גרסת הדפסה | החוברת

כמה משתנה הפלט לכל צעד של הקלט

פותחים את הרעיון

שיפוע מתאר קצב שינוי. בגרף הוא נראה כמו תלילות, אבל המשמעות המדויקת שלו היא יחס: כמה $y$ משתנה לעומת כמה $x$ משתנה.

לקרוא $Δ x$ ו- $Δ y$ מגרף.
לחשב שיפוע כמנה.
לפרש שיפוע לפי יחידות ההקשר.

הגדרה ומשמעות

לפני שנכנסים לחישובים, נבנה תמונה מדויקת של הרעיון. המטרה היא להבין מה המושג מודד, באילו ייצוגים הוא מופיע, ואיך יודעים שהתשובה שקיבלנו הגיונית.

שיפוע הוא מנה, לא תחושה

שני ישרים יכולים להיראות דומים, אבל השיפוע נקבע רק על ידי היחס בין שינוי אנכי לשינוי אופקי.

m = \frac{Δ y}{Δ x}

שיפוע $2$ פירושו: עבור כל עלייה של $1$ ב- $x$ , $y$ עולה ב- $2$ .

שיפוע כיחס שינוי

m = \frac{Δ y}{Δ x}

מה צריך לדעת לעשות?

זיהוי

לקרוא $Δ x$ ו- $Δ y$ מגרף.

חישוב

לחשב שיפוע כמנה.

פירוש

לפרש שיפוע לפי יחידות ההקשר.

מסלול עבודה מלא

קוראים תנועה

מסמנים שינוי אופקי $Δ x$ .
מסמנים שינוי אנכי $Δ y$ .

בונים יחס

השיפוע הוא $\frac{Δ y}{Δ x}$ .
הסימן מגיע מכיוון השינוי ב- $y$ .

נותנים משמעות

כותבים כמה $y$ משתנה לכל יחידת $x$ .
בגרף מציאותי מוסיפים יחידות.

ייצוגים ודוגמאות

כאן נראה את אותו רעיון בכמה צורות. מעבר בין טבלה, גרף, נוסחה וסיפור הוא מיומנות מרכזית בפרק, כי כל ייצוג מדגיש מידע אחר.

אותו שיפוע מכמה זוגות נקודות

נקודה ראשונה	נקודה שנייה	$Δ x$	$Δ y$	שיפוע
$(1, 2)$	$(4, 8)$	$3$	$6$	$2$
$(0, 0)$	$(2, 4)$	$2$	$4$	$2$
$(3, 6)$	$(5, 10)$	$2$	$4$	$2$

על אותו ישר, היחס נשמר גם אם בוחרים נקודות אחרות.

תמונה הממחישה את השיפוע כיחס בין שינוי אנכי לשינוי אופקי על מערכת צירים — שיפוע נמדד בעזרת היחס בין השינוי ב- $y$ לבין השינוי ב- $x$ , ולא רק לפי המראה הכללי של הישר.

משולש שיפוע על הגרף

דוגמאות שמחברות את הרעיון

מחיר ליחידה

שיפוע $7$ אומר שכל יחידה מוסיפה $7$ שקלים.

מהירות

בגרף מרחק זמן, השיפוע הוא מהירות.

ירידה

שיפוע שלילי מתאר כמות שפוחתת בקצב קבוע.

גרף אופקי

שיפוע $0$ אומר שהפלט אינו משתנה.

דוגמה מודרכת

בדוגמה המודרכת נפתור לאט ונכתוב למה כל פעולה עוזרת. כך החישוב הופך לשיטה שאפשר לשחזר גם בשאלה חדשה.

דוגמה מודרכת - שיפוע ממשולש מדרגות

בגרףמסומנותהנקודות m (1, 2) / m ו - m (4, 8) / m .מצאואתהשיפוע.

מחשבים שינוי אופקי.
$Δ x = 4 - 1 = 3$
מחשבים שינוי אנכי.
$Δ y = 8 - 2 = 6$
מחלקים שינוי אנכי בשינוי אופקי.
$m = \frac{6}{3} = 2$

תשובה:

m m = 2 / m .

