גרסת הדפסה | החוברת

תיכון יוצר שני משולשים עם בסיסים שווים וגובה משותף. שטח שווה - אך לא בהכרח חופפים.

מה נבנה כאן

לתיכון יש תכונה חשובה מעבר לחלוקת הצלע: הוא מחלק את שטח המשולש לשני שטחים שווים. הסיבה היא לא בהכרח חפיפה, אלא בסיסים שווים וגובה משותף. זוהי דוגמה יפה לכך ששתי טענות גאומטריות יכולות להוביל לאותה מסקנה - שטח שווה - בלי שהן זהות.

בסיסים שווים: התיכון מחלק את הצלע לשני חלקים שווים, ולכן $B D = D C$ .
גובה משותף: לשני המשולשים הקטנים יש אותו גובה מהקודקוד אל הצלע מולו.
נוסחת שטח: $S = \frac{a \cdot h}{2}$ . בסיסים שווים + גובה שווה = שטחים שווים.
שטח ולא חפיפה: שטחים שווים ≠ משולשים חופפים. נחליק בין השניים.

למה תיכון מחלק את השטח לחצי

כאן התיכון הופך מכלי של צלעות לכלי של שטחים. הרעיון פשוט אך עוצמתי: במקום לנסות להוכיח חפיפה (שדורשת לפעמים נתונים נוספים), נזהה שני בסיסים שווים על אותו ישר וגובה אחד משותף. אז נוסחת השטח עושה את העבודה.

ההוכחה - שלוש שורות

אם $A D$ הוא תיכון לצלע $B C$ , אז שני המשולשים $△ A B D$ ו- $△ A C D$ בעלי שטחים שווים.

S_{△ A B D} = \frac{B D \cdot h}{2} = \frac{D C \cdot h}{2} = S_{△ A C D}

חשוב מאוד: שטחים שווים אינם אומרים בהכרח שהמשולשים חופפים. זה לא אותו דבר!

מה התיכון נותן לנו

חלוקת צלע

$B D = D C$ . מחלק את הצלע מולו לשני חלקים שווים.

שטחים שווים

שני המשולשים שווי שטח, בזכות בסיסים שווים וגובה משותף.

מרכז כובד

שלושת התיכונים נפגשים במרכז הכובד, נקודת איזון פיזיקלי.

לא חפיפה ישירה

שני המשולשים בדרך כלל לא חופפים, גם אם השטחים שלהם שווים.

חצי משולש מקורי

כל אחד מהשטחים החדשים הוא בדיוק חצי מהשטח של המשולש המקורי.

שימוש בנוסחת שטח

מאפשר חישובים מהירים: שטח מקור = 2 × שטח אחד החלקים.

תמונה הממחישה שתיכון במשולש מחלק אותו לשני שטחים שווים בעזרת בסיסים שווים וגובה משותף — תיכון מחלק את הצלע מולו לשני בסיסים שווים, ולכן שני המשולשים מקבלים שטחים שווים עם אותו גובה.

שני שטחים משני צדי התיכון

BD ו-DC הם בסיסים שווים, והגובה מהקודקוד A משותף לשני המשולשים.

שטחים שווים משני צדי תיכון

B D = D C \Rightarrow S_{△ A B D} = S_{△ A C D}

ההוכחה הפורמלית - שורה אחר שורה

שלב	טענה	נימוק
1	$A D$ תיכון לצלע $B C$	נתון
2	$B D = D C$	מ-1: הגדרת תיכון
3	$h =$ הגובה מ- $A$ אל $B C$	מסתכלים על אותו גובה לשני המשולשים
4	$S_{△ A B D} = \frac{B D \cdot h}{2}$	נוסחת שטח משולש
5	$S_{△ A C D} = \frac{D C \cdot h}{2}$	נוסחת שטח משולש
6	$S_{△ A B D} = S_{△ A C D}$	מ-2, 4, 5: בסיסים שווים + גובה שווה

דוגמה - מחשבים שטחים

הדוגמאות הבאות מראות איך תכונת התיכון נכנסת לתוך נוסחת שטח. כל הצבה בנוסחה נשענת על סיבה גאומטרית: בסיס אחד הוא חצי צלע, והגובה משותף.

