גרסת הדפסה | החוברת

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה נלמד כאן

סולם ההסתברות מחבר מילים כמו בלתי אפשרי, סביר וודאי למספרים בין $0$ ל- $1$ . נלמד לקרוא הסתברות כשבר, עשרוני ואחוז בלי לצאת מגבולות הסולם.

להכיר גבולות: כל הסתברות נמצאת בין $0$ ל- $1$ .
לתרגם ייצוגים: נעבור בין שבר, עשרוני ואחוז לתיאור מילולי.
לזהות טענה לא אפשרית: נבדוק למה $1.2$ אינו יכול להיות הסתברות, אף שהוא יכול להיות $120%$ בהקשר אחר.

מפת דרך לפתרון

כדי למקם מאורע על הסולם, צריך לזהות אם הוא בלתי אפשרי, ודאי או נדיר. שלושת הצעדים הבאים מסכמים איך לעבור משפת מילים לערך מספרי בין 0 ל-1.

שלוש החלטות שעושות סדר

גבולות

$0$ : בלתי אפשרי.
$1$ : ודאי.
כל ערך ביניהם אפשרי כהסתברות.

תרגום

$\frac{1}{2} = 0.5 = 50%$ .
אחוז בהסתברות עדיין לא עובר $100%$ .
מילים צריכות להתאים לגודל.

בדיקה

אם הערך שלילי, הוא לא הסתברות.
אם הערך גדול מ- $1$ , הוא לא הסתברות.
אם הוא קרוב ל- $1$ , האירוע סביר מאוד.

הבנה מרכזית

כל הסתברות יושבת על סולם בין 0 ל-1: 0 אומר 'בלתי אפשרי', 1 אומר 'בטוח לחלוטין', וכל מה שביניהם מבטא דרגות שונות של סבירות. נתחיל מללמוד לקרוא את הסולם הזה.

הסתברות נמצאת בין 0 ל-1

הסתברות היא מספר שמתאר סיכוי. $0$ פירושו בלתי אפשרי, $1$ פירושו ודאי, ו- $\frac{1}{2}$ פירושו סיכוי שווה.

0 \leq P (A) \leq 1

אם חישוב הסתברות נותן מספר קטן מ-0 או גדול מ-1, משהו בחישוב שגוי.

גבולות ההסתברות

0 \leq P (A) \leq 1

דוגמה פתורה

ניקח כמה מאורעות יומיומיים ונסדר אותם על הסולם מ-0 עד 1. שימו לב לא רק לסדר, אלא להפרשים בין המאורעות - הם מספרים על דרגת הסבירות.

מיקום סיכויים על הסולם

סדרואתהסיכויים m 0 / m, m 0.25 / m, m 0.5 / m, m 1 / m לפימשמעות.

$0$ הוא בלתי אפשרי.
$P = 0$
$0.5$ הוא סיכוי שווה.
$0.5 = \frac{1}{2} = 50%$
$1$ הוא ודאי.
$P = 1$

תשובה:

0 \leq 0.25 \leq 0.5 \leq 1

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת ננסה למקם מאורע שמתואר באחוזים ולא בשבר. תראו שהמרת אחוז לשבר עשרוני מציבה את המאורע מיד במקום הנכון על הסולם.

אותו סיכוי בכמה שפות

כתבואת m \frac{3}{4} / m כעשרוני, כאחוזובמילים.

מחלקים כדי לקבל עשרוני.
$\frac{3}{4} = 0.75$
ממירים לאחוז.
$0.75 = 75%$
מפרשים על הסולם.
$0.75 > 0.5$

תשובה:

0.75 = 75%, סיכוי גבוה יחסית

עוד ייצוגים ודוגמאות

מילים כמו 'סביר', 'נדיר' ו'כמעט בטוח' מתורגמות גם הן למקום על הסולם. הדוגמאות הבאות מתרגלות את המעבר בין שפת היומיום לשפת המספרים בין 0 ל-1.

דוגמאות קצרות

בלתי אפשרי

בהטלת קובייה רגילה, לקבל $7$ הוא מאורע בהסתברות $0$ .

ודאי

בהטלת קובייה רגילה, לקבל מספר בין $1$ ל- $6$ הוא מאורע ודאי.

סיכוי שווה

בהטלת מטבע הוגן, עץ או פלי הם בקירוב $\frac{1}{2}$ לכל צד.

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הקלאסית היא להציג הסתברות מעל 1 או מתחת ל-0. נראה איך זה קורה בחישובים אמיתיים ואיך לדעת מיד שתשובה מסוג כזה אינה אפשרית.

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

לכתוב הסתברות כמו $1.3$ כי יש הרבה סיכוי.

החשיבה הנכונה

הסתברות לעולם אינה גדולה מ-1.

בדיקת סבירות

כל הסתברות צריכה להיות בין $0$ ל- $1$ .

בדיקת סבירות קצרה חוסכת הרבה פתרונות שנראים חישובית אבל אינם מתאימים לסיפור.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני התרגול נסכם בטבלה את ההתאמות הנפוצות בין מילים כמו 'בלתי אפשרי', 'סביר' ו'בטוח' לבין ערכים על הסולם. הטבלה הזו מסייעת לכייל את האינטואיציה.

