גרסת הדפסה | החוברת

דוגמה נגד אחת יכולה להפיל טענת חפיפה

מה נבנה כאן

לא כל שלושה נתונים על משולשים מספיקים לחפיפה. בפרק הזה לומדים לעצור, לבדוק אם המשפט באמת תקף, ולבנות דוגמה נגד כשנתון נראה משכנע מדי. זה לא מודול על משפט חדש - זה מודול על חשיבה ביקורתית במתמטיקה.

ז.ז.ז: נבין מדוע שלוש זוויות שוות נותנות צורה בלבד, לא גודל.
צ.צ.ז לא כלואה: נזהה מצב שבו שתי צלעות וזווית אינן משפט צ.ז.צ.
דוגמה נגד: נשתמש בדוגמה אחת כדי להראות שטענה אינה נכונה תמיד.
חשיבה ביקורתית: נלמד לבדוק טענות במתמטיקה באמצעות דוגמאות נגד.

מהי דוגמה נגד וכוחה במתמטיקה

במתמטיקה, כדי להוכיח שטענה תמיד נכונה צריך הוכחה אוניברסלית. אבל כדי להוכיח שטענה לא תמיד נכונה - מספיקה דוגמה אחת שבה היא נכשלת. זה נקרא דוגמה נגד, והיא כלי עוצמתי. אם אני מוצא משולש אחד שבו שלוש זוויות שוות לאחר אך הם לא חופפים - הוכחתי שז.ז.ז לא יכולה להיות משפט חפיפה.

לא כל נתון יפה הוא משפט

כאן לא לומדים עוד משפט חפיפה, אלא לומדים לזהות גבול: נתונים שנראים חזקים יכולים להשאיר חופש לשנות גודל או צורה. המטרה היא לדעת מתי לעצור ולא להפוך רמז בציור לנימוק.

לא כל נתון יפה הוא משפט

בגאומטריה משפט חייב לעבוד תמיד. אם מוצאים דוגמה אחת שבה הנתונים מתקיימים אבל המסקנה לא, הטענה אינה משפט חפיפה. במודול הזה נכיר ארבעה מצבים נפוצים שבהם 'נראה' שיש מספיק מידע - אבל בעצם אין: AAA (שלוש זוויות), SSA (שתי צלעות וזווית לא כלואה), שטח שווה, והיקף שווה.

∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E, ∠ C = ∠ F

השאלה החשובה היא לא כמה נתונים יש, אלא אילו נתונים ומה היחסים ביניהם. שלושה נתונים יכולים להיות 'מצופפים נכון' (משפט חפיפה) או 'רחוקים מדי' (לא משפט). השוני בין השניים יכול להיות זווית אחת או צלע אחת - הבדל קטן בנתונים, הבדל ענק בתוצאה.

AAA - שלוש זוויות שוות (דמיון, לא חפיפה)

המקרה הראשון של 'נראה כמו משפט אבל לא': שלוש זוויות מתאימות שוות (AAA - Angle Angle Angle). אם

∠ A = ∠ D

∠ B = ∠ E

, ו-

∠ C = ∠ F

, האם

△ A B C ≅ △ D E F

? התשובה: לא! המשולשים יהיו דומים אבל לא בהכרח חופפים. הסיבה: הזוויות קובעות את צורת המשולש, אבל לא את גודלו.

דוגמה מספרית מפורטת - AAA לא חפיפה

ניקחאתהמשולשהמפורסם3 - 4 - 5 (משולשישרזווית), ונראהשישאינסוףמשולשיםעםאותןזוויותאבלגדליםשונים.

