גרסת הדפסה | החוברת

יחס, פרופורציה, קנה מידה, יחס ישר ויחס הפוך

מפת מושגים של הפרק

מהו יחס

יחס שומר על סדר. המספר הראשון שייך למילה הראשונה במשפט, והמספר השני שייך למילה השנייה. אם הופכים את הסדר, משווים דבר אחר.

יחס והיחס ההפוך

יחס והיחס ההפוך יהיו שווים רק במקרה מיוחד שבו שני החלקים שווים. בכל מקרה אחר ההיפוך משנה את המנה ואת המשמעות.

יחס בין חלקים ויחס לשלם

החלק הכחול מתוך כל הקבוצה הוא $\frac{3}{8}$ , ולא $\frac{3}{5}$ . היחס $3 : 5$ משווה חלק לחלק, אבל השלם כולל את שני החלקים.

צמצום, הרחבה ושינוי יחס

הוספה של אותו מספר לשני הצדדים אינה שומרת בדרך כלל על היחס. למשל $2 : 3$ אינו שקול ל- $4 : 5$ .

יחס עם יחידות ובלי יחידות

הטעות המרכזית היא לצמצם מספרים לפני המרת יחידות. $1.5$ מטר ו- $50$ סנטימטר אינם ביחס $1.5 : 50$ . קודם ממירים ל- $150$ סנטימטר.

חלוקה ביחס נתון

לאחר שמוצאים את יחידת היחס, מכפילים כל חלק במספר היחידות שלו. הבדיקה הסופית היא שסכום החלקים מחזיר את השלם.

יחס בין שלוש קבוצות

הטעות הנפוצה היא לחבר רק שני חלקים מתוך שלושה. כאשר יש שלושה חלקים, כל חלק משפיע על גודל יחידת היחס.

פרופורציה ומשוואות יחס

כפל בהצלבה הוא כלי נוח, אבל בסוף צריך לבדוק שהערך שמצאנו באמת יוצר יחס שקול.

יחס ישר

לא כל פונקציה קווית היא יחס ישר. למשל $y = 4 x + 2$ היא קו ישר, אבל כאשר $x = 0$ מקבלים $y = 2$ , ולכן הגרף אינו עובר בראשית.

קנה מידה במפה ובדגם

בקנה מידה חייבים להתאים יחידות. רק לאחר שכל המידות באותה יחידה אפשר להכפיל או לחלק בגורם הקנה.

יחס הפוך

ביחס ישר בודקים מנה קבועה. ביחס הפוך בודקים מכפלה קבועה. לכן הטבלה נראית יורדת ולא עוברת בקו ישר דרך הראשית.

איך בוחרים שיטה?

מצב בשאלה	מה נשאר קבוע?	פעולה מתאימה
יחס בסיסי	סדר הקבוצות	כתיבה לפי סדר וצמצום
יחסים שקולים	מנה	כפל או חילוק באותו גורם
חלק מתוך שלם	סכום יחידות היחס	חיבור חלקים וכתיבת שבר
חלוקה ביחס	השלם	מציאת יחידת יחס
פרופורציה	שוויון יחסים	גורם כפל או כפל בהצלבה
קנה מידה	גורם הקנה	כפל או חילוק עם התאמת יחידות
יחס ישר	מנה $\frac{y}{x}$	בדיקת $y = k x$
יחס הפוך	מכפלה $x y$	בדיקת $y = \frac{k}{x}$

שיטת הפתרון נבחרת לפי מה שהשאלה שומרת קבוע.

הבחנות שמונעות טעויות

יחס מול הפרש

יחס שואל כמה לכל כמה. הפרש שואל בכמה יותר או פחות.

$12 : 18 = 2 : 3$ , אבל ההפרש הוא $6$ .

יחס ישר מול יחס הפוך

ביחס ישר המנה קבועה. ביחס הפוך המכפלה קבועה.

$y = 4 x$ מול $y = \frac{24}{x}$ .

קנה מידה מול יחס רגיל

קנה מידה הוא יחס עם יחידות ואפשרות לעבור בין ייצוג למציאות.

$1 : 50, 000$ דורש המרת ס״מ לק״מ.

בכל הבחנה, כתבו משפט קצר שמסביר מה המספרים מייצגים.

