גרסת הדפסה | החוברת

פרופורציה נכונה לפני אלגברה

מה בונים במודול?

מציאת אורך חסר היא המקום שבו דמיון הופך לכלי חישוב. כדי להגיע לתשובה נכונה לא מתחילים מהאלגברה, אלא מההתאמה: איזו צלע מול איזו צלע ובאיזה כיוון כותבים את היחס.

לבנות פרופורציה: נכתוב שוויון בין שני יחסי צלעות מתאימות.
לפתור אורך חסר: נשתמש ביחס קבוע או בכפל בהצלבה כדי למצוא $x$ .
לבדוק סבירות: נבדוק אם התשובה מתאימה להגדלה או להקטנה.
לשמור יחידות: נזכור שאורך חסר מקבל יחידות אורך ולא יחידות שטח.

השאלה המרכזית

כאשר משולשים דומים, כל זוג צלעות מתאימות נמצא באותו יחס. אם אחד האורכים חסר, אפשר לבנות משוואה יחסית. אבל אם הצלעות אינן מתאימות, גם פתרון אלגברי יפה ייתן תשובה שגויה.

משולשים דומים עם צלע חסרה ופרופורציה בין צלעות מתאימות — האורך החסר נפתר רק אחרי שמזהים זוגות צלעות מתאימות באותו כיוון.

פרופורציה מצלעות מתאימות

אם $A B$ מתאים ל- $D E$ ו- $B C$ מתאים ל- $E F$ , אפשר לכתוב $\frac{D E}{A B} = \frac{E F}{B C}$ .

\frac{צלע בצורה השנייה}{צלע מתאימה בצורה הראשונה} = k

בסוף בודקים אם $x$ גדול או קטן כפי שמצופה לפי יחס הדמיון.

פרופורציה לצלע חסרה

\frac{6}{9} = \frac{x}{12}

צלע חסרה במשולשים דומים

הצלעות

9

ו-

6

נותנות יחס הקטנה

\frac{2}{3}

. לכן גם הצלע המתאימה ל-

12

תהיה

8

איך בודקים בפועל

כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.

שיטת עבודה

דרך יחס הדמיון

מוצאים $k$ מזוג צלעות ידועות.
מכפילים את הצלע המתאימה ביחס הזה.

דרך פרופורציה

כותבים שני שברים שווים מצלעות מתאימות.
פותרים בכפל בהצלבה או פישוט שברים.

בדיקת סבירות

אם הצורה השנייה קטנה, האורך החסר צריך להיות קטן מהמתאים לו.
אם התשובה שוברת את הכיוון, חוזרים להתאמה.

דוגמה פתורה: יחס הקטנה

\frac{6}{9} = \frac{x}{12}

מזהים יחס בין צלעות מתאימות ידועות.
$\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$
מכפילים את הצלע המתאימה באותו יחס.
$x = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$

תשובה:

x = 8

דוגמאות שמחזקות את הכלל

לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.

שלוש נקודות עוגן

חישוב מהיר

אם יחס הדמיון הוא $3$ וצלע מתאימה היא $7$ , האורך החדש הוא $21$ .

כפל בהצלבה

בפרופורציה $\frac{a}{b} = \frac{x}{d}$ , מקבלים $b x = a d$ . זה עובד כי שני השברים שווים.

סבירות

אם הצורה קטנה פי $2$ , תשובה גדולה יותר מהצלע המקורית מצביעה על כיוון יחס שגוי.

טעויות נפוצות

טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.

טעות מול תיקון

הטעות

לכפול $4 \cdot 6$ במקום באלכסון.

החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.

התיקון

חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.

אם מדובר בשטח, בודקים $k^{2}$ . אם מדובר באורך, בודקים $k$ .

בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.

מדוע לפעמים עדיף לפתור בעזרת יחס דמיון ולפעמים בעזרת כפל בהצלבה?

כפל בהצלבה: כלי הזהב לפתרון פרופורציות

אחרי שכותבים פרופורציה

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

, הצעד הבא הוא לפתור עבור הנעלם. כפל בהצלבה הוא טכניקה אלגברית שעובדת תמיד: מכפילים את שני האגפים במכנה משותף, וכך 'משחררים' את הנעלם מהמכנה.

מדוע כפל בהצלבה עובד

כל פרופורציה היא משוואה. בפרופורציה יש שני שברים שווים, ובשבר יש מונה ומכנה.

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c

הצלבה תקפה רק כששני המכנים אינם אפס. תמיד בודקים זאת לפני.

אסטרטגיות פתרון פרופורציה

מבנה הפרופורציה	אסטרטגיה מועדפת	דוגמה
$\frac{x}{a} = \frac{b}{c}$ (נעלם במונה)	כפל ב- $a$ בשני האגפים	$x = \frac{a \cdot b}{c}$
$\frac{a}{x} = \frac{b}{c}$ (נעלם במכנה)	כפל בהצלבה	$x = \frac{a \cdot c}{b}$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{x}$	כפל בהצלבה	$x = \frac{b \cdot c}{a}$
$\frac{x}{a} = \frac{b}{x}$ (נעלם בשני שברים)	כפל בהצלבה ופתרון משוואה ריבועית	$x^{2} = ab, x = ab$
$\frac{x + 1}{a} = \frac{c}{d}$	כפל וחילוץ	$x = \frac{a c}{d} - 1$

דוגמה פתורה: נעלם במונה

\frac{x}{8} = \frac{15}{20}

מצמצמים את האגף הימני אם אפשר.
$\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$
כופלים את שני האגפים ב- $8$ .
$x = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$
בודקים: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4} = \frac{15}{20}$ ✓.
$x = 6$

תשובה:

x = 6

תרחישי פרופורציה נפוצים בבחינות

צלעות חסרות בשני משולשים דומים

נתון יחס דמיון או זוג צלעות מתאימות, צריך למצוא צלע אחרת. פתרון: יחס דמיון × צלע ידועה.