המשולש הראשון: $△ A B C$ ישר זווית, עם זווית ישרה בקודקוד $C$ ושתי זוויות חדות. הצלעות: $3, 4, 5$ .
$△_{1} : 3, 4, 5 (ישר זווית)$
המשולש השני: $△ D E F$ עם אותן זוויות בדיוק, אבל מוגדל פי 2. צלעות: $6, 8, 10$ .
$△_{2} : 6, 8, 10 (אותן זוויות)$
בדיקה: יחס הצלעות $3 : 4 : 5$ שווה ליחס $6 : 8 : 10$ . הזוויות זהות. אבל הצלעות שונות לחלוטין באורך!
$\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{10}{5} = 2$
המשולש השלישי: עוד הגדלה - פי $π$ . צלעות: $3 π, 4 π, 5 π \approx 9.42, 12.57, 15.71$ . עדיין אותן זוויות.
$△_{3} : 3 π, 4 π, 5 π$
אינסוף משולשים אפשריים: לכל מקדם הגדלה $k > 0$ , יש משולש עם צלעות $3 k, 4 k, 5 k$ ואותן זוויות.
$△_{k} : 3 k, 4 k, 5 k לכל k > 0$

תשובה:

AAA יוצראינסוףמשולשיםשוניםבגדליםשונים.הםדומיםזהלזה - אבללאחופפים. AAA אינומשפטחפיפה.

SSA - 'המקרה הדו-משמעי'

המקרה השני (והמסוכן יותר!) של 'נראה כמו משפט אבל לא': שתי צלעות וזווית שאינה ביניהן (SSA). הוא נקרא 'המקרה הדו-משמעי' כי בהינתן שלושת הנתונים, יכולים להיות 0, 1, או 2 משולשים שונים שעונים להם!

המקרה הדו-משמעי - מתי 0, 1, או 2 משולשים?

מצב	מתי	כמה משולשים
טווח הדו-משמעיות	$A B \cdot sin (∠ A) < B C < A B$	2 משולשים
מקרה גבול (משיק)	$B C = A B \cdot sin (∠ A)$	1 משולש (מקרה גבול)
צלע ארוכה ממש	$B C \geq A B$	1 משולש
קצרה מדי - אין פתרון	$B C < A B \cdot sin (∠ A)$	0 משולשים

דוגמה מפורטת - SSA יוצר 2 משולשים

נתון m A B = 10, B C = 6, ∠ A = 3 0^{\circ} / m .כמהמשולשיםשוניםאפשרלבנות ?

מתחילים מ- $A$ . הזווית $∠ A = 3 0^{\circ}$ קובעת קרן יוצאת מ- $A$ .
$∠ A = 3 0^{\circ}$
$B$ נמצא במרחק 10 מ- $A$ - על הקרן הראשונה.
$A B = 10$
$C$ צריך להיות במרחק 6 מ- $B$ - על מעגל ברדיוס 6 סביב $B$ , וגם על הקרן השנייה היוצאת מ- $A$ .
$B C = 6 ועל הקרן השנייה$
כדי לראות כמה נקודות חיתוך, נבדוק מהו המרחק האנכי בין הקרן השנייה ל- $B$ . זה $10 \cdot sin (3 0^{\circ}) = 10 \cdot 0.5 = 5$ .
$גובה אנכי = 5$
המעגל ברדיוס 6 סביב $B$ בהחלט חוצה את הקרן (כי $6 > 5$ ), אבל בשתי נקודות שונות.
$6 > 5, 6 < 10$
נקודה ראשונה: $C_{1}$ עם $A C_{1} = ?$ . נקודה שנייה: $C_{2}$ עם $A C_{2} = ?$ . כל אחת מהן מספקת את הנתונים.
$C_{1} \neq = C_{2}$
מתקבלים שני משולשים שונים: $△ A B C_{1}$ ו- $△ A B C_{2}$ , ושניהם בעלי $A B = 10, B C = 6, ∠ A = 3 0^{\circ}$ .
$△ A B C_{1} \neq ≅ △ A B C_{2}$

תשובה:

ב - S S A יששנימשולשיםשוניםשעוניםלאותםנתונים. S S A הו א^{'} מקרהדו - משמע י^{'} ואינומשפטחפיפה.

