גרסת הדפסה | החוברת

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה נלמד כאן

בשינויים עוקבים באחוזים כל שינוי פועל על תוצאה חדשה. לכן לא מחברים אחוזים באופן אוטומטי, אלא מתקדמים שלב אחרי שלב בעזרת מקדמים.

לכפול מקדמים: נייצג כל שינוי באחוזים כמקדם ונכפיל לפי סדר.
להבין בסיס משתנה: נראה למה עלייה ואז ירידה באותו אחוז לא תמיד מחזירות להתחלה.
לבדוק טענות מבצע: נבחן הנחות עוקבות והבטחות שיווקיות בעזרת חישוב מדויק.

מפת דרך לפתרון

עם מקדמי הכפלה, שינויים רצופים הופכים לכפל פשוט בין מקדמים. שלושת השלבים הבאים מציגים את הדרך הקצרה: הפיכת כל שינוי למקדם והכפלת כולם יחד.

שלוש החלטות שעושות סדר

כל שינוי למקדם

עלייה של $p %$ : $1 + p /100$ .
ירידה של $p %$ : $1 - p /100$ .
כותבים קודם, מחשבים אחר כך.

כפל לפי סדר

מכפילים את הערך במקדם הראשון.
את התוצאה במקדם השני.
אפשר לכפול את המקדמים יחד.

הבסיס משתנה

ההנחה השנייה אינה על המחיר המקורי.
לכן אחוזים שווים לא בהכרח מתבטלים.
בודקים עם מספר פשוט כמו $100$ .

הבנה מרכזית

כששני שינויים מתרחשים זה אחר זה, אסור פשוט לחבר את האחוזים. הסיבה לכך היא שכל שינוי מתבצע מול בסיס שונה, וזה הלב של החלק הזה.

כל שינוי פועל על הערך החדש

בשינויים עוקבים משתמשים במקדמים לפי הסדר. אם מחיר עלה ואז ירד, ההוזלה לא מחושבת מהמחיר הראשון אלא מהמחיר אחרי העלייה.

W_{חדש} = W_{0} \cdot f_{1} \cdot f_{2}

הסדר חשוב כאשר מקשרים כל שלב לסיפור. בחישוב עצמו מכפלת המקדמים קובעת את היחס הכולל.

כפל מקדמים עוקבים

W_{חדש} = W_{0} \cdot f_{1} \cdot f_{2}

תמונה הממחישה שינויים עוקבים באחוזים בעזרת תגי מחיר מתחלפים — בשינוי עוקב, הבסיס של האחוז השני הוא המחיר שכבר השתנה.

דוגמה פתורה

ניקח עלייה ואחר כך ירידה ונראה שהמסע הוא לא חזרה לנקודת ההתחלה. שימו לב לסדר הפעולות ולהבדל בין סכום האחוזים למכפלת המקדמים.

עלייה ואז הוזלה

מחיר m 200 / m ש״חעלהב - m 20% / m ואזירדב - m 25% / m .מההמחירהסופי ?

מחשבים מקדם עלייה.
$1 + 0.20 = 1.2$
מחשבים מקדם ירידה.
$1 - 0.25 = 0.75$
כופלים לפי סדר השינויים.
$200 \cdot 1.2 \cdot 0.75 = 180$

תשובה:

180

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת ננסה שני שינויים באותו כיוון, או רצף של שלושה שינויים. תראו שהשיטה זהה: להמיר כל שינוי למקדם ולהכפיל הכל.

$+ 10%$ ואז $- 10%$

מספרהתחילב - m 100 / m, עלהב - m 10% / m ואזירדב - m 10% / m .האםחזרל - m 100 / m ?

כותבים מקדם לעלייה.
$100 \cdot 1.1 = 110$
הירידה כעת פועלת על $110$ , לא על $100$ .
$110 \cdot 0.9 = 99$
משווים להתחלה.
$99 < 100$

תשובה:

99

עוד ייצוגים ודוגמאות

מבצעים בחנות, ריבית דריבית בבנק וירידות מחיר עוקבות בשוק - כולם מסתתרים מאחורי שינויים רצופים. הדוגמאות הבאות מראות שאותה מכפלת מקדמים פותרת את כולם.