בעיה מסכמת - דגם, יחס וחלוקה

בתוכניתדירהבקנהמידה m 1 : 100 / m, חדרמלבנימסומןבאורך m 5 / m ס״מוברוחב m 3 / m ס״מ.רוציםלחלקתקציבשל m 6400 / m ש״חלשיפוץהרצפהוהקירותביחס m 3 : 5 / m .מצאואתממדיהחדרבמציאותואתחלוקתהתקציב.

ממירים אורך במפה למציאות.
$5 \cdot 100 = 500 ס״מ = 5 מ’$
ממירים רוחב במפה למציאות.
$3 \cdot 100 = 300 ס״מ = 3 מ’$
מחלקים תקציב ביחס $3 : 5$ .
$3 + 5 = 8, 6400 \div 8 = 800$
מחשבים את שני חלקי התקציב.
$3 \cdot 800 = 2400, 5 \cdot 800 = 4000$

תשובה:

ממדיהחדר m 5 / m מ׳על m 3 / m מ׳, התקציב m 2400 / m ש״חו - m 4000 / m ש״ח

איך מזהים את סוג השאלה?

בפרק הזה אותה מילה יכולה להוביל לשיטות שונות. לפני חישוב שאלו מה נשמר קבוע: סדר, מנה, שלם, גורם קנה או מכפלה.

מפת החלטה לשאלה מעורבת

יש שלם שמתחלק

חברו את יחידות היחס.
מצאו יחידת יחס אחת.
בדקו שסכום החלקים מחזיר את השלם.

יש שני יחסים שווים

חפשו גורם כפל.
אם אין גורם ברור, השתמשו בכפל בהצלבה.
הציבו חזרה.

יש קשר בין משתנים

בדקו מנה קבועה ליחס ישר.
בדקו מכפלה קבועה ליחס הפוך.
בדקו אם הגרף עובר בראשית.

דף נוסחאות לפרק יחס ופרופורציה

כל הנוסחאות והכללים החשובים של הפרק במקום אחד. שמרו את הדף הזה לפני המבחן.

נוסחאות יחס בסיסיות

מושג	נוסחה	משמעות
יחס כמנה	$a : b = \frac{a}{b}$	כל יחס נכתב כשבר ( $b \neq = 0)$
צמצום יחס	$\frac{a}{b} = \frac{a / k}{b / k}$	מחלקים את שניהם באותו גורם
יחסים שקולים	$\frac{a _{1}}{b _{1}} = \frac{a _{2}}{b _{2}}$	המנה זהה
כפל בהצלבה	$a d = b c$	מתוך $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$
יחס מהופך	$b : a$	החלפת סדר היחס; המנה היא ההופכית של המקור

שימו לב: 'יחס מהופך' (החלפת סדר) שונה מ'יחס הפוך' (פרופורציה הפוכה) שמופיע בטבלה בהמשך.

נוסחאות חלק-שלם וחלוקה

מצב	נוסחה
שלם של יחס	$שלם = a + b$ (יחידות יחס)
חלק לחלק	$\frac{a}{b}$
חלק לשלם	$\frac{a}{a + b}$
חלוקה ביחס $a : b$	$ערך יחידה = \frac{שלם}{a + b}$
סכום יחס תלת-חלקי	$שלם = a + b + c$

נוסחאות יחס ישר ויחס הפוך

סוג	נוסחה	מה קבוע
יחס ישר	$y = k x$	מנה $\frac{y}{x} = k$
יחס הפוך	$y = \frac{k}{x}$	מכפלה $x y = k$

נוסחאות קנה מידה

מצב	נוסחה
מפה למציאות (קנה $1 : k)$	$מציאות = מפה \cdot k$
מציאות למפה	$מפה = מציאות \div k$
שטח בקנה	$שטח מציאות = שטח מפה \cdot k^{2}$
נפח בקנה	$נפח מציאות = נפח מפה \cdot k^{3}$

בעיות מסכמות נוספות

בעיות מורכבות שמערבות מספר רעיונות מהפרק. אלו דוגמאות לסוג השאלות שיופיעו במבחן הסיכום.

בעיה מסכמת 1 - יחס תלת-חלקי וחלוקה

תקציבכולל m 900 / m ש״חלשלושמשימות.היחסביןהמשימותהוא m 2 : 3 : 4 / m .אחריהחישוב, המשימההשנייהמקבלתתוספתשל m 50 / m ש״חמהמשימההראשונה.כמהכלמשימה ?

