גרסת הדפסה | החוברת

מכנה משותף, כפל בכל האיברים ופתרון נקי

מה נבנה במודול הזה

שברים במשוואה אינם סיבה להיבהל. בוחרים מכנה משותף, מכפילים את כל האיברים בשני האגפים, ומקבלים משוואה רגילה יותר.

למצוא מכנה משותף: נזהה מספר שמתחלק בכל המכנים שבמשוואה.
להכפיל כל איבר: נזכור שגם איברים שלמים כמו $2$ או $5$ מוכפלים.
לבדוק פתרון: נחזיר את הערך למשוואה המקורית עם השברים.

הרעיון המרכזי

סילוק מכנים הוא כפל של כל המשוואה

במשוואה $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$ המכנים הם $2$ ו- $3$ , לכן המכנה המשותף הוא $6$ .

6 (\frac{x}{2} + \frac{x}{3}) = 6 \cdot 5

אחרי סילוק המכנים מקבלים משוואה ללא שברים: $3 x + 2 x = 30$ .

תמצית: סילוק מכנים הוא כפל של כל המשוואה

6 (\frac{x}{2} + \frac{x}{3}) = 6 \cdot 5

מה חייבים לדעת לעשות?

למצוא מכנה משותף

נזהה מספר שמתחלק בכל המכנים שבמשוואה.

להכפיל כל איבר

נזכור שגם איברים שלמים כמו $2$ או $5$ מוכפלים.

לבדוק פתרון

נחזיר את הערך למשוואה המקורית עם השברים.

תמונה הממחישה סילוק מכנים במשוואה עם שברים מספריים — כפל במכנה משותף פועל על כל איבר במשוואה, גם על איברים שלמים.

הטעות הנפוצה ביותר היא להכפיל רק את האיבר שנראה שברי. כדי למנוע זאת, אפשר לכתוב את הכפל מעל כל איבר לפני שמפשטים.

איך המכנה המשותף פועל

איבר במשוואה	כפל ב- $6$	תוצאה
$\frac{x}{2}$	$6 \cdot \frac{x}{2}$	$3 x$
$\frac{x}{3}$	$6 \cdot \frac{x}{3}$	$2 x$
$5$	$6 \cdot 5$	$30$

הטבלה מראה שהכפל אינו מדלג על שום איבר.

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

סילוק מכנים

כפל כל איברי המשוואה במכנה משותף

$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$

מכנה משותף: $6$

בדיקה בסוף

פתרו את המשוואה שהתקבלה.

שיטה מסודרת

דרך עבודה עם שברים מספריים

מזהים מכנים

רושמים את כל המכנים.
מוצאים מכנה משותף קטן ונוח.
בודקים שאין מכנה שנשכח.

מכפילים הכל

כופלים כל איבר במכנה המשותף.
מפשטים כל מכפלה בנפרד.
שומרים על שני אגפים.

פותרים ובודקים

פותרים משוואה בלי שברים.
מציבים במשוואה המקורית.
בודקים אם השוויון נכון.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

דוגמה פתורה: שני שברים ואיבר שלם

\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5

המכנה המשותף הוא $6$ .
$6$
כופלים כל איבר ב- $6$ .
$6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 5$
מפשטים כל איבר.
$3 x + 2 x = 30$
מכנסים ומחלקים.
$5 x = 30$
מקבלים את הפתרון.
$x = 6$

תשובה:

x = 6

מכנה משותף - איך מוצאים?

מכנים בשבר	LCM (מכנה משותף)	מה כופלים?
$2, 4$	$4$	$\frac{x}{2}$ ב- $2$ , $\frac{x}{4}$ ב- $1$
$3, 5$	$15$ (אין משותף)	$\frac{x}{3}$ ב- $5$ , $\frac{x}{5}$ ב- $3$
$2, 3, 4$	$12$	$\frac{x}{2}$ ב- $6$ , $\frac{x}{3}$ ב- $4$ , $\frac{x}{4}$ ב- $3$
$6, 9$	$18$	$\frac{x}{6}$ ב- $3$ , $\frac{x}{9}$ ב- $2$

עדיף LCM ולא רק מכפלת המכנים. ב- $\frac{x}{6} + \frac{x}{9}$ עדיף לכפול ב- $18$ , לא ב- $54$ .

