $2 + 3 \cdot 4$ כדי שהתוצאה תהיה 20.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.חשבו: $3 + 4 \times 2$

2.חשבו: $(3 + 4) \times 2$

3.חשבו: $20 - 3 \times 4 + 2$

4.מה מבצעים ראשון לפי סדר פעולות?

חזקות
כפל וחילוק
סוגריים
חיבור וחיסור

5.חשבו: $12 \div 3 + 4 \times 2 - 1$

6.תלמיד חישב: $2 + 3 \times 4 = 20$ . מה הטעות?

חיבר לפני כפל
שכח להוסיף 2
אין טעות
כפל בטעות ב-5

7.מדוע המתמטיקאים קבעו שכפל קודם לחיבור?

כי חיבור נוח יותר בסוף
כי כפל הוא קשה יותר לחישוב
כי כפל הוא חיבור חוזר ולכן הוא קודם לחיבור
בגלל מסורת שרירותית בלבד

8.בגיליון אלקטרוני הקלדת: =3+4*2. מה יחושב?

תלוי בגרסת התוכנה
11 - כפל לפני חיבור
שגיאה
14 - סדר שמאל לימין

9.הוסיפו סוגריים כך ש- $3 + 4 \times 2$ יתן 14:

$(3 + 4) \times 2$
אי אפשר
$(3 + 4 \times 2)$
$3 + (4 \times 2)$

למה בכלל צריך סדר?

ארבע רמות הקדימות

1. סוגריים

2. חזקות

3. כפל וחילוק

4. חיבור וחיסור

הוכחה ויזואלית: הסדר נובע מהמבנה

דוגמאות פתורות - שלב אחר שלב

דוגמה פתורה: 2 + 3 × 4

חישוב עם ארבע רמות

המלכודת של שמאל-ימין

דוגמה: סוגריים משנים הכל

(2+3)×4=?

דוגמה: חזקות בביטוי

2+32×2=?

מעבדת הנגד-דוגמה

סדר פעולות בתכנות

מתמטיקה ותכנות - אותם כללים

סוגריים מקוננים

סוגריים מקוננים

[(2+3)×4−10]÷2=?

שגיאות נפוצות - הימנעו מהן!

תרגול עצמי

חשבו בעצמכם - ואז בדקו!

תרגול מהיר - מה בא קודם?

מסבירים את הטעות

$(2 + 3) \times 4 = ?$

$2 + 3^{2} \times 2 = ?$

$[(2 + 3) \times 4 - 10] \div 2 = ?$