גרסת הדפסה | החוברת

כמה חומר צריך כדי לעטוף את כל הקופסה? סכום שטחי שש הפאות

למה שטח פנים חשוב?

נניח שאתם רוצים לעטוף מתנה בנייר עטיפה. כמה נייר תצטרכו? או שאתם רוצים לצבוע חדר - כמה צבע לקנות? התשובה תלויה בשטח הפנים של התיבה.

שטח הפנים הוא סכום השטחים של כל הפאות. במודול הזה נלמד איך לחשב אותו - גם עם מספרים וגם עם משתנים אלגבריים - ונתרגל עם שלל בעיות אמיתיות מהחיים.

הרעיון: שטח פנים = סכום שטחי כל 6 הפאות
הנוסחה: $S = 2 (ab + b c + a c)$ לתיבה, $S = 6 a^{2}$ לקובייה
יישום: חישוב עם מספרים ועם ביטויים אלגבריים
בעיות חיים: אריזה, צביעה, חיסכון בחומר

הרעיון: מפירוק לנוסחה

כדי למצוא את שטח הפנים של תיבה, צריך לחשב את שטח כל אחת מ-6 הפאות ולחבר. כבר ראינו שהפאות מתחלקות ל-3 זוגות:

שטח פאות התיבה (ממדים a, b, c)

זוג פאות	ממדי כל פאה	שטח פאה אחת	שטח הזוג
עליונה + תחתונה	a x b	ab	2ab
קדמית + אחורית	a x c	ac	2ac
ימנית + שמאלית	b x c	bc	2bc

שטח פנים כולל = 2ab + 2bc + 2ac = 2(ab + bc + ac)

נוסחת שטח פנים של תיבה

S = 2 (ab + b c + a c)

הסבר מהיר לנוסחה: יש 6 פאות, אבל הן בזוגות. לכן מחשבים שלושה שטחים שונים (ab, bc, ac) וכל אחד מופיע פעמיים - משם ה-2 שבחוץ.

דוגמה 1: תיבה עם מספרים

תיבה $3 \times 4$ x 5 ס"מ

S_{תיבה} = 2 (ab + b c + a c), a = 3, b = 4, c = 5

נציב את הערכים בנוסחה
$S = 2 (3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 5)$
נחשב כל מכפלה
$S = 2 (12 + 20 + 15)$
נחבר בתוך הסוגריים
$S = 2 \cdot 47$
נכפול ב-2
$S = 94$

תשובה:

S = 94 cm^{2}

דוגמה 2: חדר לצביעה

חדר בגודל 4 מ' x 5 מ' x 3 מ'. צבעי רוצה לצבוע רק את הקירות (בלי רצפה ותקרה). כמה מ"ר צריך לצבוע?

שטח קירות חדר (ללא רצפה ותקרה)

חדרבמידות m 4 \times 5 \times 3 / m מ^{'} (ללארצפהותקרה) .

שני קירות ארוכים ( $5 \times 3)$
$S_{1} = 2 \cdot 5 \cdot 3 = 30 m^{2}$
שני קירות קצרים ( $4 \times 3)$
$S_{2} = 2 \cdot 4 \cdot 3 = 24 m^{2}$
חיבור
$S_{קירות} = 30 + 24 = 54$

תשובה:

S_{קירות} = 54 m^{2}

שטח פנים של קובייה

בקובייה כל הממדים שווים (a = b = c = a), לכן כל 6 הפאות הן ריבועים חופפים בגודל a x a. נציב בנוסחה הכללית:

גזירת הנוסחה לקובייה

S_{קובייה} = 2 (ab + b c + a c), a = b = c

נציב a = b = c
$S = 2 (a \cdot a + a \cdot a + a \cdot a)$
נפשט
$S = 2 (a^{2} + a^{2} + a^{2}) = 2 \cdot 3 a^{2}$
נכפול
$S = 6 a^{2}$

תשובה:

S_{קובייה} = 6 a^{2}

נוסחת שטח פנים של קובייה

S_{קובייה} = 6 a^{2}

דוגמה: קובייה במקצוע 3 ס"מ

חישוב שטח פנים קובייה

a = 3 cm, S = 6 a^{2}

נציב a=3
$S = 6 \cdot 3^{2}$
נחשב את החזקה
$S = 6 \cdot 9$
נכפול
$S = 54$

תשובה:

S = 54 cm^{2}

עבודה לאחור: ממקצוע משטח פנים

לפעמים נתון שטח הפנים, וצריך למצוא את המקצוע. צריך לבצע את הפעולות בסדר הפוך.

נתון $S = 24$ סמ"ר, למצוא את מקצוע הקובייה

S = 6 a^{2} = 24, a = ?