שטח שווה ≠ חפיפה

המקרה השלישי: שני משולשים בעלי שטח זהה. נראה הגיוני שאם הם 'גדולים אותו דבר', הם חופפים. אבל זה לא ככה - שטח אחד יכול להתקבל מאלפי צירופי בסיס וגובה.

היקף שווה ≠ חפיפה

המקרה הרביעי: שני משולשים בעלי היקף זהה. אם הסכום של כל הצלעות שווה - האם המשולשים חופפים? לא! ההיקף לא נותן מידע על אורכי הצלעות הספציפיים.

טבלת מאסטר - מה מספיק ומה לא

להלן הטבלה המקיפה של כל הצירופים שתפגשו: אילו נתונים מבטיחים חפיפה ואילו לא, ולמה. זוהי 'תעודת זהות' של כל הקומבינציות:

מסטר מצבים: 3 נתונים = חפיפה?

נתונים	סוג	חפיפה?	הסיבה
צ.צ.צ (3 צלעות)	SSS	כן ✓	שלוש צלעות קובעות משולש יחיד
צ.ז.צ (2 צלעות + זווית כלואה)	SAS	כן ✓	הזווית 'נועלת' את הקודקוד השלישי
ז.צ.ז (2 זוויות + צלע כלואה)	ASA	כן ✓	הזוויות קובעות כיוונים, הצלע - גודל
ז.ז.צ (2 זוויות + צלע לא כלואה)	AAS	כן ✓	שקול ל-ז.צ.ז (סכום 180 קובע את הזווית השלישית)
SSA (2 צלעות + זווית לא כלואה)	SSA	לא ✗	מקרה דו-משמעי: 0, 1, או 2 משולשים
AAA (3 זוויות)	AAA	לא ✗	דמיון בלבד - אין מידע על גודל
שטח שווה	אין	לא ✗	אינסוף משולשים עם אותו שטח
היקף שווה	אין	לא ✗	אינסוף משולשים עם אותו היקף
שטח + היקף שווים	אין	לא ✗	עדיין יש משולשים שונים - שני נתונים מספריים אינם קובעים משולש
צלע אחת + שטח	אין	לא ✗	חסר מידע על זוויות וצלעות אחרות
צלע אחת + היקף	אין	לא ✗	חסר מידע מספיק
שתי זוויות בלי צלע	AA	לא ✗	דמיון - בלי גודל

תמונה הממחישה ששוויון זוויות בלבד אינו מבטיח חפיפת משולשים — שוויון של זוויות יכול לשמור על צורה, אבל חפיפה דורשת גם אותו גודל.

אותן זוויות, גדלים שונים

הזוויות יכולות להיות שוות, אבל המשולשים אינם באותו גודל.

זוויות שוות אינן מספיקות לחפיפה

∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E, ∠ C = ∠ F \neq \Rightarrow △ A B C ≅ △ D E F

מה מספיק ומה לא

נתונים	האם משפט חפיפה בפרק?	הסיבה
צ.ז.צ	כן	זווית כלואה בין שתי צלעות
ז.צ.ז	כן	צלע כלואה בין שתי זוויות
צ.צ.צ	כן	שלוש צלעות מתאימות
ז.ז.ז	לא	שומר צורה, לא גודל - דמיון
צ.צ.ז לא כלואה	לא	הזווית אינה בין הצלעות - אפשרי >1 משולש
צלע + שטח	לא	שטח לא קובע צורה
היקף	לא	אורכים לא ידועים בנפרד
שתי זוויות בלבד (בלי צלע)	לא	אין מידע על גודל - דמיון

דוגמה - ז.ז.ז אינה חפיפה

כאן בונים דוגמה נגד מסודרת: משאירים את הנתונים שהטענה מבטיחה, משנים משהו שמותר עדיין לשנות, ובודקים אם החפיפה נכשלת.