דוגמה נוספת - שיפוע עם יחידות

מיכלמיםמכיל m 48 / m ליטריםבזמן m 0 / m, ו - m 36 / m ליטריםאחרי m 3 / m דקות.מההשיפועומהמשמעותו ?

הזמן גדל ב- $3$ דקות.
$Δ x = 3 - 0 = 3$
כמות המים קטנה ב- $12$ ליטרים.
$Δ y = 36 - 48 = - 12$
מחלקים שינוי בכמות בשינוי בזמן.
$m = \frac{- 12}{3} = - 4$
הסימן השלילי אומר שהכמות יורדת.
$- 4 ליטרים לדקה$

תשובה:

השיפועהוא m - 4 / m, כלומרהמיכלמאבד m 4 / m ליטריםבכלדקה.

מתאמנים בהדרגה

עכשיו עוברים לתרגול. התרגילים מסודרים כך שכל אחד בודק החלטה אחרת: זיהוי הנתון, בחירת פעולה, חישוב ובדיקת משמעות.

תרגיל

תרגול - מפרשים יחידות

בגרף מרחק זמן, $x$ הוא שעות ו- $y$ הוא קילומטרים. השיפוע הוא $5$ . מה המשמעות?

m = 5

תרגיל

תרגול - שיפוע שלילי

מצאו שיפוע בין $(0, 9)$ ל- $(3, 3)$ .

m = \frac{Δ y}{Δ x}

תרגיל

תרגול אתגר - שיפוע שברי

בגרף ישר עוברים מ- $(2, 3)$ ל- $(8, 12)$ . מצאו את השיפוע ופרשו אותו כמשפט.

m = \frac{12 - 3}{8 - 2}

איך לא מתבלבלים?

מה הנתון?

מזהים אם נתון קצב, נקודה, גרף, טבלה או תחום פתרונות.

מה הפעולה?

בוחרים נוסחה או הצבה לפי הנתון, ולא לפי ניחוש חזותי.

איך בודקים?

מציבים ערך, קוראים יחידות ובודקים שהסימן או התחום הגיוניים.

בכל תרגיל פונקציה קווית יש קשר בין חישוב, ייצוג ופירוש.

טעויות נפוצות

בחלק הזה לא רק נכתוב מה לא נכון, אלא נבין למה הטעות מפתה ואיך מזהים אותה בזמן אמת.

למה שיפוע גדול יותר אינו אומר תמיד ערך $y$ גדול יותר?

מדוע כדאי לפרש שיפוע עם יחידות?

השיפוע במציאות - חמישה הקשרים

אותו רעיון מתמטי מופיע בעולם בהרבה צורות. הטבלה הבאה מראה איך אותה נוסחה

m = \frac{Δ y}{Δ x}

משנה את משמעותה לפי הסיפור.

אותו שיפוע, חמישה הקשרים שונים

הקשר	ציר $x$	ציר $y$	פירוש השיפוע	דוגמה למספר
כלכלה	כמות פריטים	מחיר כולל בשקלים	מחיר ליחידה	$m = 12$ שקלים לפריט
תנועה	זמן בשעות	מרחק בקילומטרים	מהירות ממוצעת	$m = 80$ קמ לשעה
מילוי וריקון	זמן בדקות	כמות מים בליטרים	קצב מילוי או ריקון	$m = - 2$ ליטרים לדקה
טמפרטורה	זמן בשעות	טמפרטורה במעלות	קצב התחממות או התקררות	$m = - 1.5$ מעלות לשעה
טיפוס מדרגות	מרחק אופקי בס"מ	גובה בס"מ	תלילות המדרגה	$m = \frac{18}{30} = 0.6$

המספר זהה במשמעות, היחידות משתנות לפי ההקשר.

ארבעה סוגי שיפוע במצבים יומיומיים

שיפוע חיובי גדול

תלמיד חוסך $40$ שקלים בשבוע. השיפוע הוא $40$ : בכל שבוע החיסכון גדל ב- $40$ שקלים.

שיפוע חיובי קטן

צמח גדל $\frac{1}{4}$ ס"מ ביום. השיפוע $0.25$ מתאר גידול איטי אבל קבוע.

שיפוע שלילי

סוללה מאבדת $5$ אחוזים בשעה. השיפוע $- 5$ אחוזים לשעה אומר ירידה קבועה.

