גרסת הדפסה | החוברת

מתרגמים ערך התחלתי וקצב קבוע למודל

פותחים את הרעיון

מודל קווי מתאים כאשר יש נקודת התחלה וקצב קבוע. הוא עוזר לתאר עלות, מרחק, כמות במיכל או כל מצב שמשתנה באותו קצב.

לזהות $m$ ו- $b$ מתוך סיפור.
לכתוב מודל קווי עם יחידות.
לבדוק תחום ערכים סביר.

הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

מה הופך סיפור למודל קווי?

בכל סיפור קווי יש כמות התחלתית ושינוי קבוע לכל יחידה.

כמות = m \cdot יחידות + b

מודל טוב כולל נוסחה, פירוש יחידות ובדיקת סבירות.

מודל קווי כללי

y = m x + b

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

לזהות $m$ ו- $b$ מתוך סיפור.

חישוב

לכתוב מודל קווי עם יחידות.

פירוש

לבדוק תחום ערכים סביר.

מסלול עבודה מלא

מזהים משתנים

כותבים מה מייצג $x$ .
כותבים מה מייצג $y$ .

מפרידים תפקידים

ערך התחלתי הופך ל- $b$ .
קצב קבוע הופך ל- $m$ .

בודקים תחום

לא כל ערך $x$ מתאים לסיפור.
בודקים מספרים שלמים, אי-שליליות ותקרות מציאותיות.

ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

מסלולי תשלום לדוגמה

מסלול	תשלום פתיחה	מחיר ליחידה	נוסחה
א	$20$	$5$	$y = 5 x + 20$
ב	$0$	$8$	$y = 8 x$
ג	$12$	$6$	$y = 6 x + 12$

השוואת מסלולים דורשת הצבה או פתרון משוואה.

תמונה הממחישה בניית מודל קווי מתוך תשלום פתיחה וקצב קבוע ליחידה — במודל קווי מציאותי, האיבר החופשי מתאר ערך התחלתי והשיפוע מתאר קצב קבוע.

השוואת שני מסלולים

דוגמאות שמחברות את הרעיון

מונית

מחיר פתיחה ועוד מחיר לקילומטר.

מיכל מים

כמות התחלתית וקצב ריקון.

מנוי

תשלום חודשי קבוע ועוד מחיר לשימוש.

הליכה

מרחק התחלתי ומהירות קבועה.

דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

דוגמה מודרכת - משווים מסלולים

מסלולאעולה m 20 + 5 x / m .מסלולבעולה m 8 x / m .מההעלותעבור m 6 / m יחידות ?

מציבים במסלול א.
$20 + 5 \cdot 6 = 50$
מציבים במסלול ב.
$8 \cdot 6 = 48$
משווים.
$48 < 50$

תשובה:

עבור m 6 / m יחידות, מסלולבזוליותר.

דוגמה נוספת - מודל עם מגבלה

מנוילספרייהעולה m 20 / m שקליםועוד m 6 / m שקליםלכלספרשמזמינים.לתלמידישעד m 80 / m שקלים.כתבומודלותחוםאפשרילמספרהספרים.

מגדירים $x$ כמספר הספרים ו- $y$ כעלות.
$y = 6 x + 20$
התקציב יוצר אי-שוויון.
$6 x + 20 \leq 80$
פותרים כדי למצוא גבול עליון.
$6 x \leq 60 \Rightarrow x \leq 10$
מספר ספרים אינו שלילי ובדרך כלל שלם.
$x = 0, 1, 2, \dots, 10$

תשובה:

המודלהוא m y = 6 x + 20 / m, והתחוםהסבירהואמספריםשלמיםמ - m 0 / m עד m 10 / m .

מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגיל

תרגול - כותבים מודל

חוג גובה $30$ שקלים רישום ועוד $12$ שקלים לכל שיעור. כתבו מודל למחיר.

y = m x + b

תרגיל

תרגול - תחום סביר

מיכל מכיל $80$ ליטרים ומתרוקן בקצב $4$ ליטרים לדקה: $y = 80 - 4 x$ . עבור אילו $x$ המודל הגיוני?

0 \leq x \leq 20

תרגיל

תרגול אתגר - בודקים סבירות של מודל

בריכת מים מכילה $120$ ליטרים ומתרוקנת בקצב $8$ ליטרים לדקה. כתבו מודל לכמות המים אחרי $x$ דקות וקבעו תחום סביר.

y = 120 - 8 x

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

למה מודל קווי אינו תמיד נכון לכל ערך של $x$ ?

איך יודעים אם $m$ או $b$ הם בעלי יחידות?

אוסף מודלים מהחיים

פונקציות קוויות מתארות מגוון רחב של תופעות מציאותיות. בכל מודל ה-

b

הוא מצב התחלתי, וה-

m

הוא הקצב הקבוע. הטבלה הבאה מסכמת מודלים נפוצים לפי קטגוריה.