שני מצבים שמפילים טענה

ז.ז.ז

כל הזוויות שוות, אבל אפשר להגדיל או להקטין את המשולש.

צ.צ.ז לא כלואה

יש שתי צלעות וזווית, אבל הזווית אינה בין הצלעות, ולכן זה לא צ.ז.צ.

איך בונים דוגמה נגד

שינוי גודל

קחו משולש והגדילו אותו פי 2. הזוויות נשארות, החפיפה נעלמת. דוגמה נגד לז.ז.ז.

הזווית הלא נכונה

בחרו שתי צלעות ואז סמנו זווית שאינה בין שתיהן. זו אינה כליאה - דוגמה נגד לצ.צ.ז (לא כלואה).

שטח עם צורות שונות

משולש דק וארוך מול משולש רחב ונמוך - אותו שטח, צורות שונות.

היקף עם צורות שונות

משולש (3,4,5) ומשולש שווה צלעות (4,4,4) - אותו היקף 12, אך לא חופפים.

בדיקות אבחון

האם זה משפט?

ספרו: צ או ז?
בדקו: כליאה?
האם זה צ.ז.צ, ז.צ.ז או צ.צ.צ?

אם לא - לחפש דוגמה נגד

מה יכול להשתנות?
גודל? צורה?
בנו דוגמה ספציפית.

ז.ז.ז = דמיון

שלוש זוויות = צורה.
אין נתון על גודל.
הגדלה היא דוגמה נגדית.

צ.צ.ז לא כלואה = שני אפשרויות

הקרן יכולה לחתוך מעגל בשתי נקודות.
מתקבלים שני משולשים שונים.
פרט: לפעמים אין משולש כלל.

תרגול מדורג

תרגיל

תרגול 1 - ניתוח נימוק חשודה (אתגר)

תלמיד כתב: נתון $A B = D E$ , $A C = D F$ ו- $∠ B = ∠ E$ , לכן $△ A B C ≅ △ D E F$ . האם הנימוק תקף?

A B = D E, A C = D F, ∠ B = ∠ E

תרגיל

תרגול 2 - האם ז.ז.ז מספיק (בינוני)

שני משולשים בעלי זוויות $4 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 8 0^{\circ}$ . האם בהכרח הם חופפים?

4 0^{\circ}, 6 0^{\circ}, 8 0^{\circ}

תרגיל

תרגול 3 - מה חסר כדי לתקן (בינוני-גבוה)

יש לנו שתי זוויות שוות בשני משולשים. איזה נתון נוסף יכול להפוך את המידע למשפט ז.צ.ז?

∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E

ההיסטוריה: איך מתמטיקאים שללו את AAA

ההבחנה בין דמיון לחפיפה היא לא חדשה - היא חוזרת לאאוקלידס במאה ה-3 לפני הספירה. בספר היסודות (Elements), אאוקלידס הקדיש את הספר השישי כולו לדמיון, ובו הוכיח שAAA הוא בדיוק תנאי הדמיון. הוא לא קרא לזה 'דוגמה נגדית' - אבל הוא הבחין באופן ברור: 'משולשים בעלי אותן זוויות הם דמויים, יחס הצלעות שלהם שווה'.

ההיסטוריה של ההבחנה

אאוקלידס (300 לפני הספירה)

בספר השישי של היסודות, אאוקלידס הוכיח שמשולשים בעלי אותן זוויות יוצרים יחס קבוע של צלעות. הוא ניסח זאת באופן הפוך: דמיון מובל ליחס. אבל ההבחנה שלו עדיין נלמדת באלפיים שנה אחרי.

תאלס ממילטוס (600 לפני הספירה)

תאלס מדד את גובה הפירמידה בעזרת דמיון - השווה את הצל שלו לצל הפירמידה. למעשה, הוא השתמש בצורה אינטואיטיבית בכך שAAA = דמיון, ולכן יחסי הצלעות שווים.

