גרסת הדפסה | החוברת

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה נלמד כאן

שאלות אחוזים עם נעלמים דורשות לתרגם מילים למשוואה. המטרה היא לא רק לפתור, אלא לבנות את הקשר הנכון בין המקור, השינוי והערך הנתון.

לסמן נעלם: נבחר מה מייצג את הערך המקורי או הערך המבוקש.
לתרגם אחוז למקדם: נכתוב עלייה, ירידה או חלק מהשלם כמקדם כפל.
לבדוק את המשוואה: נציב את הפתרון בסיפור ונראה שהוא מחזיר את הנתון.

מפת דרך לפתרון

בכל שאלת אחוזים מסתתרים שלושה גורמים: חלק, אחוז ושלם. השלבים הבאים עוזרים לזהות איזה מהם נעלם, ולבנות את המשוואה המתאימה.

שלוש החלטות שעושות סדר

מי הנעלם?

קוראים את השאלה עד הסוף.
מסמנים את מה שלא ידוע.
כותבים יחידות אם יש.

מה הקשר?

אחוז מתוך שלם הוא כפל.
עלייה וירידה הן מקדמים.
תוספת קבועה נכתבת בנפרד.

בדיקת הצבה

מחזירים את הפתרון לסיפור.
בודקים אם מתקבל הנתון.
מנסחים תשובה מילולית.

הבנה מרכזית

במקום לחשוב על אחוז כעל פעולה, נתאר אותו כמשוואה: חלק שווה לאחוז כפול שלם. אחרי שהמשוואה כתובה, הכל הופך לתרגיל אלגברי שכבר ראיתם.

משפט מילולי הופך לקשר כפל

כאשר המחיר המקורי אינו ידוע, מסמנים אותו ב- $x$ . עלייה, הוזלה או חלק באחוזים הופכים למקדם כפול $x$ .

f \cdot x = ערך

אחרי הפתרון מציבים את $x$ בסיפור ובודקים שהמחיר או הכמות החדשים מתקבלים.

משוואת אחוזים בסיסית

f \cdot x = ערך

דוגמה פתורה

בדוגמה הבאה נתרגם משפט מילולי למשוואה ונבודד את הנעלם. עקבו במיוחד אחרי השלב שבו האחוז הופך לעשרוני - שם נחתכת ההצלחה.

מחיר אחרי עלייה

מחירמוצרעלהב - m 15% / m והגיעל - m 460 / m ש״ח.מההיההמחירהמקורי ?

מסמנים את המחיר המקורי ב- $x$ .
$1.15 x = 460$
מחלקים במקדם.
$x = 460 \div 1.15 = 400$
בודקים.
$400 \cdot 1.15 = 460$

תשובה:

400

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת המשוואה תיראה דומה, אך הנעלם מסתתר במקום אחר. תראו שאותו מבנה - חלק שווה לאחוז כפול שלם - מטפל בכל אחת משלוש הווריאציות.

אחוז ועוד תשלום קבוע

מחירכרטיסהוא m x / m שקלים.מוסיפיםעמלהשל m 10% / m ועוד m 5 / m שקלים.המחירהסופי m 71 / m .מצאואת m x / m .

עלייה של $10%$ הופכת את המחיר למקדם $1.1$ .
$1.1 x + 5 = 71$
מחסרים את העמלה הקבועה משני הצדדים.
$1.1 x = 66$
מחלקים במקדם.
$x = 60$

תשובה:

60

עוד ייצוגים ודוגמאות

המשוואה אחת היא, אבל היא יכולה להיכתב כפרופורציה, כביטוי עם x או כיחס בטבלה. הדוגמאות הבאות חושפות את המבנה האחיד שמתחת לצורות הכתיבה השונות.

דוגמאות קצרות

הנחה

אחרי הנחה של $20%$ משתמשים בביטוי $0.8 x$ .

חלק ועוד קבוע

$30%$ ממספר ועוד $12$ נכתב $0.3 x + 12$ .

בדיקה

הצבה בסיפור מגלה אם בנינו מקדם בכיוון הנכון.

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הקלאסית בפתרון משוואות אחוז היא להציב את האחוז עצמו במקום העשרוני שלו. נראה איך טעות כזו מנפחת את התוצאה פי מאה ואיך לתפוס זאת מהר.

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

לכתוב $0.15 x = 460$ כאשר המחיר אחרי עלייה של $15%$ .

