גרסת הדפסה | החוברת

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה נלמד כאן

המאורע המשלים הוא כל מה שלא נמצא במאורע. איחוד מאורעות דורש לשאול אם יש חפיפה, כי מחברים הסתברויות רק כאשר המאורעות זרים.

לחשב משלים: נשתמש ב- $1 - P (A)$ במקום לספור מחדש כשזה נוח.
להבין איחוד: נפרש 'A או B' כאירוע שמתרחש אם לפחות אחד מהם קרה.
לזהות חפיפה: נבדוק אם אפשר לחבר הסתברויות או שצריך להיזהר מספירה כפולה.

מפת דרך לפתרון

כדי להשתמש בכלל המשלים, צריך לזהות את המאורע הישיר, את המאורע המשלים, ולהשתמש בעובדה שסכומם הוא 1. שלושת הצעדים שלפנינו מסכמים את הדרך.

שלוש החלטות שעושות סדר

משלים

כל מה שאינו $A$ .
$P (A) = 1 - P (A)$ .
שימושי כשקל יותר לחשב 'לא'.

איחוד זר

אין חפיפה.
אפשר לחבר הסתברויות.
לדוגמה 1 או 6 בקובייה.

חפיפה

אם יש תוצאה משותפת, לא מחברים ישירות.
בודקים מה נספר פעמיים.
זהירות במיוחד עם 'או'.

הבנה מרכזית

מאורע משלים הוא 'כל מה שלא קרה' למאורע נתון. שני המאורעות מכסים יחד את כל מרחב המדגם, ולכן סכום ההסתברויות שלהם הוא תמיד 1.

משלים ואיחוד הם כלים לקיצור חישוב

המאורע המשלים של $A$ הוא כל מה שאינו $A$ . אם $A$ קורה או המשלים שלו קורה, יחד הם מכסים את כל האפשרויות.

P (A) = 1 - P (A)

לפני חיבור הסתברויות צריך לבדוק שאין חפיפה. אם יש חפיפה, חיבור פשוט יספור חלק פעמיים.

הסתברות המאורע המשלים

P (A) = 1 - P (A)

דוגמה פתורה

ניקח מאורע שקל לחשב לו את ההסתברות, ונשתמש בכלל המשלים כדי למצוא את ההסתברות של מה שלא קרה. שימו לב כיצד 1 פחות הופך לדרך הקצרה.

לא לקבל 6 בקובייה

מטיליםקובייההוגנת.מהההסתברותלאלקבל m 6 / m ?

המאורע לקבל 6 הוא תוצאה אחת מתוך שש.
$P (6) = \frac{1}{6}$
משתמשים במשלים.
$P (6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

תשובה:

\frac{5}{6}

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת ננסה דוגמה שבה ההסתברות הישירה קשה לחישוב, אך המאורע המשלים פשוט. תראו למה לפעמים שווה לעקוף ולחשב את 'מה שלא קרה' תחילה.

זר או חופף?

בקובייההוגנת, מהההסתברותלקבלמספרזוגיאומספרגדולמ - m 4 / m ?

רושמים את המאורעות.
$A = {2, 4, 6}, B = {5, 6}$
מאחר שיש חפיפה, לא מחברים ישירות $3/6 + 2/6$ .
$A \cap B = {6}$
סופרים את האיחוד פעם אחת.
$A \cup B = {2, 4, 5, 6}$

תשובה:

\frac{4}{6} = \frac{2}{3}

עוד ייצוגים ודוגמאות

המילים 'לפחות', 'לכל היותר' ו'אף לא' מסמנות לעיתים קרובות שכדאי לחשב דרך המשלים. הדוגמאות הבאות מאמנות לזהות את הסימנים הללו.

דוגמאות קצרות

מאחרים

אם $P (מאחר) = 0.08$ , אז $P (לא מאחר) = 0.92$ .

מאורעות זרים

בקובייה, $P (1 או 6) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6}$ .

חפיפה

מספר זוגי או גדול מ-4 בקובייה חופפים במספר 6, ולכן לא מחברים בלי תיקון.

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הקלאסית היא לחשב את 'הפוך' של המאורע ולשכוח שזה לא תמיד המשלים. נראה איך מנייה זריזה של מרחב המדגם חושפת אם המשלים אכן מכסה את כל מה שנותר.