הילברט (1899)

במאה ה-19, מתמטיקאים החלו לבדוק את היסודות של אאוקלידס. דוד הילברט פרסם 'יסודות הגאומטריה' שבו ניסח מחדש את כל הגאומטריה באקסיומות מודרניות. הוא הראה ש-צ.ז.צ (SAS) הוא אקסיומה - אי אפשר להוכיח אותו מהיסודות, אבל ממנו אפשר להוכיח את שאר משפטי החפיפה.

שאלת הבקרה

ברגע שנתון לא מתאים בדיוק לצ.ז.צ, ז.צ.ז או צ.צ.צ, לא כותבים חפיפה מתוך הרגל. מחפשים מה עוד יכול להשתנות למרות שהנתונים נשארים נכונים.

מפת מצבים שאינם מספיקים

מצב	למה לא מספיק	מה אפשר עדיין להסיק
שלוש זוויות בלבד (ז.ז.ז)	אין נתון על גודל - אפשר הגדלה	המשולשים דומים (לא חופפים)
שתי צלעות + זווית לא כלואה	ייתכנו 2 משולשים שונים על הקרן	כלום בוודאות - תלוי בנתונים
אורך + שטח	שטח לא קובע צורה	כלום על צלעות נוספות
היקף בלבד	אורכים אינם ידועים בנפרד	סכום אורכים בלבד
זווית אחת + צלע אחת	חסר נתון	כלום על צלעות וזוויות אחרות
שתי זוויות בלי צלע	צ.ז.ז = ז.ז.ז = דמיון	המשולשים דומים, לא חופפים

קישור ללמידה

המקום של מודול זה בפרק

מהמודולים הקודמים

הכרנו שלושה משפטי חפיפה: צ.צ.צ, צ.ז.צ, ז.צ.ז. עכשיו לומדים מתי הם לא פועלים.

במודול הנוכחי

חשיבה ביקורתית: זיהוי מצבים בהם הנתונים אינם מספיקים, שימוש בדוגמאות נגד.

במודולים הבאים

נעבור למשולש שווה שוקיים ולתיכון - מצבים שבהם החפיפה היא כלי, לא מטרה.

שאלות לחשיבה עמוקה

למה דוגמה נגד אחת מספיקה כדי להראות שטענה אינה משפט?

ראיתם בכיתה ז: סכום זוויות במשולש = $18 0^{\circ}$ . עכשיו: ז.ז.ז (שלוש זוויות שוות) אינו משפט חפיפה. למה לא? הרי שלוש זוויות לכאורה קובעות הכל!

במציאות, מודד קרקע מודד שתי זוויות וצלע. הוא יודע שיש לו ז.צ.ז ולכן משולש יחיד. אבל אם הוא היה מודד שתי זוויות בלבד (בלי הצלע), מה היה הבעיה?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.האם ז.ז.ז (שוויון שלוש זוויות) הוא משפט חפיפה?

לא, הוא קובע דמיון (אותה צורה) אך לא חפיפה (אותו גודל)
כן, הוא משפט חפיפה רביעי
כן, אבל רק במשולש שווה שוקיים
רק כאשר הציור מדויק

2.במשולש אחד הצלעות הן $3, 4, 5$ ובמשולש שני הצלעות הן $6, 8, 10$ . שני המשולשים הם בעלי אותן זוויות בדיוק. מה נכון?

הם דומים אך לא חופפים, כי כל צלע במשולש השני גדולה פי 2
הם חופפים לפי ז.ז.ז
אם יש להם אותן זוויות הם חייבים להיות שווי שטח
לא ייתכן שיש להם אותן זוויות אם הצלעות שונות

3.מהי דוגמה נגד במתמטיקה?

מקרה ספציפי שבו תנאי הטענה מתקיימים אך המסקנה אינה נכונה
דוגמה שמוכיחה שטענה כללית נכונה
ציור גאומטרי בלי כיתוב
תרגיל שכולל יותר מנעלם אחד

4.מהי הבעיה בנתון של שתי צלעות וזווית שאינה כלואה ביניהן (SSA)?