דוגמה פתורה: שבר ועוד מספר

\frac{x - 2}{4} + 3 = 5

כופלים את שני האגפים ב- $4$ .
$x - 2 + 12 = 20$
מכנסים קבועים.
$x + 10 = 20$
מחסרים $10$ .
$x = 10$
בודקים במשוואה המקורית.
$\frac{10 - 2}{4} + 3 = 5$

תשובה:

x = 10

טעויות נפוצות

הכפל חייב להגיע לכל איבר

דרך שמבלבלת

פתרון חלקי מכפיל רק את השבר ומשאיר את שאר המשוואה כמו שהיא. כך נוצרת משוואה חדשה שאינה שקולה למקורית.

$\frac{x}{4} + 2 = 5 \Rightarrow x + 2 = 5$

דרך בטוחה

מכפילים את כל האגף השמאלי ואת כל האגף הימני במכנה המשותף, ואז מפשטים איבר איבר.

$4 \cdot \frac{x}{4} + 4 \cdot 2 = 4 \cdot 5 \Rightarrow x + 8 = 20$

אם כתבתם את הכפל רק פעם אחת, בדקו שהוא באמת חל על כל האיברים.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה עושים כדי לסלק מכנים מספריים במשוואה?

כופלים את כל המשוואה במכנה משותף, כולל איברים בלי שברים
כופלים רק את השברים במכנה
מחקים את המכנים
מחלקים את המשוואה במכנה

2.פתרו: $\frac{x}{2} = 6$

$x = 12$
$x = 3$
$x = 4$
$x = 8$

3.פתרו: $\frac{x}{3} + 2 = 7$

$x = 15$
$x = 5$
$x = 21$
$x = 27$

4.מה הטעות בפתרון $\frac{x}{4} + 2 = 5 \Rightarrow x + 2 = 5$ ?

לא הכפילו את ה- $+ 2$ ואת ה- $5$ ב- $4$
הכפילו יותר מדי
התחום שגוי
אין טעות

5.מהו המכנה המשותף של $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$ ?

$6$
$5$
$2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$
$1$

6.פתרו: $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$

$x = 6$
$x = 5$
$x = 15$
$x = 30$

7.פתרו: $\frac{x + 1}{2} = 3$

$x = 5$
$x = 6$
$x = 4$
$x = 2$

8.פתרו: $\frac{x + 1}{2} + \frac{x - 1}{3} = 4$

$x = \frac{23}{5}$
$x = 4$
$x = 5$
$x = \frac{24}{5}$

9.פתרו: $\frac{2 x}{5} = 4$

$x = 10$
$x = 2$
$x = 20$
$x = 8$

10.פתרו: $\frac{x - 3}{2} + 1 = \frac{x + 1}{4}$

$x = 3$
$x = 1$
$x = 5$
$x = 7$

11.פתרו: $\frac{3 x - 1}{4} = 2$

$x = 3$
$x = 2$
$x = \frac{7}{3}$
$x = 9$

12.פתרו: $\frac{x}{2} - \frac{x}{6} = 4$

$x = 12$
$x = 6$
$x = 4$
$x = 8$

13.פתרו: $\frac{x}{3} = \frac{2}{5}$ (משוואה מסוג שבר=שבר)

$x = \frac{6}{5}$
$x = \frac{2}{15}$
$x = 10$
$x = \frac{5}{6}$

14.האם המשוואה $\frac{2 x + 4}{2} = x + 2$ משמעותה אינסוף פתרונות?

כן - אחרי צמצום הצדדים זהים
לא, יש פתרון יחיד
אין פתרון
תלוי בערך של $x$

15.פתרו: $\frac{x}{2} + \frac{x}{4} = \frac{x}{3} + 5$

$x = 12$
$x = 10$
$x = \frac{60}{7}$
$x = 15$