דוגמה 1 - מחשבים שטחים שווים

m A D / m תיכוןלצלע m B C / m .נתון m B D = D C = 4 / m והגובהמהקודקוד m A / m אל m B C / m הוא m 6 / m .מצאואתשטחישניהמשולשיםהקטנים.

משתמשים בנוסחת שטח משולש לכל אחד מהחלקים.
$S = \frac{a \cdot h}{2}$
מציבים בסיס $B D = 4$ וגובה $h = 6$ למשולש הראשון.
$S_{△ A B D} = \frac{4 \cdot 6}{2} = 12$
אותם בסיס וגובה מתקבלים גם בצד השני.
$S_{△ A C D} = \frac{4 \cdot 6}{2} = 12$
אכן, שני השטחים שווים.
$S_{△ A B D} = S_{△ A C D} = 12$

תשובה:

כלאחדמהשטחיםהוא m 12 / m יחידותשטח.השטחהכוללשלהמשולש : m 12 + 12 = 24 / m .

דוגמה 2 - מוצאים גובה ושטח כולל

במשולש m △ A B C / m, m A D / m תיכוןלצלע m B C / m .נתון m B D = 5 / m ושטח m △ A B D = 20 / m .מצאואתהגובהמ - m A / m אל m B C / m ואתשטחהמשולשכולו.

משתמשים בנוסחה למשולש הקטן $△ A B D$ .
$S_{△ A B D} = \frac{B D \cdot h}{2}$
מציבים את הנתונים.
$20 = \frac{5 h}{2}$
כופלים את שני האגפים ב-2.
$40 = 5 h$
מחלקים ב-5.
$h = 8$
התיכון מחלק את המשולש לשני שטחים שווים.
$S_{△ A C D} = S_{△ A B D} = 20$
מחברים את שני החלקים לשטח כולל.
$S_{△ A B C} = 20 + 20 = 40$

תשובה:

הגובההוא m 8 / m, ושטחהמשולשהכוללהוא m 40 / m יחידותשטח.

שטח שווה אינו חפיפה

שטחים שווים

מודד רק גודל אזור
אפשר עם בסיסים וגבהים שונים
תיכון יוצר שני שטחים שווים
שני המשולשים יכולים להיראות שונים

חפיפה

דורשת שוויון של כל הצלעות והזוויות
תנאי חזק יותר משטח שווה
שני המשולשים זהים לחלוטין
מוכחת ע"י משפטי חפיפה

מה אפשר ומה אסור להסיק

אפשר להסיק (כן)

מתיכון: שטחים שווים משני הצדדים. שטח כל חלק = חצי משטח המשולש.

אסור להסיק (לא)

המשולשים אינם בהכרח חופפים. צלעות $A B$ ו- $A C$ יכולות להיות שונות.

מתי המשולשים חופפים

רק במשולש שווה שוקיים: אם $A B = A C$ , אז התיכון מהראש יוצר חפיפה.

במשולש כללי

שטח שווה - כן. חפיפה - בדרך כלל לא.

תרגול

תרגיל

תרגול 1 - שטח כולל

תיכון מחלק משולש לשני משולשים. אם שטח אחד הוא $18$ , מה שטח המשולש כולו?

S_{1} = 18

תרגיל

תרגול 2 - מחפשים בסיס חסר

תיכון יוצר שני משולשים עם גובה $5$ . שטח כל אחד מהם $20$ . מה אורך כל בסיס?

h = 5, S = 20

תרגיל

תרגול 3 - מוצאים את כל הבסיס

$A D$ תיכון לצלע $B C$ . שטח המשולש כולו $54$ , והגובה מ- $A$ אל $B C$ הוא $6$ . מצאו את $B C$ .