בדיקות שמונעות טעויות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
האם הערך בין 0 ל-1?	בודקים גבולות	זה תנאי בסיסי להסתברות
האם הייצוגים שקולים?	ממירים שבר, עשרוני ואחוז	כך נמנעים מבלבול בין 0.6 ל-6%
האם המילים מתאימות?	משווים ל- $0.5$	סיכוי גבוה או נמוך צריך להיות סביר ביחס לסולם

הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

תרגול עצמי

תרגלו לסדר מאורעות על סולם הסתברות ולתרגם בין שברים, אחוזים ועשרוניים. תמיד שאלו: 'האם המספר הזה באמת בין 0 ל-1?'

תרגיל

המרת סיכוי

כתבו $25%$ כהסתברות עשרונית.

25%

תרגיל

בדיקת טענה

תלמיד אמר שההסתברות למאורע היא $120%$ . האם ייתכן?

120% = 1.2

תרגיל

לזהות הסתברות בלתי אפשרית

תלמיד כתב שההסתברות לגשם מחר היא $1.2$ . הסבירו מה לא תקין והציעו ניסוח אפשרי אם התכוון ל- $120%$ בהקשר של גידול.

P = 1.2

שאלות חשיבה

למה הסתברות של מאורע יחיד לא יכולה להיות $120%$ ?

מה ההבדל בין 'לא סביר' לבין 'בלתי אפשרי'?

סולם הסתברות בחיים

הסתברות היא מספר בין

0

ל-

1

שמודד את סיכויו של אירוע.

0

= בלתי אפשרי,

1

= ודאי. הכל בין לבין הוא רמות של 'ייתכן'.

אירועים על הסולם

בלתי אפשרי

להוציא $7$ מקובייה רגילה. $P = 0$ .

ודאי

להוציא מספר בין $1 - 6$ מקובייה. $P = 1$ .

חצי-חצי

מטבע - עץ או פלי. $P = 0.5$ .

חמש נקודות מפתח

0 - בלתי אפשרי

האירוע לא יכול להתרחש. $P (A) = 0$ .

0.25 - לא סביר

כל אחת מכל ארבע. למשל מספר בקובייה $\leq 1.5$ .

0.5 - שווה

סיכוי שווה לקרות או לא. למשל זוגי בקובייה.

0.75 - סביר

סיכוי גבוה. למשל קובייה לא $= 1$ .

1 - ודאי

האירוע יקרה בוודאות. $P (A) = 1$ .

גבולות הסתברות

0 \leq P (A) \leq 1

דוגמה: דירוג סיכויים

דירוג מאורעות לפי הסתברות

דרגו : א^{'} להוציא m 6 / m בקובייה, ב^{'} להוציאזוגי, ג^{'} להוציא m \leq 5 / m, ד^{'} להוציא m 7 / m .

מאורע ד': בלתי אפשרי.
$P (ד) = 0$
מאורע א': אחד מתוך שש.
$P (א) = \frac{1}{6} \approx 0.167$
מאורע ב': שלושה מתוך שש.
$P (ב) = \frac{3}{6} = 0.5$
מאורע ג': חמישה מתוך שש.
$P (ג) = \frac{5}{6} \approx 0.833$
דירוג מהקטן לגדול.
$ד < א < ב < ג$

תשובה:

ד < א < ב < ג

סולם הסתברות לדוגמאות

מקרה קצה: הסתברות $0$ ו- $1$

גבולות הסולם

מצב	הסתברות	דוגמה
בלתי אפשרי	$P = 0$	להוציא $7$ מקובייה
נדיר מאוד	$P \to 0$	להוציא $5$ ברצף בקובייה $10$ פעמים
סביר ביותר	$P \to 1$	להוציא לפחות פעם אחת ראש ב- $100$ הטלות מטבע
ודאי	$P = 1$	להוציא מספר $\leq 6$ מקובייה

טעויות נפוצות

הסתברות מעל $1$

הטעות

להגיד שאירוע יקרה ב- $120%$ בטחון.

החשיבה הנכונה

הסתברות מקסימלית = $1 (100%$ ). אי אפשר יותר.

בדיקה

אם התוצאה של חישוב $> 1$ , יש טעות בחישוב או בהגדרת המאורע.

הסתברות שלילית

הטעות

לחשב $P (A) = - 0.3$ .

החשיבה הנכונה

$P \geq 0$ תמיד. שלילי אינו מתפרש.

בדיקה

אם תוצאה שלילית, לבדוק חישוב או הגדרת מאורע.

מה נלמד כאן

מפת דרך לפתרון

שלוש החלטות שעושות סדר

גבולות

תרגום

בדיקה

הבנה מרכזית

הסתברות נמצאת בין 0 ל-1

דוגמה פתורה

מיקום סיכויים על הסולם

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

אותו סיכוי בכמה שפות

עוד ייצוגים ודוגמאות

דוגמאות קצרות

בלתי אפשרי

ודאי

סיכוי שווה

טעות נפוצה ובדיקה

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקת סבירות

בדיקת עומק לפני תרגול

בדיקות שמונעות טעויות

תרגול עצמי

המרת סיכוי

בדיקת טענה

לזהות הסתברות בלתי אפשרית

שאלות חשיבה

סולם הסתברות בחיים

אירועים על הסולם

בלתי אפשרי

ודאי

חצי-חצי

חמש נקודות מפתח

0 - בלתי אפשרי

0.25 - לא סביר

0.5 - שווה

0.75 - סביר

1 - ודאי

דוגמה: דירוג סיכויים

דירוג מאורעות לפי הסתברות

סולם הסתברות לדוגמאות

מקרה קצה: הסתברות 0 ו-1

גבולות הסולם

טעויות נפוצות

הסתברות מעל 1

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקה

הסתברות שלילית

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקה

מקרה קצה: הסתברות $0$ ו- $1$

הסתברות מעל $1$