דוגמאות קצרות

ירידה ואז עלייה

$500 \cdot 0.9 \cdot 1.1 = 495$ . ירידה של $10%$ ועלייה של $10%$ לא מחזירות בדיוק למקור.

שתי עליות

$80 \cdot 1.25 \cdot 1.2 = 120$ . המקדם הכולל הוא $1.5$ .

מקדם כולל

כופלים את המקדמים ואז מפרשים: $0.95$ פירושו ירידה כוללת של $5%$ .

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הקלאסית בשינויים רצופים היא לחבר את האחוזים: עלייה של 20% ואז ירידה של 20% נראית כאילו חוזרת לאפס, אך לא כך הדבר. נראה את החשבון שמסביר למה.

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

לחבר $+ 20% - 25% = - 5%$ ולקבל מחיר סופי $190$ .

החשיבה הנכונה

הירידה של $25%$ פועלת על $240$ , לא על $200$ .

בדיקת סבירות

רשמו מחיר ביניים אחרי כל שלב, או כפלו מקדמים.

בדיקת סבירות קצרה חוסכת הרבה פתרונות שנראים חישובית אבל אינם מתאימים לסיפור.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני התרגול נסכם בטבלה איזו פעולה מתאימה לכל מצב: שינוי בודד, שני שינויים זה אחר זה, או חישוב אחוז שינוי כולל. הטבלה הזו עוזרת להחליט מה לעשות בלי להתבלבל.

בדיקות שמונעות טעויות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
כמה שינויים יש?	כותבים מקדם לכל שינוי	כל שלב צריך ייצוג משלו
על מה השינוי פועל?	מעדכנים את הבסיס אחרי כל שלב	זו הסיבה שחיבור אחוזים מטעה
מה המקדם הכולל?	כופלים את כל המקדמים	מקדם אחד מסכם את כל התהליך

הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

תרגול עצמי

תורכם לעבוד על שינויים רצופים. נסו לפתור עם מקדמים בלי להמיר חזרה ולחזור הלוך ושוב - הכפל מסודר ושומר על דייקנות.

תרגיל

ירידה ואז עלייה

מחיר $500$ ירד ב- $10%$ ואז עלה ב- $10%$ . מה המחיר הסופי?

500 \cdot 0.9 \cdot 1.1

תרגיל

שתי עליות

כמות $80$ עלתה ב- $25%$ ואז ב- $20%$ . מצאו את הכמות הסופית.

80 \cdot 1.25 \cdot 1.2

תרגיל

שתי הנחות אינן הנחה אחת פשוטה

מחיר מוצר הוא $400$ שקלים. יש הנחה של $25%$ ואז עוד הנחה של $20%$ . מה המחיר הסופי ומה אחוז ההנחה הכולל?

400 \cdot 0.75 \cdot 0.8

שאלות חשיבה

למה ירידה של $10%$ ואז עלייה של $10%$ לא מחזירות בדיוק לנקודת ההתחלה?

איך אפשר למצוא את אחוז השינוי הכולל משני מקדמים?

שינויים עוקבים בחיים

שינויים עוקבים נראים פשוטים אבל יש להם הפתעות. כשמדובר בשני שינויים אחד אחרי השני, המקדמים מוכפלים, לא מתחברים. זה הכלל החשוב ביותר במודול הזה.

שינויים עוקבים בחיים

הנחה אחרי הנחה

מחיר אחרי שתי הנחות עוקבות $- 20%$ ואז $- 10%$ : לא $- 30%$ , אלא משתנה.

מע"מ אחרי הנחה

הנחה $- 20%$ ואז מע"מ $+ 18%$ - שני מקדמים זה אחר זה.

גידול מצטבר

אוכלוסייה גדלה ב- $10%$ בשנה ראשונה, ועוד $10%$ בשנייה - לא $20%$ בסך הכל.

חוק הזהב

מקדמים מוכפלים

אם המקדם הראשון $k_{1}$ והשני $k_{2}$ , סך הכל: $k_{t o t a l} = k_{1} \cdot k_{2}$ .

אחוזים לא מתחברים

$+ 10%$ ו- $- 10%$ זה לא $0$ . $1.1 \cdot 0.9 = 0.99$ .