S_{△ A B C} = 54, h = 6

טעויות נפוצות

כאשר שני שטחים שווים, קל להתפתות ולחשוב שכל חלקי המשולשים שווים. כאן עוצרים ומפרידים בין מידע על גודל השטח לבין מידע על הצורה המדויקת. אלו שני סוגי מידע שונים.

טעויות נפוצות בתיכון ושטחים

הטעות	מה לעשות במקום
להניח ששוויון שטחים = חפיפה	שטח שווה הוא תנאי חלש יותר. חפיפה דורשת גם שוויון צלעות וזוויות.
לשכוח לחלק ב-2 בנוסחת השטח	$S = \frac{a \cdot h}{2}$ . החלוקה ב-2 חיונית.
לחלק את השטח ב-3 או ב-4	תיכון יחיד יוצר 2 חלקים שווים, לא 3 או 4. שלושה תיכונים יחד יוצרים 6 חלקים שווים.
להציב $B D$ כאילו זה $B C$	$B C = B D + D C$ . אם רק $B D$ ידוע, צריך להכפיל ב-2.
להניח שתיכון יוצר משולשים זהים	התיכון יוצר שני משולשים שווי שטח, אבל הם בדרך כלל לא חופפים.

מחשבה ועומק

למה שני שטחים שווים אינם מוכיחים ששני המשולשים חופפים?

שלושת התיכונים יחד מחלקים את המשולש ל-6 משולשים. מה התכונה המיוחדת של ששת המשולשים האלה?

איך תכונת החלוקה השווה של תיכון מתבטאת באיזון פיזיקלי של מסה?

תיכון ביישומים אמיתיים

תכונת השטח השווה של תיכון אינה רק עובדה מתמטית - היא יסוד של חישובים בפיזיקה, הנדסה ועיצוב. הנה כמה דוגמאות מעשיות שמשתמשות בתכונה זו במישרין.

תכונת שטח שווה ביישומים

חיתוך פיצה לאחים

אם פיצה היא משולשית, וצריך לחלק אותה לשני חלקים שווים בלי לפגוע בצורה - תיכון נותן את התשובה. שני האחים יקבלו אותה כמות פיצה.

חלוקת שדה משולשי

חקלאי שירש שדה משולשי וצריך לחלק אותו לשני חלקים שווים בין שני בנים - הוא יחתוך לאורך תיכון. שני הבנים יקבלו אדמות בעלות שטח זהה (אך צורות שונות).

אדריכלות של חלונות

במבני זכוכית משולשיים, מהנדסים מחלקים את הזכוכית לפנלים שווים בעזרת תיכונים. כל פנל יקבל אותה כמות חומר וייצור עלות שווה.

הוצאות בנייה

בחישוב עלויות בנייה, תיכון מבטיח שלשני קבלנים יוקצו אזורי עבודה בעלי שטח שווה. בלי תיכון, חלוקה הוגנת היא קשה.

כדורסל - חלוקת המגרש

במגרשי כדורסל מסוימים שיש בהם אזורים משולשיים, האזורים מחולקים לפי תיכונים כדי לתת לכל קבוצה שטח שווה.

אסטרונאוטיקה

במשטחי שמש על לוויינים שיש להם צורת משולש, התיכונים משמשים לחלוקת השטח לקטעים שווים, כדי שכל פנל יקבל אותה כמות אנרגיית שמש.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מדוע תיכון מחלק את שטח המשולש לשני חלקים שווים?

כי הבסיסים שווים והגובה מהקודקוד משותף לשני המשולשים
כי המשולשים תמיד חופפים
כי כל גובה הוא תיכון
כי כל צלע במשולש שווה

2.אם שטח אחד משני צדי התיכון הוא $15$ , מהו השטח הכולל של המשולש?

$30$
$15$
$45$
אי אפשר לדעת

3.מה לא נובע משוויון שטחים בלבד?