מודלים קוויים נפוצים

תחום	המשתנה $x$	המשתנה $y$	$b$ - מצב התחלתי	$m$ - קצב	דוגמה לנוסחה
מוניות	ק"מ	מחיר ש"ח	תשלום פתיחה	מחיר לק"מ	$y = 3.5 x + 12$
חיסכון	שבועות	יתרה ש"ח	סכום התחלתי	הפקדה שבועית	$y = 50 x + 200$
מילוי בריכה	דקות	ליטרים	כמות התחלתית	קצב מילוי	$y = 20 x + 0$
ריקון מאגר	שעות	ליטרים	כמות התחלתית	קצב ריקון (שלילי)	$y = - 30 x + 1200$
טיול ברגל	שעות	ק"מ עברנו	מרחק התחלתי	מהירות הליכה	$y = 4 x + 2$
שעת חוץ ביום קר	דקות	טמפרטורה °C	טמפ' התחלתית	קצב התקררות	$y = - 0.5 x + 22$
נר שדולק	דקות	אורך הנר בס"מ	אורך התחלתי	קצב שריפה (שלילי)	$y = - 0.2 x + 15$

המודלים הקוויים מתאימים כשהקצב באמת קבוע. צמיחה אקספוננציאלית או תאוצה אינן קוויות.

ארבעה תרגומי מילים נפוצים

"בכל יחידה"

מסמן את $m$ . "שני שקלים בכל ק"מ" - השיפוע הוא $2$ .

"להתחיל ב"

מסמן את $b$ . "מתחילים ב- $50$ ש"ח" - האיבר החופשי הוא $50$ .

"פוחת" / "יורד"

סימן ל- $m$ שלילי. "כל יום מתאדה ליטר" - $m = - 1$ .

"קבוע"

מסמן שהפונקציה אכן קווית. אם הסיפור אומר "מהירות קבועה" - השיפוע יהיה הקצב הזה.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה מאפיין מודל קווי?

ערך התחלתי וקצב קבוע
קצב שמשתנה בכל צעד
רק ערכים חיוביים
אין צורך ביחידות

2.תשלום $15$ ועוד $4$ לכל פריט. מה הנוסחה?

$y = 4 x + 15$
$y = 15 x + 4$
$y = 19 x$
$y = 4 x - 15$

3.מה מייצג השיפוע במודל מחיר?

מחיר לכל יחידה
מחיר התחלתי
מספר התלמידים
נקודת האפס בלבד

4.מדוע חשוב תחום סביר?

כי לא כל ערך שהנוסחה מחשבת מתאים לסיפור
כי נוסחאות לא עובדות
כי אסור להציב
כי גרפים מיותרים

5.ב- $y = 80 - 4 x$ , מתי $y = 0$ ?

$x = 20$
$x = 80$
$x = 4$
$x = - 20$

6.איזו יחידה מתאימה לשיפוע בגרף מרחק זמן?

קילומטרים לשעה
שעות לקילומטר בלבד
קילומטרים ועוד שעות
אין יחידות

7.מהי טעות נפוצה?

להחליף בין ערך התחלתי לקצב
לכתוב יחידות
להציב ערך
לבדוק תחום

8.מתי שני מסלולים עולים אותו דבר?

כאשר פותרים שוויון בין שתי הנוסחאות
כאשר יש להם אותו שם
כאשר אחד מתחיל באפס
תמיד בנקודה האחרונה

9.בריכה מתחילה עם $120$ ליטרים ומאבדת $8$ ליטרים לדקה. מה המודל?

$y = 120 - 8 x$
$y = 8 x + 120$
$y = 120 x - 8$
$y = 8 x - 120$

10.למה חשוב לציין תחום במודל מציאותי?

כי לא כל ערך של $x$ מתאים לסיפור
כי פונקציה קווית אינה גרף
כי השיפוע תמיד חיובי
כי $b$ לא קיים

11.אינטרנט: $80$ ש"ח חודשי, $0.5$ ש"ח לכל GB מעל $10$ GB. כמה משלמים על $30$ GB?

$90$ ש"ח
$95$ ש"ח
$80$ ש"ח
$110$ ש"ח

12.תוכנית א: $y_{1} = 2 x + 30$ ; תוכנית ב: $y_{2} = 4 x + 10$ . מתי התשלום שווה?

ב- $x = 10$
ב- $x = 20$
ב- $x = 5$
אף פעם

13.מכל מים: $600$ ליטרים, מתרוקן $25$ ליטרים לשעה. מתי המכל יהיה ריק?

אחרי $24$ שעות
אחרי $25$ שעות
אחרי $600$ שעות
לא מתרוקן לעולם

14.אופניים: $30$ ק"מ אחרי $2$ שעות, $75$ ק"מ אחרי $5$ שעות. מהי המהירות?

$15$ קמ"ש
$45$ קמ"ש
$3$ קמ"ש
$10$ קמ"ש

15.מודל קווי לא מתאים בדרך כלל ל:

צמיחה אקספוננציאלית של חיידקים
תשלום מונית עם מחיר לק"מ
חיסכון שבועי קבוע
מילוי בקצב קבוע

16.מד מים: $1500$ ליטרים, יורד $40$ ליטרים בשבוע. מתי יראה $300$ ?

אחרי $30$ שבועות
אחרי $25$ שבועות
אחרי $40$ שבועות
אחרי $5$ שבועות

17.תוכנית א: $120 + 1.2 x$ ; ב: $60 + 1.8 x$ . מתי תוכנית ב זולה?

כש- $x < 100$
כש- $x > 100$
תמיד
אף פעם

18.פונקציה $y = m x$ (בלי $b$ ) מתארת:

יחס ישר - הפלט הוא כפולה של הקלט
פונקציה ריבועית
פונקציה קבועה
אינה פונקציה