החשיבה הנכונה

המחיר החדש הוא $115%$ מהמקורי, כלומר $1.15 x$ .

בדיקת סבירות

עלייה נותנת מקדם גדול מ-1, הוזלה נותנת מקדם קטן מ-1.

בדיקת סבירות קצרה חוסכת הרבה פתרונות שנראים חישובית אבל אינם מתאימים לסיפור.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני שפותרים את התרגילים, שווה לעצור ולוודא איזה משלושת הגורמים נעלם בכל שאלה. הטבלה הבאה ממפה את שלוש האפשרויות.

בדיקות שמונעות טעויות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
מה מייצג הנעלם?	כותבים משפט קצר לפני המשוואה	מונע פתרון של הדבר הלא נכון
האם יש אחוז שינוי?	משתמשים במקדם	כך שומרים על השלם המקורי
האם יש תוספת קבועה?	כותבים חיבור או חיסור נפרד	לא מערבבים קבוע עם אחוז

הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

תרגול עצמי

תרגלו עכשיו לכתוב את המשוואה לפני שאתם מחשבים. כתיבה מסודרת חוסכת טעויות בהמשך, גם בתרגילים הקלים יותר.

תרגיל

מחיר לפני הנחה

אחרי הנחה של $20%$ , מחיר מוצר הוא $96$ ש״ח. מה היה המחיר המקורי?

0.8 x = 96

תרגיל

אחוז עם תוספת קבועה

$30%$ ממספר ועוד $12$ שווים $42$ . מצאו את המספר.

0.3 x + 12 = 42

תרגיל

לבנות משוואה ממלל

מספר גדל ב- $30%$ , ואז מחסרים ממנו $8$ . מתקבל $57$ . מה המספר המקורי?

1.3 x - 8 = 57

שאלות חשיבה

איך מחליטים אם לכתוב $0.8 x$ או $1.2 x$ ?

למה כדאי לסמן את הכמות המקורית דווקא ב- $x$ ?

אחוזים במשוואות מילוליות

כשהשאלה מסובכת יותר, כותבים משוואה. המפתח: זיהוי מה השלם, מה החלק ומה הבסיס לחישוב האחוז. ייצוג עם משתנה הופך בעיה מילולית לפעולה אלגברית מסודרת.

סוגי בעיות שכיחות

מציאת חלק

מצא $x %$ מ- $W$ כש- $x$ ידוע: $\frac{x}{100} \cdot W = ?$

מציאת אחוז

איזה אחוז מ- $W$ הוא $Q$ ? $\frac{p}{100} \cdot W = Q \Rightarrow p = \frac{Q}{W} \cdot 100$

מציאת שלם

$p %$ מ- $W$ הוא $Q$ , מצא $W$ : $W = \frac{100 Q}{p}$

דוגמה: בעיה מילולית קלאסית

כמה אחוזים מהמחיר נחסכו?

מחירמוצרירדמ - m 200 / m ש"חל - m 160 / m ש"ח.כמהאחוזיםנחסכו ?

מחשבים את החיסכון בש"ח.
$200 - 160 = 40$
כותבים משוואה: איזה אחוז מ- $200$ הוא $40$ ?
$\frac{p}{100} \cdot 200 = 40$
מבודדים.
$p = \frac{40 \cdot 100}{200}$
מחשבים.
$p = 20$

תשובה:

20%

דוגמה: שני נעלמים

מצא מחיר ואחוז

m 30% / m ממחירמוצרזה m 90 / m ש"ח, ובנוסףידועשמחיראחרהוא m 30% / m ממחירזה.מההמחירהשני ?

המחיר הראשון: $0.3 \cdot W_{1} = 90$ .
$W_{1} = \frac{90}{0.3} = 300$
המחיר השני הוא $30%$ מהראשון.
$W_{2} = 0.3 \cdot 300 = 90$

תשובה:

90

טעויות נפוצות נוספות

בלבול בין מציאת חלק למציאת שלם

הטעות

אם $30%$ מ- $W = 45$ , לחשב $0.3 \cdot 45 = 13.5$ .

החשיבה הנכונה

ה- $30%$ מתפעל על $W$ , אז להפיכה צריך לחלק: $W = \frac{45}{0.3} = 150$ .

בדיקת סבירות

אם $p < 100%$ , השלם תמיד גדול מהחלק. אם התשובה קטנה מהחלק, יש טעות.