הסדר משנה? לא

$k_{1} \cdot k_{2} = k_{2} \cdot k_{1}$ . ההפרש הוא בשלב המעבר.

הבסיסים שונים

השינוי השני מחושב מהמחיר אחרי הראשון, לא מהמקורי.

דוגמה: שתי הנחות עוקבות

שתי הנחות בעקבות זו

מחירחולצה : m 200 / m ש"ח.הנחהראשונה : m 20% / m .הנחהשנייה (^{'} מועדו ן^{'}) : m 10% / m .מהוהמחירהסופי ?

מקדם ראשון.
$1 - 0.2 = 0.8$
מקדם שני.
$1 - 0.1 = 0.9$
מקדם משולב.
$0.8 \cdot 0.9 = 0.72$
מחיר סופי.
$0.72 \cdot 200 = 144$

תשובה:

144

דוגמה: הנחה אחר התייקרות

הנחה לאחר התייקרות

מחירעלהב - m 25% / m ואזירדב - m 25% / m .מההתוצאהלעומתהמחירהמקורי ?

מקדם עלייה.
$1 + 0.25 = 1.25$
מקדם ירידה.
$1 - 0.25 = 0.75$
מקדם משולב.
$1.25 \cdot 0.75 = 0.9375$
נמוך מ- $1$ = ירידה.
$0.9375 < 1$

תשובה:

0.9375

מקרה קצה: שלוש הנחות עוקבות

מה קורה עם שלוש הנחות עוקבות? משתמשים באותו עיקרון - מכפילים את כל המקדמים.

שלוש הנחות

m 10% / m, m 20% / m, m 30% / m זהאחרזה.

שלושה מקדמים.
$0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.7$
מחשבים שלב-שלב.
$0.9 \cdot 0.8 = 0.72$
מכפילים בשלישי.
$0.72 \cdot 0.7 = 0.504$
התוצאה כאחוז.
$0.504 = 50.4%$

תשובה:

0.504

טעויות נפוצות

חיבור אחוזים במקום הכפלת מקדמים

הטעות

$- 10%$ ואז $- 20% = - 30%$ .

החשיבה הנכונה

מקדם משולב $= 0.9 \cdot 0.8 = 0.72$ , כלומר ירידה של $28%$ .

בדיקה

אם הבסיסים שונים, האחוזים לא מתחברים פשוט.

חזרה למחיר מקורי - אשליה

הטעות

$+ 10%$ ואז $- 10%$ = חזרה לאותו מחיר.

החשיבה הנכונה

$1.1 \cdot 0.9 = 0.99$ . ירידה של $1%$ מהמקורי.

בדיקה

הירידה השנייה מחושבת ממחיר גדול יותר מהמקורי, ולכן מהווה כמות גדולה יותר.

מה נלמד כאן

מפת דרך לפתרון

שלוש החלטות שעושות סדר

כל שינוי למקדם

כפל לפי סדר

הבסיס משתנה

הבנה מרכזית

כל שינוי פועל על הערך החדש

דוגמה פתורה

עלייה ואז הוזלה

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

+10% ואז −10%

עוד ייצוגים ודוגמאות

דוגמאות קצרות

ירידה ואז עלייה

שתי עליות

מקדם כולל

טעות נפוצה ובדיקה

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקת סבירות

בדיקת עומק לפני תרגול

בדיקות שמונעות טעויות

תרגול עצמי

ירידה ואז עלייה

שתי עליות

שתי הנחות אינן הנחה אחת פשוטה

שאלות חשיבה

שינויים עוקבים בחיים

שינויים עוקבים בחיים

הנחה אחרי הנחה

מע"מ אחרי הנחה

גידול מצטבר

חוק הזהב

מקדמים מוכפלים

אחוזים לא מתחברים

הסדר משנה? לא

הבסיסים שונים

דוגמה: שתי הנחות עוקבות

שתי הנחות בעקבות זו

דוגמה: הנחה אחר התייקרות

הנחה לאחר התייקרות

מקרה קצה: שלוש הנחות עוקבות

שלוש הנחות

טעויות נפוצות

חיבור אחוזים במקום הכפלת מקדמים

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקה

חזרה למחיר מקורי - אשליה

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקה

$+ 10%$ ואז $- 10%$