גרסת הדפסה | החוברת

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה נלמד כאן

שכיח, חציון וממוצע הם שלושה מדדים שונים למרכז הנתונים. כל אחד מהם עונה על שאלה אחרת, ולכן בחירת המדד חשובה לא פחות מהחישוב.

להבחין בין המדדים: נזהה מה כל מדד מייצג ומה הוא מפספס.
לחשב לפי סדר נכון: נסדר נתונים לפני חציון ונשתמש בסכום לפני ממוצע.
לבחור מדד מתאים: נבדוק מתי ערכי קיצון משנים את הממוצע ומתי החציון יציב יותר.

מפת דרך לפתרון

כדי לבחור בין השלושה צריך לדעת את אופי הנתונים: איכותיים או כמותיים, סימטריים או עם חריגים. שלושת השלבים הבאים מסכמים את שיקול הדעת.

שלוש החלטות שעושות סדר

שכיח

הערך שמופיע הכי הרבה.
יכול להיות יותר משכיח אחד.
מתאים לשאלה 'מה הכי נפוץ?'

חציון

מסדרים את הנתונים.
מחפשים את האמצע.
במספר זוגי ממוצעים את שני האמצעיים.

ממוצע

מחברים את כל הערכים.
מחלקים במספר הנתונים.
רגיש לערכי קיצון.

הבנה מרכזית

שכיח, חציון וממוצע הם שלוש דרכים לתאר במספר אחד מה 'אופייני' בקבוצה. ננסה תחילה להרגיש איזה מהם עונה הכי טוב לכל סוג שאלה לפני שמחשבים.

שלושה מדדים, שלוש נקודות מבט

שכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה. חציון הוא הערך האמצעי אחרי סידור. ממוצע הוא סכום הערכים חלקי מספרם.

x ˉ = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

לא מספיק לחשב. צריך להסביר איזה מדד מייצג טוב יותר את הנתונים.

נוסחת ממוצע

x ˉ = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

תמונה הממחישה שכיח חציון וממוצע בעזרת כרטיסי מספרים ומאזניים — מדדי המרכז נותנים דרכים שונות לבחור ערך מייצג לקבוצת נתונים.

מתי משתמשים בכל מדד

מדד	מה מחשבים	רגישות לערך קיצון
שכיח	הערך הנפוץ ביותר	נמוכה
חציון	האמצע אחרי סידור	נמוכה
ממוצע	סכום חלקי כמות	גבוהה

ערך קיצון משפיע במיוחד על הממוצע.

דוגמה פתורה

ניקח קבוצת ציונים ונחשב את שלושת המדדים יחד. שימו לב למה הם יוצאים שונים, ולמה המספר השונה הזה מתאר תכונה אחרת של אותה קבוצה.

חישוב שלושת המדדים

נתוניםהמספרים m 4, 5, 5, 7, 9 / m .מצאושכיח, חציוןוממוצע.

הערך שמופיע הכי הרבה הוא 5.
$שכיח = 5$
הנתונים כבר מסודרים, האמצעי הוא 5.
$חציון = 5$
מחשבים ממוצע.
$\frac{4 + 5 + 5 + 7 + 9}{5} = 6$

תשובה:

שכיח 5, חציון 5, ממוצע 6

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת ננסה קבוצת נתונים עם ערך חריג אחד. תראו איך הממוצע 'נסחב' אל הקיצון, בעוד החציון נשאר במרכז הקבוצה - זה ההבדל החשוב ביניהם.

חציון במספר זוגי

מצאואתהחציוןשלהנתונים m 4, 9, 12, 5, 20, 6 / m .

מסדרים מהקטן לגדול.
$4, 5, 6, 9, 12, 20$
יש שישה נתונים, לכן האמצע בין המקום השלישי והרביעי.
$\frac{6 + 9}{2}$
מחשבים את ממוצע שני האמצעיים.
$\frac{6 + 9}{2} = 7.5$

תשובה:

7.5

עוד ייצוגים ודוגמאות

שכר חודשי, ציוני מבחן וזמני ריצה מציגים תמונות שונות במדדי המרכז. הדוגמאות הבאות מראות מתי שכיח, חציון או ממוצע מספר את הסיפור בצורה הכי הוגנת.

דוגמאות קצרות

מספר זוגי של נתונים

בחציון של $2, 4, 8, 10$ ממוצעים את שני האמצעיים: $\frac{4 + 8}{2} = 6$ .

אין שכיח

אם כל הערכים מופיעים פעם אחת, אין שכיח יחיד.

ממוצע מטבלה

מכפילים כל ערך בשכיחותו, מחברים ומחלקים בסך השכיחויות.

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הקלאסית היא לחשב את החציון בלי לסדר תחילה את הנתונים, או להגיד 'הממוצע' כשבעצם רוצים את החציון. נראה איך לזהות את שלושת המדדים נכון.

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

למצוא חציון בלי לסדר את הנתונים.

החשיבה הנכונה

חציון מוגדר רק אחרי סידור הנתונים מהקטן לגדול.

בדיקת סבירות

לפני חציון שואלים: האם הרשימה מסודרת?

בדיקת סבירות קצרה חוסכת הרבה פתרונות שנראים חישובית אבל אינם מתאימים לסיפור.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני התרגול נסכם בטבלה איזה מדד מתאים לאיזה סוג נתונים. הטבלה הזו עוזרת להחליט בלי לחשב את כל השלושה כל פעם.