נחלק ב-6
$a^{2} = \frac{24}{6} = 4$
נוציא שורש ריבועי
$a = 4 = 2$
בדיקה
$S = 6 \cdot 2^{2} = 6 \cdot 4 = 24 ✓$

תשובה:

a = 2 cm

חישובים אלגבריים - שטח פנים עם משתנים

לפעמים אחד הממדים (או יותר) נתון כביטוי אלגברי. נצטרך להציב ולפשט באמצעות הכלים שלמדנו באלגברה (חוק הפילוג, איסוף איברים דומים, חזקות).

דוגמה: תיבה עם ממד משתנה

תיבה x, 2, 3

S = 2 (ab + b c + a c), a = x, b = 2, c = 3

נציב
$S = 2 (x \cdot 2 + 2 \cdot 3 + x \cdot 3)$
נחשב כל מכפלה
$S = 2 (2 x + 6 + 3 x)$
נאסוף איברים דומים
$S = 2 (5 x + 6)$
נפתח סוגריים (חוק הפילוג)
$S = 10 x + 12$

תשובה:

S = 10 x + 12

דוגמה: קובייה עם מקצוע אלגברי

קובייה עם מקצוע 2x

a = 2 x, S = 6 a^{2}

נציב
$S = 6 (2 x)^{2}$
נעלה בריבוע את כל הביטוי $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$
$S = 6 \cdot 4 x^{2}$
נכפול
$S = 24 x^{2}$

תשובה:

S = 24 x^{2}

דוגמה מתקדמת: בעיה מילולית

קופסת שוקולדים בצורת תיבה: אורך 20 ס"מ, רוחב 12 ס"מ, גובה 8 ס"מ. כמה סמ"ר נייר עטיפה צריך לעטוף את הקופסה?

נייר עטיפה לקופסה $20 \times 12$ x 8

S = 2 (ab + b c + a c), a = 20, b = 12, c = 8

נציב
$S = 2 (20 \cdot 12 + 12 \cdot 8 + 20 \cdot 8)$
נחשב מכפלות
$S = 2 (240 + 96 + 160)$
נחבר
$S = 2 \cdot 496$
נכפול
$S = 992$

תשובה:

S = 992 cm^{2}

תרגילים

תרגיל

תרגיל 1: שטח פנים תיבה

חשבו את שטח הפנים של תיבה בממדים 6, 4, 2 ס"מ.

a = 6, b = 4, c = 2

תרגיל

תרגיל 2: שטח פנים קובייה

חשבו את שטח הפנים של קובייה עם מקצוע 5 ס"מ.

a = 5

תרגיל

תרגיל 3: עבודה לאחור

שטח פנים של קובייה הוא 96 סמ"ר. מה המקצוע?

S = 96, a = ?

תרגיל

תרגיל 4: אלגברה בשטח פנים

תיבה בממדים x, 2x, 5. חשבו את שטח הפנים כביטוי אלגברי.

a = x, b = 2 x, c = 5

תרגיל

תרגיל 5: אתגר - שטח פנים חלקי

חדר $5 \times 4$ x 3 מ'. רוצים לכסות את התקרה ושלושה קירות (לא את הקיר הארוך הקדמי ולא את הרצפה). מה השטח?

רגע של חשיבה

יש לנו שני גלילי נייר עטיפה: אחד ברוחב 50 ס"מ ואורך 200 ס"מ, ואחד ברוחב 70 ס"מ ואורך 100 ס"מ. לעטיפת קופסה של $20 \times 12 \times 8$ צריך 992 סמ"ר. האם כל אחד מהגלילים מספיק?

מה קורה לשטח פנים של תיבה אם מוסיפים את אותה כמות ס"מ לאורך, לרוחב ולגובה? לדוגמה, תיבה 3×4×5 הופכת ל-4×5×6 (כל ממד +1).

למה קוביות סוכר הן קוביות (ולא תיבות מאורכות)?

שטח פנים מינימלי - בעיית האריזה

בתעשייה, מעוניינים לארוז מוצר בקופסה עם שטח פנים מינימלי כדי לחסוך בחומר אריזה. אם הנפח קבוע, אילו ממדים נותנים את שטח הפנים הקטן ביותר?

התשובה: קובייה! מבין כל התיבות עם אותו נפח, לקובייה יש את שטח הפנים הקטן ביותר. לדוגמה: נפח 1000 סמ"ק - קובייה

10 \times 10 \times 10

נותנת

S = 600

. תיבה 2×2×250 נותנת

S = 2, 008

(פי 3 יותר)!

זו הסיבה שקופסאות של חלק מהמוצרים (כמו קוביות מרק, קוביות סוכר) הן בצורת קובייה. ובטבע, לכדור (שהוא עוד יותר קיצוני) יש את שטח הפנים המינימלי בין כל הצורות עם אותו נפח - ולכן בועות סבון תמיד כדוריות!

סוגרים את הפתיחה: כמה קרטון באמת?