שיפוע אפס

בשעות הלילה הטמפרטורה במקרר נשארת על $4$ מעלות. השיפוע $0$ אומר שהפלט אינו משתנה גם כשהזמן עובר.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהי ההגדרה המדויקת של שיפוע?

היחס $\frac{Δ y}{Δ x}$
רק המראה של הקו
הערך של $y$ כאשר $x = 0$
מספר הנקודות בגרף

2.בין $(1, 2)$ ל- $(4, 8)$ , מהו $Δ x$ ?

3.בין אותן נקודות, מהו השיפוע?

$2$
$3$
$6$
$\frac{3}{6}$

4.מה משמעות שיפוע $- 4$ ?

הפלט יורד ב- $4$ לכל צעד של $1$ בקלט
הפלט תמיד שלילי
הגרף חייב לחתוך את הראשית
אין קשר קווי

5.מהי טעות נפוצה?

לחשב $\frac{Δ x}{Δ y}$
לסמן שתי נקודות
לבדוק יחידות
לכתוב שבר

6.בגרף אופקי, מהו השיפוע?

$0$
לא מוגדר
$1$
תמיד חיובי

7.אם השיפוע הוא $\frac{3}{2}$ , מה פירוש אפשרי?

עלייה של $3$ עבור התקדמות של $2$
עלייה של $2$ עבור התקדמות של $3$
אין עלייה
הערך ההתחלתי הוא $3$

8.מדוע בוחרים שתי נקודות על אותו ישר?

כדי לחשב את יחס השינוי הקבוע
כדי למצוא רק את $b$
כדי למחוק את הגרף
כי כל שתי נקודות נותנות שיפוע אחר באותו ישר

9.מה המשמעות של שיפוע $- 3$ בגרף כמות-זמן?

הכמות יורדת ב- $3$ יחידות לכל יחידת זמן
הכמות מתחילה ב- $- 3$
הזמן יורד ב- $3$
אין משמעות לסימן

10.מדוע מחשבים $Δ y$ חלקי $Δ x$ ?

כי שיפוע מודד שינוי בפלט לכל שינוי בקלט
כי זה תמיד יוצר מספר חיובי
כי $x$ אינו משתנה
כי כך מוצאים את $b$

11.מהו השיפוע של ישר אופקי?

$0$
$1$
לא מוגדר
תמיד שלילי

12.מהו השיפוע של ישר אנכי?

לא מוגדר (חלוקה באפס)
$0$
אינסוף
$1$

13.מצאו שיפוע בין $(0, 0)$ ל- $(5, 15)$ .

$3$
$5$
$15$
$\frac{1}{3}$

14.באקווריום היו $120$ ליטרים, ואחרי $8$ דקות יש $200$ ליטרים. מהו קצב המילוי?

$10$ ליטרים לדקה
$80$ ליטרים לדקה
$25$ ליטרים לדקה
$320$ ליטרים לדקה

15.מצאו שיפוע בין $(2, 4) (5, a)$ , אם השיפוע ידוע $m = 2$ . מהו $a$ ?

$10$
$6$
$8$
$5$

16.סולם נשען על קיר. בסיסו רחוק $120$ ס"מ מהקיר, ראשו בגובה $300$ ס"מ. מהו שיפועו?

$\frac{5}{2}$
$\frac{2}{5}$
$180$
$5$

17.האם הנקודות $(1, 3), (3, 7), (6, 15)$ קוויות?

לא, השיפועים שונים
כן, השיפוע $2$
כן, השיפוע $\frac{8}{3}$
אי אפשר לדעת

18.סוללה מאבדת $5$ אחוזים בשעה. מהו השיפוע במונחי המצב?

$- 5$ אחוזים לשעה
$5$ אחוזים לשעה
$- 1$ שעה לאחוז
אין שיפוע

19.אם $m = \frac{3}{4}$ , איזה משפט נכון?

לכל $4$ ימינה, $3$ מעלה
לכל $3$ ימינה, $4$ מעלה
השיפוע שלילי
הישר אופקי

20.באיזה ייצוג השיפוע מתבטא בצורה ברורה ביותר?

בכל הייצוגים - הוא מהווה את אותו רעיון
רק בגרף
רק בטבלה
רק בנוסחה