בדיקות שמונעות טעויות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
רוצים נפוץ?	שכיח	מתאים לקטגוריות ולערך שמופיע הכי הרבה
רוצים אמצע יציב?	חציון	מתמודד טוב יותר עם ערכי קיצון
רוצים איזון כולל?	ממוצע	משתמש בכל הערכים אך רגיש לקיצון

הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

תרגול עצמי

תרגלו לחשב את שלושת המדדים בקבוצות נתונים שונות. תמיד סדרו את הנתונים תחילה - גם כשמבקשים רק ממוצע, סדר עוזר לראות מה הגיוני.

תרגיל

ממוצע קצר

מצאו את הממוצע של $6, 8, 8, 10$ .

\frac{6 + 8 + 8 + 10}{4}

תרגיל

חציון אחרי סידור

מצאו את החציון של $3, 20, 7, 12, 8$ .

3, 20, 7, 12, 8

תרגיל

לבחור מדד ולנמק

בנתוני שכר חודשיים באלפי שקלים: $7, 8, 8, 9, 50$ . איזה מדד מתאר טוב יותר עובד טיפוסי: ממוצע או חציון?

7, 8, 8, 9, 50

שאלות חשיבה

מתי חציון יכול לייצג טוב יותר ממוצע?

למה ממוצע עדיין חשוב למרות שהוא רגיש לקיצון?

מדדי מרכז בחיים

שלושה מדדי מרכז: שכיח, חציון וממוצע. כל אחד מספר סיפור אחר על הנתונים. בחירת המדד הנכון תלויה בסוג הנתונים ובסיפור שרוצים לספר. למשל, ממוצע שכר בארגון יכול להיות מטעה אם יש מנהל אחד עם שכר חריג.

שלושה מדדים, שלושה סיפורים

שכיח

הערך השכיח ביותר. מתאים לקטגוריות. למשל הצבע הפופולרי ביותר.

חציון

הערך האמצעי כשמסדרים. עמיד מפני קצוות. שכר חציוני בישראל.

ממוצע

סכום חלקי כמות. מושפע מקצוות. ציון ממוצע בכיתה.

ארבעה מאפיינים מרכזיים

שכיח

הערך עם השכיחות הגבוהה ביותר. ייתכן יותר מאחד.

חציון

הערך האמצעי. עמיד לערכי קיצון. במספר זוגי - ממוצע שני האמצעיים.

ממוצע

$x ˉ = \frac{Σ x}{n}$ . רגיש לקצוות.

הקשר

בנתונים סימטריים: שלושתם דומים. בנתונים אסימטריים: שונים.

הממוצע

x ˉ = \frac{x _{1} + x _{2} + ... + x _{n}}{n}

דוגמה: חישוב כל השלושה

שלושה מדדי מרכז של אותם נתונים

נתונים : m 3, 5, 5, 7, 10, 12, 15 / m .מצאשכיח, חציוןוממוצע.

שכיח.
$5 (מופיע פעמיים)$
חציון - מסודר, לוקחים את האמצעי.
$אמצע = 7$
ממוצע.
$\frac{3 + 5 + 5 + 7 + 10 + 12 + 15}{7} = \frac{57}{7} \approx 8.14$

תשובה:

שכיח: 5, חציון: 7, ממוצע: 8.14

דוגמה: השפעת ערך קיצון

מה קורה כשמוסיפים ערך קיצון

לסדרה m 5, 6, 7, 8, 9 / m מוסיפים m 100 / m .מהמשתנה ?

ממוצע מקורי.
$\frac{5 + 6 + 7 + 8 + 9}{5} = 7$
חציון מקורי.
$7$
ממוצע חדש (עם $100) .$
$\frac{5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 100}{6} = 22.5$
חציון חדש - מסודר $5, 6, 7, 8, 9, 100$ , אמצע $\frac{7 + 8}{2} = 7.5$ .
$7.5$

תשובה:

ממוצע: 22.5 \leftarrow 7, חציון: 7.5 \leftarrow 7

מקרה קצה: אין שכיח

מה אם כל הערכים שונים? אין שכיח (או 'כל הערכים שכיחים', תלוי בהגדרה). זה יוצא דופן אבל אפשרי.

מצבי קצה

מצב	מה קורה	פתרון
כל הערכים שונים	אין שכיח (או כולם)	מציינים 'אין שכיח'
שני ערכים מופיעים אותו מספר	שני שכיחים (דו-מודלי)	מציינים את שניהם
מספר זוגי של נתונים	חציון = ממוצע שני האמצעיים	$\frac{x _{n /2} + x _{n /2 + 1}}{2}$
ערך אחד חוזר על עצמו $n$ פעמים	אותו ערך לכל המדדים	טריוויאלי

טעויות נפוצות

חציון בלי לסדר

הטעות

סדרה $10, 3, 5, 7, 8$ . לקחת את $5$ כחציון (האמצעי בסדר נתון).

החשיבה הנכונה

צריך לסדר קודם: $3, 5, 7, 8, 10$ . אז החציון $7$ .

בדיקה

מסדרים תמיד לפני שמוצאים חציון.

שימוש בממוצע במקום חציון

הטעות

מציגים ממוצע משכורות עם מנהל אחד שמרוויח פי $10$ .

החשיבה הנכונה

בנתונים אסימטריים, חציון מייצג טוב יותר את ה'תלמיד הטיפוסי'.

בדיקה

האם יש ערכי קיצון? אם כן, חציון עדיף.