לעיתים ניתן לבנות שני משולשים שונים מהנתונים, ולכן זה אינו משפט חפיפה
אסור לציין זווית במשולש אם היא לא כלואה
תמיד אי אפשר לבנות משולש מנתונים אלה
המשולש חייב להיות שווה צלעות

5.מה הבעיה בנתון: $A B = D E$ , $A C = D F$ , ו- $∠ B = ∠ E$ , ולמה זה אינו צ.ז.צ?

הזווית הנתונה אינה כלואה בין שתי הצלעות הנתונות. הצלעות $A B$ ו- $A C$ כלואות את זווית $A$ , לא את זווית $B$
אין מספיק נתונים, צריכים שלוש צלעות
צ.ז.צ דורש שלוש זוויות
אסור להשתמש באותיות באנגלית בהוכחה

6.כשנתון אינו תואם לאף אחד מהמשפטים צ.צ.צ, צ.ז.צ, ז.צ.ז, מה הצעד הנכון?

לבדוק אם אפשר להסיק שוויון נוסף, ואם לא - לחפש דוגמה נגד
להניח שזה משפט חפיפה גם אם הוא לא ברשימה
להוסיף נתון משלי כדי להפוך אותו ליישומי
לסיים את ההוכחה בלי הצדקה

7.שני משולשים בעלי אותן שלוש זוויות, אך כל צלע במשולש השני גדולה פי 3 מהצלע המתאימה. מה נכון?

הם דומים אך לא חופפים, כי הגדלים שונים
הם חופפים לפי ז.ז.ז
הם חופפים כי כל הזוויות שוות
אי אפשר שיהיו להם אותן זוויות אם הצלעות שונות

8.מה מלמדת אותנו דוגמה נגד על הקשר בין תנאים למסקנה?

שגם אם התנאים מתקיימים, המסקנה אינה חייבת להתקיים
שכל טענה גאומטרית היא נכונה
שציור אחד תמיד מוכיח חפיפה
שלא צריך להוכיח טענות במתמטיקה

9.איזו פעולה יכולה לתקן נתוני ז.ז.ז ולהפוך אותם לנימוק חפיפה תקף?

להוסיף שוויון של צלע אחת מתאימה. שתי זוויות + צלע כלואה ביניהן = ז.צ.ז
להוסיף עוד זווית רביעית
להגדיל אחד מהמשולשים פי 2
לציין שהציור נראה מדויק

10.האם שני משולשים שווי שטח חייבים להיות חופפים?

לא. שטח שווה לא מבטיח אורכי צלעות שווים. אפשר לבנות משולשים שונים בעלי אותו שטח
כן, שטח שווה הוא משפט חפיפה
כן, אך רק במשולשים ישרי זווית
לא ייתכן ששני משולשים שונים יהיו בעלי אותו שטח

11.האם שני משולשים בעלי אותו היקף חייבים להיות חופפים?

לא. אפשר לבנות משולשים שונים בעלי אותו היקף, למשל $(3, 4, 5)$ ו- $(2, 5, 5)$
כן, היקף שווה הוא משפט חפיפה רביעי
רק אם המשולשים שווי צלעות
כן, היקף קובע את הצלעות באופן יחיד

12.במשולש $△ A B C$ נתון $A B = 5$ , $B C = 7$ . איזה נתון נוסף יבטיח שהמשולש קבוע באופן יחיד?

$∠ B$ (הזווית הכלואה בין שתי הצלעות)
$∠ A$ (זווית שאינה כלואה)
$∠ C$ (זווית שאינה כלואה)
השטח של המשולש

13.מהי הסיבה היסודית לכך ש-AAA (ז.ז.ז) אינו משפט חפיפה?