חפיפת המשולשים (חפיפה דורשת גם שוויון צלעות וזוויות)
שאותו שטח מודד את גודל האזור
אפשרות לחבר את שני השטחים
אפשרות לחשב את השטח הכולל

4.איזה גובה משותף לשני המשולשים שנוצרים מתיכון?

הגובה מהקודקוד אל הצלע שעליה נמצא התיכון
גובה מכל נקודה אקראית
גובה אל צלע אחרת
אין גובה משותף

5.אם $B D = D C = 6$ והגובה מ- $A$ אל $B C$ הוא $4$ , מה שטח כל חלק?

$12$
$24$
$10$
$6$

6.מהי הטעות הנפוצה בנושא תיכון ושוויון שטחים?

להסיק חפיפה משוויון שטחים
להשתמש בנוסחת בסיס וגובה
לחבר שני שטחים
לסמן את התיכון בציור

7. $A D$ תיכון במשולש $△ A B C$ , ושטח המשולש כולו $48$ . מהו שטח $△ A C D$ ?

$24$
$48$
$12$
אי אפשר לדעת

8.שטח $△ A B D$ הוא $21$ , והבסיס $B D = 7$ . מהו הגובה מ- $A$ אל $B C$ ?

$6$
$3$
$14$
$7$

9.שני משולשים בתוך משולש גדול הם שווי שטח. האם מכאן בלבד אפשר להסיק שהקטע ביניהם הוא תיכון?

לא, צריך גם להראות שהצלע נחלקה לשני חלקים שווים (בסיסים שווים)
כן, שטחים שווים תמיד מוכיחים תיכון
כן, כי כל קטע במשולש הוא תיכון
לא, כי לתיכון אין קשר לשטח

10.איזו שרשרת נימוק מוכיחה נכון שתיכון מחלק שטח לשניים?

$B D = D C$ (תיכון), גובה משותף, נוסחת שטח, לכן שטחים שווים
הציור נראה סימטרי, לכן המשולשים חופפים, ולכן שטחים שווים
השטחים שווים, ולכן כל הצלעות שוות
הגובה קיים, ולכן הבסיסים שווים

11.במשולש $△ A B C$ עם $A B = 5$ ו- $A C = 7$ , $A D$ תיכון לצלע $B C$ . האם $△ A B D ≅ △ A C D$ ?

לא. השטחים שווים, אבל המשולשים לא חופפים כי $A B \neq = A C$
כן, תמיד חופפים
רק אם הזוויות שוות
אי אפשר לקבוע

12.תיכון יוצר שני משולשים. שטח אחד הוא $30$ . אם נכפיל את הבסיס ב-2 אך נחלק את הגובה ב-2, מה יקרה לשטח?

השטח יישאר $30$ , כי $\frac{2 a \cdot \frac{h}{2}}{2} = \frac{a \cdot h}{2}$
השטח יוכפל ל- $60$
השטח יחתוך ל- $15$
השטח יהיה $120$

13.במשולש $△ A B C$ , $A D, B E, C F$ שלושת התיכונים. אם שטח המשולש $48$ , מה שטח כל אחד מ-6 המשולשים שנוצרים?

$8$ (שלושת התיכונים מחלקים את המשולש לשישה משולשים בעלי שטח שווה)
$24$
$16$
השטחים שונים זה מזה

14.שטח המשולש הכולל הוא $60$ , והגובה מ- $A$ אל $B C$ הוא $5$ . אם $A D$ תיכון, מהו $B C$ ?

$24$
$12$
$30$
$6$

15.מה ההבדל המהותי בין הוכחת שטחים שווים לבין הוכחת חפיפה?

הוכחת שטחים מספיקה בנוסחת בסיס+גובה, חפיפה דורשת שוויון של כל הצלעות והזוויות
אין הבדל בין השניים
שטח דורש יותר נתונים מחפיפה
חפיפה רק במשולשים ישרי זווית