סכום יחידות.
$2 + 3 + 4 = 9$
ערך יחידה.
$900 \div 9 = 100$
שלוש החלוקות הראשוניות.
$200, 300, 400$
מבצעים את התוספת.
$200 - 50 = 150, 300 + 50 = 350$

תשובה:

ראשונה m 150 / m, שנייה m 350 / m, שלישית m 400 / m .

שאלון סיום

השאלון המסכם בודק מעבר בין ייצוגים, בחירת שיטה והסבר של טעויות נפוצות.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.איזו פעולה שומרת יחס שקול?

כפל או חילוק של שני החלקים באותו גורם חיובי
הוספה של אותו מספר
חיסור מהחלק הגדול בלבד
החלפת סדר תמיד

2.ביחס $3 : 5$ , החלק הראשון מתוך השלם הוא...

$\frac{3}{8}$
$\frac{3}{5}$
$\frac{5}{8}$
$\frac{8}{3}$

3.חלקו $144$ ביחס $4 : 5$ .

$64$ ו- $80$
$72$ ו- $72$
$40$ ו- $50$
$60$ ו- $84$

4.פתרו $\frac{7}{x} = \frac{14}{20}$ .

$x = 10$
$x = 40$
$x = 27$
$x = 2$

5.בקנה מידה $1 : 250$ , $8$ ס״מ הם...

$20$ מטר
$2$ מטר
$200$ מטר
$250$ ס״מ

6.מה מאפיין יחס ישר?

מנה קבועה וגרף דרך הראשית
מכפלה קבועה
הפרש קבוע בלבד
גרף יורד תמיד

7.מה מאפיין יחס הפוך?

מכפלה קבועה
מנה קבועה
סכום קבוע
יחס חלק-שלם

8.מה הטעות בפתרון $2 : 3 = 4 : 5$ כי הוסיפו $2$ ?

הוספה שווה אינה שומרת יחס
היחסים דווקא שקולים
צריך לחסר במקום לחלק
המספרים חייבים להיות זוגיים

9.בתערובת ביחס $2 : 3 : 5$ , איזה חלק הוא החלק השלישי?

$\frac{1}{2}$
$\frac{5}{3}$
$\frac{5}{8}$
$\frac{3}{10}$

10.יחס בין $2$ מטר ל- $50$ ס״מ הוא...

$4 : 1$
$2 : 50$
$1 : 25$
$25 : 1$

11.אם $y = 6 x$ , מה $y$ עבור $x = 4$ ?

$24$
$10$
$2$
$64$

12. $5$ עובדים מסיימים עבודה ב- $12$ שעות. כמה שעות ל- $10$ עובדים באותו קצב?

$6$
$24$
$12$
$17$

13.שאלה כוללת: מה משותף לצמצום יחס ולפתרון פרופורציה?

בשניהם שומרים על שקילות יחסית
בשניהם מחברים את החלקים
בשניהם המכפלה קבועה תמיד
בשניהם אסור להשתמש בשברים

14.איזה סימן מזהה בדרך כלל יחס הפוך?

מכפלה קבועה
מנה קבועה
סכום קבוע
הפרש קבוע

15.חלקו $240$ ביחס $3 : 5 : 4$ . מה החלק השני?

$100$
$80$
$60$
$120$

16.בקנה מידה $1 : 20, 000$ , $6$ ס״מ במפה הם...

$1.2$ ק״מ
$120$ ק״מ
$12$ מטר
$3$ ק״מ

17.איזו נוסחה אינה יחס ישר?

$y = 3 x + 2$
$y = 3 x$
$y = 0.5 x$
$y = \frac{3}{4} x$

18.ביחס $4 : 6$ , מה חלקו של החלק הראשון מתוך השלם?

$\frac{2}{5}$
$\frac{4}{6}$
$\frac{6}{10}$
$\frac{4}{4}$

19.פתרו $\frac{x}{9} = \frac{8}{12}$ .

$6$
$8$
$12$
$18$

20.מהי הבדיקה החשובה ביותר בסוף בעיית יחס?

שהתשובה מתאימה למשמעות ולנתונים
שהמספרים גדולים
שהשתמשנו תמיד בכפל בהצלבה
שהתשובה היא אחוז