גרסת הדפסה | החוברת

כתיב מקוצר של כפל חוזר - הדרך החכמה לכתוב מספרים גדולים

למה בכלל צריך חזקות?

דמיינו שצריך לכתוב את המספר שמתקבל מהכפלת 2 בעצמו 50 פעמים. אפשר לכתוב שורה של חמישים 2-יים עם סימני כפל, אבל זה ארוך, מסורבל, וקל לטעות. חזקה היא הדרך המקוצרת והאלגנטית לכתוב את זה - במקום 50 מספרים, רק שני תווים: 2⁵⁰.

במודול הזה נלמד מהי חזקה, איך קוראים לחלקים שלה, ולמה היא כל כך שימושית - לא רק במתמטיקה, אלא גם במחשבים, בפיזיקה, ובחיי היומיום.

מה נלמד?: הגדרת החזקה ככפל חוזר
מושגי מפתח: בסיס, מעריך, חזקת 1, חזקת 0
טעויות נפוצות: ההבדל בין כפל לחזקה

מהי חזקה?

כשאנחנו כופלים מספר בעצמו מספר פעמים, אנחנו משתמשים בכתיב של חזקה. במקום לכתוב את כל הכפלים בשרשרת ארוכה, אנחנו כותבים את המספר פעם אחת ומציינים למעלה כמה פעמים כופלים אותו.

הגדרת החזקה

a^{n} = n a \cdot a \cdot a \dots a

הבסיס והמעריך

בכל חזקה יש שני חלקים שחשוב להכיר.

קוראים לביטוי 2³ בשתי דרכים: שתיים בחזקת שלוש או שתיים בחזקה שלישית.

תמונה הממחישה את החזקה ככתיב מקוצר של כפל חוזר בעזרת הקשר בין בסיס למעריך — המעריך מראה כמה פעמים חוזרים על הבסיס בשרשרת הכפל, ולא באיזה מספר מכפילים אותו.

דוגמאות בסיסיות

חישוב 3⁴ - צעד אחר צעד

3^{4} = ?

נפתח כשרשרת כפל של 4 פעמים
$3^{4} = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
נכפול את שני הראשונים
$= 9 \cdot 3 \cdot 3$
נכפול שוב
$= 27 \cdot 3$
נכפול פעם אחרונה
$= 81$

תשובה:

3^{4} = 81

עוד דוגמאות קצרות

2³ = ?

$2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
קוראים: שתיים בחזקת שלוש

5² = ?

$5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$
קוראים גם: חמש בריבוע

10⁴ = ?

$1 0^{4} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10, 000$
אפס אחד לכל פעם

1¹⁰⁰ = ?

1 בחזקת כל מספר שווה ל-1.
$1 \cdot 1 \cdot 1 \dots = 1$ תמיד.

חזקה ראשונה וחזקת אפס - המקרים המיוחדים

יש שני מקרים מיוחדים שחשוב להכיר ולזכור:

חזקה ראשונה

a^{1} = a

חזקת אפס

a^{0} = 1 (a \neq = 0)

דוגמאות למקרים המיוחדים

חזקה ראשונה: a¹ = a

כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו. זה הגיוני - כופלים את המספר פעם אחת, כלומר לא באמת כופלים.

7¹ = 7, 100¹ = 100, 0.5¹ = 0.5

חזקת אפס: a⁰ = 1

כל מספר שונה מ-0 בחזקת 0 שווה ל-1. זה אולי מפתיע, אבל יש לזה הסבר מתמטי יפה.

6⁰ = 1, 100⁰ = 1, 3⁰ = 1

שימו לב: 0⁰ לא מוגדר - זה מקרה מיוחד שלא נעסוק בו כרגע.

למה a⁰ = 1? הוכחה באמצעות דפוס

2^{0} = ?

נתחיל מחזקה מוכרת
$2^{3} = 8$
להוריד את המעריך ב-1 זה לחלק בבסיס
$2^{2} = 8 \div 2 = 4$
נמשיך את הדפוס
$2^{1} = 4 \div 2 = 2$
ועוד פעם אחת
$2^{0} = 2 \div 2 = 1$

תשובה:

2^{0} = 1

צפייה: חזקות של 2 על ציר המספרים

חזקות של 2 מ-2⁰ עד 2⁴

שימו לב איך המרחקים בין הנקודות גדלים בהתמדה. זו הטביעה הגרפית של חזקה - היא פורצת קדימה מהר יותר ויותר.

צפייה: החזקה כקוביות

הזיזו את המעריך ותראו איך כל קפיצה מכפילה את מספר הקוביות בבסיס - זו בדיוק המשמעות של חזקה.

זהירות: חזקה היא לא כפל

הדגמה: חזקה לא קומוטטיבית

2^{3} = 8, 3^{2} = 9, 2^{3} \neq = 3^{2}

קריאת חזקות: איך אומרים את זה?

דרכי קריאה של חזקות

ביטוי	קריאה	הערה
a²	a בריבוע	שם מיוחד לחזקה 2
a³	a בשלישית / a בקוב	שם מיוחד לחזקה 3
aⁿ	a בחזקת n / a בחזקה n	צורה כללית
5²	חמש בריבוע	= 25
2⁴	שתיים בחזקת ארבע	= 16

השמות בריבוע ו-בשלישית מגיעים מגיאומטריה - שטח ריבוע ונפח קובייה.

למה קוראים לזה בריבוע ובשלישית?

השמות בריבוע ו-בשלישית לא נבחרו במקרה. הם מגיעים מגיאומטריה:

בריבוע = שטח

אם צלע ריבוע שווה a, אז שטח הריבוע =

a^{2}

.
למשל: ריבוע עם צלע 5 - שטחו

5^{2} = 25

בשלישית = נפח

אם צלע קובייה שווה a, אז נפח הקובייה =

a^{3}

.
למשל: קובייה עם צלע 3 - נפחה

3^{3} = 27

תרגול

תרגיל

חישוב חזקה פשוטה

חשבו: 5² + 2³

5^{2} + 2^{3} = ?

תרגיל

מה גדול יותר?

מה גדול יותר: 2⁵ או 5²? נמקו.

תרגיל

חזקת אפס

חשבו: 7⁰ · 3 + 2⁴

7^{0} \cdot 3 + 2^{4} = ?

חשבו: האם 2³ = 3²? נמקו.

חשבו: מה גדול יותר, 2¹⁰ או 10²?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.כמה שווה 3³?

2.מה הערך של 5⁰?

0
1
5
לא ניתן לחשב

3.איזו מהן היא הדרך הנכונה לכתוב 4 * 4 * 4 * 4 * 4?

4 * 5
4 + 5
4⁵
5⁴

4.בביטוי 7², מי הוא הבסיס ומי הוא המעריך?

בסיס: 2, מעריך: 7
בסיס: 7, מעריך: 2
זה לא חזקה
בסיס: 49, מעריך: 1

5.כמה פעמים כופלים 6 בעצמו כדי לקבל 6⁴?

3 פעמים
4 פעמים
6 פעמים
2 פעמים

6.מה הערך של 10¹?