גרסת הדפסה | החוברת

חזקות ושורשים ריבועיים - פרק השליטה וההעמקה

מה למדנו בפרק הזה?

בפרק הזה למדנו את אחד הכלים החזקים ביותר במתמטיקה - חזקות ושורשים. מהגדרת החזקה ועד ליישומים בגיאומטריה, עברנו דרך ארוכה. הנה סיכום של כל מה שחשוב לזכור.

10 מודולים: מושג החזקה, חישוב, סדר פעולות, אלגברה, גידול חזקתי, שורשים, ריבועים מושלמים, שברים, חזקות 10, גיאומטריה
נוסחאות מפתח: aⁿ, √a, פיתגורס, שינוי קנה מידה
משחק חזרה: בסוף המודול - משחק אינטראקטיבי!

תמונה הממחישה את הקשרים בין חזקות שורשים גיאומטריה וגידול חזקתי בסיכום הפרק — כל פרק 3 מתחבר סביב רעיון אחד: חזקה בונה כמות, ושורש מחזיר אותנו למקור.

מושגי מפתח

חזקה

a^{n} = a \cdot a \dots a

(n פעמים)
בסיס: a
מעריך: n

שורש ריבועי

a = b

אם

b^{2} = a

פעולה הפוכה לריבוע

ריבוע מושלם

מספר שיש לו שורש ריבועי שלם:
1, 4, 9, 16, 25, 36...

כרטיס עזר מהיר - הנוסחאות של הפרק

כל הנוסחאות של הפרק במקום אחד. כדאי לשמור, להדפיס, או לצלם - זה המסמך שיעזור בכל חזרה:

הגדרת החזקה

a^{n} = n a \cdot a \dots a

מקרים מיוחדים

a^{1} = a, a^{0} = 1 (a \neq = 0)

כלל הסימן בחזקות

(- a)^{2 k} = a^{2 k}, (- a)^{2 k + 1} = - a^{2 k + 1}

חזקה של שבר

(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}

הגדרת שורש ריבועי

a = b ⟺ b^{2} = a, b \geq 0

שורש של שבר ושל מכפלה

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \cdot b = a \cdot b

משפט פיתגורס

a^{2} + b^{2} = c^{2}

גיאומטריה: שטח ונפח

S = a^{2}, V = a^{3}

שינוי קנה מידה

S^{'} = k^{2} S, V^{'} = k^{3} V

סימון מדעי

N = a \times 1 0^{n}, 1 \leq a < 10

גידול חזקתי ורבית דריבית

f (n) = a \cdot r^{n}, A = P (1 + r)^{n}

כללים חשובים

כללים שחייבים לזכור

a⁰ = 1

כל מספר (שונה מ-0) בחזקת 0 שווה 1

a¹ = a

כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו

סדר פעולות

סוגריים, חזקות, כפל/חילוק, חיבור/חיסור

מעריך זוגי

(-a)²ⁿ חיובי תמיד

מעריך אי-זוגי

(-a)²ⁿ⁺¹ שלילי תמיד

√(a/b) = √a / √b

שורש של שבר

טבלת שורשים עד 144

ריבועים מושלמים - חובה לשנן!

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
n²	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144

נוסחאות גיאומטריות

שטח ונפח

שטח ריבוע = a²
נפח קובייה = a³
צלע מנתון שטח = √S
צלע מנתון נפח = ∛V

פיתגורס ושינוי קנה מידה

a² + b² = c²
צלע * k: שטח * k²
צלע * k: נפח * k³

טעויות נפוצות - הימנעו!

דוגמאות מסכמות

מבחן גבורה: חמישה אתגרים מאתגרים

הגעתם עד כאן? מצוין. הנה חמש בעיות ברמת אתגר - כל אחת מהן מערבת שני מושגים או יותר מהפרק. נסו לפתור לבד לפני שמסתכלים בפתרון.

תרגיל

אתגר 1: מי גדול יותר?

מה גדול יותר: 2¹⁰ או 10³? בכמה?

תרגיל

אתגר 2: ניצב חסר

במשולש ישר-זווית היתר הוא 17 וניצב אחד הוא 8. מה הניצב השני?

תרגיל

אתגר 3: משוואה עם ריבוע

פתרו: x² = 81. כמה פתרונות יש?

תרגיל

אתגר 4: סכום חזקות של 2

חשבו: 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵

k = 0 \sum 5 2^{k}

תרגיל

אתגר 5: ריבוע של שבר עשרוני

מצאו צלע ריבוע ששטחו 0.25 סמ"ר

משחק חזרה לפרק

מוכנים לבחון את עצמכם? המשחק הבא כולל שאלות מכל המודולים של הפרק. בהצלחה!

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.כמה שווה 3³?

2.מה הערך של 5⁰?

0
1
5
לא ניתן לחשב

3.מה הערך של 2⁵?

4.מה הערך של (-3)²?

-9
9
-6
6

5.פתרו: 3 + 2² = ?

6.מה ההבדל בין 3 * 2³ ל-(3 * 2)³?

אותו דבר
הראשון 24, השני 216
הראשון 216, השני 24
הראשון 27, השני 8

7.מה שטחו של ריבוע שצלעו 7 ס"מ?

14 סמ"ר
49 סמ"ר
28 סמ"ר
7 סמ"ר

8.מה (2a)² שווה?

2a²
4a²
2a
4a

9.אם חיידק מתחלק כל שעה, כמה חיידקים יהיו אחרי 5 שעות מחיידק אחד?

10.מה √64?

8
32
4,096
256

11.פשטו את √18:

2√2
3√2
6√3
9

12.מה √(4/9)?

13.כמה אפסים יש ב-10⁶?

14.משולש ישר-זווית עם ניצבים 5 ו-12. מה אורך היתר?

17
13
13.5
169

15.חשבו: 3² + 5 * 2 - √25

16.מה הנפח של קובייה עם צלע √4 ס"מ?

4 סמ"ק
8 סמ"ק
2 סמ"ק
16 סמ"ק

17.אם נכפיל את צלע הריבוע פי 3, בכמה יגדל השטח?

פי 3
פי 6
פי 9
פי 12

18.איזה מהמספרים הבאים הוא ריבוע מושלם?

19.מהו הסימן הנכון: 2⁴ ___ 4²?

=
<
>
לא ניתן לקבוע

20.חשבו: (-2)³

-8
8
-6
6