פתחנו את המודול בשאלה: חברה מפיצה ארגזי קרטון לטלוויזיות בגודל

150 \times 90

x 10 ס"מ - כמה קרטון תצטרך החברה ל-10,000 יחידות? עכשיו יש לנו את כל הכלים. בואו נסגור את הלולאה.

כמות הקרטון לקרטון אריזה אחד

S = 2 (ab + b c + a c), a = 150, b = 90, c = 10

נציב את הממדים בנוסחה
$S = 2 (150 \cdot 90 + 90 \cdot 10 + 150 \cdot 10)$
נחשב כל מכפלה
$S = 2 (13, 500 + 900 + 1, 500)$
נחבר בתוך הסוגריים
$S = 2 \cdot 15, 900$
נכפול ב-2
$S = 31, 800$

תשובה:

S = 31, 800 cm^{2} \approx 3.18 m^{2}

סך הכמות ל-10,000 יחידות

S_{total} = 10, 000 \cdot 31, 800

נכפול במספר היחידות
$S_{total} = 318, 000, 000 cm^{2}$
נמיר למ"ר (חלוקה ב-10,000)
$S_{total} = 31, 800 m^{2}$

תשובה:

31, 800 m^{2} \approx 3.18 hectare

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה שטח הפנים של קובייה עם מקצוע 3 ס"מ?

9 סמ"ר
27 סמ"ר
54 סמ"ר
81 סמ"ר

2.מה שטח הפנים של תיבה עם ממדים 2 ס"מ, 3 ס"מ, 4 ס"מ?

26 סמ"ר
52 סמ"ר
78 סמ"ר
104 סמ"ר

3.שטח הפנים של קובייה הוא 24 סמ"ר. מה אורך המקצוע?

2 ס"מ
4 ס"מ
6 ס"מ
8 ס"מ

4.תיבה עם ממדים 3 ס"מ, 4 ס"מ, 5 ס"מ. מה שטח הפנים?

47 סמ"ר
60 סמ"ר
74 סמ"ר
94 סמ"ר

5.תיבה עם ממדים x, 2, 3. מה שטח הפנים?

5x + 6
10x + 12
6x + 12
12x + 10

6.קובייה עם מקצוע 2x. מה שטח הפנים?

$12 x^{2}$
$24 x^{2}$
24x
$8 x^{2}$

7.חדר בגודל 4 מ' x 5 מ' x 3 מ'. מה שטח הקירות בלבד (ללא רצפה ותקרה)?

40 מ"ר
54 מ"ר
60 מ"ר
94 מ"ר

8.תיבה בממדים x, 2x, 5. מה שטח הפנים?

$2 x^{2} + 30 x$
$4 x^{2} + 30 x$
$4 x^{2} + 15 x$
2x + 30

9.אם מקצוע של קובייה מוכפל פי 3, פי כמה גדל שטח הפנים?

פי 3
פי 6
פי 9
פי 27

10.שתי קופסאות בעלות אותו נפח. קופסה A היא קובייה, קופסה B היא תיבה מאורכת. מה נכון על שטח הפנים?

שטחי הפנים תמיד שווים
לקובייה יש שטח פנים קטן יותר
לתיבה המאורכת יש שטח פנים קטן יותר
לא ניתן לקבוע ללא ערכים

למה שטח פנים חשוב?

הרעיון: מפירוק לנוסחה

שטח פאות התיבה (ממדים a, b, c)

דוגמה 1: תיבה עם מספרים

תיבה 3×4 x 5 ס"מ

דוגמה 2: חדר לצביעה

שטח קירות חדר (ללא רצפה ותקרה)

שטח פנים של קובייה

גזירת הנוסחה לקובייה

דוגמה: קובייה במקצוע 3 ס"מ

חישוב שטח פנים קובייה

עבודה לאחור: ממקצוע משטח פנים

נתון S=24 סמ"ר, למצוא את מקצוע הקובייה

חישובים אלגבריים - שטח פנים עם משתנים

דוגמה: תיבה עם ממד משתנה

תיבה x, 2, 3

דוגמה: קובייה עם מקצוע אלגברי

קובייה עם מקצוע 2x

דוגמה מתקדמת: בעיה מילולית

נייר עטיפה לקופסה 20×12 x 8

תרגילים

תרגיל 1: שטח פנים תיבה

תרגיל 2: שטח פנים קובייה

תרגיל 3: עבודה לאחור

תרגיל 4: אלגברה בשטח פנים

תרגיל 5: אתגר - שטח פנים חלקי

רגע של חשיבה

סוגרים את הפתיחה: כמה קרטון באמת?

כמות הקרטון לקרטון אריזה אחד

סך הכמות ל-10,000 יחידות

תיבה $3 \times 4$ x 5 ס"מ

נתון $S = 24$ סמ"ר, למצוא את מקצוע הקובייה

נייר עטיפה לקופסה $20 \times 12$ x 8