זוויות קובעות צורה אך לא גודל. מתיחה אחידה של המשולש שומרת על הזוויות אך משנה את הצלעות
שלוש זוויות לא תמיד מסתכמות ל- $180°$
אין שלוש זוויות שונות במשולש
הגאומטריה האוקלידית לא מקבלת זוויות כנתון

14.במצב SSA, מתי ייתכנו שני משולשים שונים מאותם הנתונים?

כאשר הזווית הנתונה היא חדה והצלע שמולה קצרה מהצלע הנתונה הסמוכה לזווית, הקשת יכולה לחתוך את הקרן השנייה בשתי נקודות
תמיד, ללא תלות באורכים
רק כשכל הזוויות שוות זו לזו
אף פעם, SSA תמיד קובע משולש יחיד

15.מדוע במתמטיקה דוגמה נגד אחת מספיקה כדי להפריך טענה כללית, אבל אלפי דוגמאות חיוביות אינן מספיקות כדי להוכיח אותה?

טענה כללית טוענת שמשהו תמיד נכון. דוגמה נגד אחת מראה ש"תמיד" לא נכון, ודוגמאות חיוביות לא יכולות לבדוק את כל המקרים
כי דוגמאות נגד תמיד יותר חזקות מדוגמאות חיוביות
כי במתמטיקה אסור להשתמש בדוגמאות חיוביות
כי דוגמאות חיוביות הן רק ניחושים

16.מה ההבדל המהותי בין דמיון משולשים לחפיפת משולשים?

דמיון דורש זוויות שוות בלבד (אותה צורה), חפיפה דורשת גם אורכי צלעות שווים (אותו גודל)
דמיון דורש מיקום שווה במישור, חפיפה דורשת זוויות בלבד
אין הבדל בין השניים
חפיפה דורשת אותו צבע, דמיון לא

17.תלמיד טוען: "במשולש $△ A B C$ ובמשולש $△ D E F$ נתון $A B = D E$ ו- $∠ A = ∠ D$ . לכן המשולשים חופפים." איזו דוגמה נגד תפריך את הטענה?

אפשר להאריך את $B C$ כך שהמשולש יהיה גדול בהרבה, תוך שמירה על $A B$ ועל $∠ A$ . שני המשולשים יקיימו את התנאים אך יהיו שונים
אי אפשר להפריך, התלמיד צודק
צריך לציין שהמשולשים שווי שוקיים
הטענה נכונה רק בכיתה ח'

18.מה ההיגיון המתמטי שמצדיק את משפטי החפיפה צ.צ.צ, צ.ז.צ, ז.צ.ז אך פוסל את ז.ז.ז ואת SSA?

במשפטים התקפים שלושת הנתונים קובעים את כל הצלעות והזוויות באופן יחיד. במשפטים הפסולים נשארת "דרגת חופש" - אפשר לבחור גודל או למצוא שני פתרונות
אין הצדקה לוגית, זה פשוט מוסכם
המשפטים התקפים תמיד יותר קלים לציור
המשפטים נבחרו על פי שמותיהם

19.באיזה מהמצבים הבאים בטוח שהמשולש קבוע באופן יחיד?

נתונים שלוש צלעות שמקיימות את אי-שוויון המשולש
נתונות שלוש זוויות שסכומן $180°$
נתונים שטח והיקף בלבד
נתונה זווית אחת ואורך צלע אחת בלבד

20.תלמיד מנסה להוכיח חפיפה בנתונים: $A B = D E$ , $B C = E F$ , $∠ A = ∠ D$ . אילו פעולות נכון לבצע?

לזהות שזה SSA (זווית לא כלואה) ולבדוק האם המקרה הדו-משמעי אפשרי. אם יש ספק - לחפש דוגמה נגד או נתון נוסף
להניח שזה צ.ז.צ ולסיים
להוסיף צלע שלישית בכוח
לכתוב צ.צ.צ גם אם רק שתי צלעות נתונות