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

לחבר הסתברויות גם כאשר המאורעות חופפים.

החשיבה הנכונה

חיבור פשוט מתאים למאורעות זרים בלבד.

בדיקת סבירות

שאלו אם יש תוצאה שנספרת בשני המאורעות.

בדיקת סבירות קצרה חוסכת הרבה פתרונות שנראים חישובית אבל אינם מתאימים לסיפור.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני התרגול נסכם בטבלה את הקשר בין מאורע למשלים שלו. הטבלה הזו עוזרת להחליט מתי שווה לחשב ישירות ומתי לעבור דרך המשלים.

בדיקות שמונעות טעויות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
רוצים 'לא A'?	משלים	מחסרים מ- $1$
רוצים 'A או B'?	איחוד	בודקים את כל התוצאות שנמצאות לפחות באחד
יש חפיפה?	לא מחברים ישירות	מונעים ספירה כפולה

הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

תרגול עצמי

תרגלו לזהות מתי לחשב דרך המשלים ומתי לחשב ישירות. שאלו את עצמכם בכל בעיה: 'איזה מהשניים פשוט יותר לחישוב?'

תרגיל

משלים באחוזים

אם ההסתברות לאחר היא $0.08$ , מה ההסתברות לא לאחר?

1 - 0.08

תרגיל

איחוד מאורעות זרים

בקובייה, מה ההסתברות לקבל $1$ או $6$ ?

\frac{1}{6} + \frac{1}{6}

תרגיל

איחוד עם חפיפה

בקובייה, מצאו את ההסתברות לקבל מספר אי-זוגי או מספר קטן מ- $4$ .

A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3}

שאלות חשיבה

מתי כדאי להשתמש במאורע המשלים?

מה הסכנה בחיבור הסתברויות?

מאורע משלים בחיים

מאורע משלים פותח את הדרך לחישוב מהיר במצבים שבהם 'לפחות אחד' או 'לפחות פעם אחת' שמופיעים. במקום לספור את כל התוצאות הרצויות, סופרים את אלה שלא, ומחסרים מ-

1

מאורעות משלימים

הצלחה / כישלון

$P (הצלחה) + P (כישלון) = 1$ .

גשם / לא-גשם

$P (גשם) = 0.4$ משמע $P (לא-גשם) = 0.6$ .

לפחות פעם אחת

$P (\geq 1) = 1 - P (אף פעם)$ .

שלושה כללי משלים

הזהות

$P (A) + P (לא A) = 1$ .

חישוב

$P (לא A) = 1 - P (A)$ .

מתי שימושי

כשקל יותר לחשב את ההפך, או כשמדובר ב'לפחות'.

מאורע משלים

P (A^{c}) = 1 - P (A)

דוגמה: הסתברות של 'לפחות אחד'

מתי קל יותר עם משלים?

מטיליםמטבע m 3 / m פעמים. m P (לפחות פעם אחת ראש) / m ?

המאורע המקורי קשה: יותר מדי מקרים.
$1, 2, או 3 ראשים$
המשלים פשוט: אף פעם לא ראש = שלוש פליות.
$T T T$
הסתברות למשלים.
$P (T T T) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$
מאורע מקורי = $1 -$ משלים.
$1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

תשובה:

\frac{7}{8}

דוגמה: בקובייה

מאורע משלים בקובייה

מטיליםקובייה. m P (לא 6) / m ?

מאורע: לא 6 = ${1, 2, 3, 4, 5}$ .
$P = \frac{5}{6}$
דרך משלים: $P (6) = \frac{1}{6}$ .
$P (לא 6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

תשובה:

\frac{5}{6}

מקרה קצה: מאורע ודאי

מאורעות משלימים בקצוות

מאורע	$P (A)$	$P (A^{c})$
ודאי	$1$	$0$
בלתי אפשרי	$0$	$1$
שווה	$0.5$	$0.5$
$0.3$	$0.3$	$0.7$

טעויות נפוצות

שלילת חיבור במקום שלילת הסתברות

הטעות

אם $P (גשם) = 0.4$ , אז $P (לא-גשם) = - 0.4$ .

החשיבה הנכונה

המשלים = $1$ פחות. $P (לא-גשם) = 1 - 0.4 = 0.6$ .

בדיקה

המשלים תמיד חיובי וקטן או שווה ל- $1$ .