קו מקביל בתוך משולש

נתון אורכים על שתי הצלעות, צריך למצוא אורך הקו המקביל. פתרון: $△ A D E \sim △ A B C$ , ויחסים בין אורכים חלקיים.

צל וגובה

נתון גובה אובייקט קטן ואורך צלו, וגם אורך צל אובייקט גדול. צריך למצוא גובה האובייקט הגדול.

שבר עם נעלם בשני אגפים

כמו $\frac{x}{a} = \frac{b}{x}$ , יוצא משוואה ריבועית. אורך תמיד שורש חיובי.

אם בפרופורציה אחד המכנים יוצא אפס, מה קורה?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה השלב הראשון במציאת צלע חסרה בדמיון?

זיהוי צלעות מתאימות
כפל בהצלבה בלי התאמה
חיבור כל הצלעות
חישוב שטח

2.פתרו $\frac{4}{6} = \frac{x}{15}$ .

$x = 10$
$x = 6$
$x = 15$
$x = 24$

3.אם יחס הדמיון מהמקור לתמונה הוא $3$ וצלע מקורית $7$ , מה הצלע בתמונה?

$21$
$\frac{7}{3}$
$10$
$4$

4.במשולשים דומים $\frac{12}{18} = \frac{x}{15}$ . מה $x$ ?

$10$
$22.5$
$12$
$18$

5.איזו תשובה אינה סבירה אם הצורה השנייה קטנה מהראשונה?

צלע מתאימה גדולה יותר ללא הסבר
צלע מתאימה קטנה יותר
אותו יחס בכל הצלעות
יחידות אורך

6.מה נותן כפל בהצלבה בפרופורציה $\frac{5}{8} = \frac{x}{24}$ ?

$8 x = 120$
$5 x = 8$
$x = 29$
$8 + x = 24$

7.אם $k = \frac{1}{4}$ וצלע מקורית $20$ , מה הצלע החדשה?

$5$
$80$
$24$
$16$

8.מהו היתרון של כתיבת פרופורציה?

היא שומרת על יחס הצלעות המתאימות
היא מחליפה את הצורך בדמיון
היא מחשבת זוויות בלבד
היא תמיד נותנת שטח

9.איזו פרופורציה מתאימה אם $A B \leftrightarrow D E$ ו- $A C \leftrightarrow D F$ ?

$\frac{D E}{A B} = \frac{D F}{A C}$
$\frac{D E}{A C} = \frac{A B}{D F}$
$\frac{A B}{D F} = \frac{A C}{D E}$
$\frac{D E}{D F} = \frac{A B}{A C}$

10.מה עושים בסוף פתרון צלע חסרה?

בודקים סבירות לפי יחס הדמיון
מחליפים סימן
מחשבים זווית חדשה תמיד
מתעלמים מיחידות

11.אם הצורה גדלה פי $2.5$ , צלע $6$ תהפוך ל...

$15$
$8.5$
$3.5$
$2.4$

12.מהי טעות נפוצה בכפל בהצלבה?

לכפול מונה במכנה מאותו שבר במקום באלכסון
לשמור על שוויון
לבודד את $x$
לבדוק התאמה

13.פתרו: $\frac{x}{6} = \frac{4}{8}$ .

$3$
$48$
$12$
$\frac{1}{2}$

14.פתרו: $\frac{15}{x} = \frac{5}{4}$ .

$12$
$3$
$60$
$20$

15.סולם בגובה $3$ מ' מטיל צל באורך $2$ מ'. עץ ליד מטיל צל באורך $10$ מ'. גובה העץ?

$15$ מ'
$5$ מ'
$20$ מ'
$6.7$ מ'

16.פתרו: $\frac{x}{4} = \frac{16}{x}$ (אורך חיובי).

$8$
$64$
$4$
$20$

17.ב- $△ A B C$ , $D E ∥ B C$ , $A D = 3, A B = 12, B C = 20$ . $D E$ ?

$5$
$10$
$80$
$3$

18.מפה בקנ"מ $1 : 50, 000$ . מרחק במפה $3$ ס"מ. מרחק אמיתי?

$1.5$ ק"מ
$150$ ק"מ
$15$ ק"מ
$50, 000$ ק"מ

19. $△ A B C \sim △ D E F$ , היקף $△ A B C = 18$ , $A B = 4$ , $D E = 10$ . היקף $△ D E F$ ?

$45$
$30$
$25$
$50$

20.תכנית בית בקנ"מ $1 : 100$ . אורך חדר בתכנית $5$ ס"מ. אורך אמיתי?

$5$ מ'
$500$ מ'
$50$ ס"מ
$1$ ס"מ

21.פתרו: $\frac{2}{x} = \frac{6}{15}$ .

$5$
$45$
$3$
$30$

22. $△ A B C \sim △ D E F$ , $A B = 12, D E = 18, B C = 20$ . $E F$ ?

$30$
$\frac{40}{3}$
$26$
$10$