גרסת הדפסה | החוברת

מערכות משוואות, ערך מוחלט ואי-שוויונות

שלושת הרעיונות הגדולים

הפרק מחבר בין שלושה נושאים שנראים שונים: מערכות משוואות, ערך מוחלט ואי-שוויונות. המשותף להם הוא עבודה עם תנאים: שני תנאים יחד, תנאי של מרחק, או תחום של ערכים אפשריים.

מערכות: פתרון חייב לקיים שתי משוואות יחד.
ערך מוחלט: הביטוי מתאר מרחק על ציר המספרים.
אי-שוויונות: התשובה היא תחום ערכים, לא תמיד נקודה אחת.

תמונה המציגה מפת מושגים של מערכות משוואות, ערך מוחלט ואי-שוויונות בפרק 7 — מפת הסיכום מחברת בין תנאים משותפים, מרחק ותחומי פתרון.

מערכת משוואות

זוג ערכים שמקיים שני תנאים יחד. אפשר לפתור בגרף, בהצבה או בהשוואת מקדמים.

מספר פתרונות

יש פתרון יחיד, אין פתרון, או אינסוף פתרונות לפי מצב הישרים או לפי השורה האלגברית האחרונה.

ערך מוחלט

∣ x - a ∣

הוא מרחק של

x

מהמרכז

a

. מרחק אינו שלילי.

אי-שוויונות

פתרון הוא תחום. בחילוק במספר שלילי הופכים את כיוון הסימן.

מפת החלטה לפני פתרון

לפני שמתחילים לחשב, כדאי לשאול מה סוג התשובה שמחפשים. נקודה אחת, זוג סדור, שני תחומים או תחום רציף דורשים דרך חשיבה שונה. השאלה הקצרה הזאת מונעת שימוש אוטומטי בכלי הלא נכון.

ארבע שאלות שמכוונות את הדרך

מה התנאי?

שתי משוואות יחד מובילות למערכת.
מרחק מנקודה מוביל לערך מוחלט.

מה צורת התשובה?

מערכת רגילה נותנת זוג סדור.
אי-שוויון נותן תחום או כמה תחומים.

איזה ייצוג עוזר?

גרף עוזר לראות חיתוך ומספר פתרונות.
ציר מספרים עוזר לראות קרוב, רחוק וקצוות.

איך בודקים?

במערכת מציבים בשתי המשוואות.
בתחום בודקים נקודת פנים, נקודת חוץ וקצה.

סימני זיהוי מהירים

מה רואים בשאלה	מה זה אומר	בדיקה מומלצת
${y = 2 x + 1 y = - x + 7$	מחפשים זוג שנמצא על שני ישרים	מציבים את הזוג בשתי המשוואות
$∣ x - 4∣ = 3$	מחפשים שתי נקודות שמרחקן מ- $4$ הוא $3$	בודקים את שני המרחקים על ציר
$∣ x - 4∣ < 3$	מחפשים נקודות קרובות למרכז	תחום פנימי בין שתי נקודות קצה
$- 2 x + 5 \geq 11$	בבידוד יהיה חילוק במספר שלילי	בודקים שהסימן התהפך

הטבלה אינה מחליפה פתרון. היא עוזרת לזהות את הכלי לפני שמתחילים.

איך בוחרים כלי?

רואים שני ישרים

הפתרון הוא נקודת החיתוך. אם אין חיתוך, בודקים מקבילות או התלכדות.

רואים נעלם מבודד

שיטת ההצבה בדרך כלל קצרה וברורה.

רואים מקדמים דומים

שיטת השוואת מקדמים יכולה לבטל נעלם במהירות.

רואים ערך מוחלט

חושבים קודם על מרכז ומרחק, ורק אז על משוואה או תחום.

במבחן, בחירת כלי נכונה חוסכת זמן ומקטינה טעויות סימן.

דוגמה מסכמת

בדוגמה הבאה משלבים שני רעיונות מהפרק. קודם מוצאים נקודת חיתוך של מערכת, ואז מפרשים תנאי מרחק סביב שיעור ה-

x

שקיבלנו.

ממערכת לתנאי מרחק

{y = x + 4 y = - 2 x + 10 ואז בדקו ∣ x - 2∣ \leq 3

משווים את הביטויים של $y$ , כי שניהם מתארים את אותו ערך בנקודת החיתוך.
$x + 4 = - 2 x + 10$
פותרים את המשוואה ומקבלים את שיעור ה- $x$ .
$3 x = 6 \Rightarrow x = 2$
מציבים באחת המשוואות כדי למצוא את שיעור ה- $y$ .
$y = 2 + 4 = 6$
בודקים את תנאי המרחק. המרחק של $x = 2$ מ- $2$ הוא $0$ , ולכן הוא קטן או שווה ל- $3$ .
$∣2 - 2∣ = 0 \leq 3$

תשובה:

(2, 6) עומדת בתנאי ∣ x - 2∣ \leq 3

תחום הבדיקה $∣ x - 2∣ \leq 3$

תרגיל

משימת שילוב קצרה

פתרו את המערכת $y = 3 x - 1$ , $y = x + 5$ . לאחר מכן בדקו אם שיעור ה- $x$ נמצא בתחום $∣ x - 4∣ < 2$ .

{y = 3 x - 1 y = x + 5 ∣ x - 4∣ < 2

מה משותף לפתרון מערכת, למשוואת ערך מוחלט ולאי-שוויון?

טבלת נוסחאות מהפרק

לפני שעוברים לתרגול, הנה טבלה אחת שמרכזת את כל הנוסחאות והכללים החשובים מהפרק. שווה לחזור לטבלה הזו לפני המבחן.

סיכום נוסחאות וכללים

נושא	כלל / נוסחה	הערה
שיטת הצבה	$y = f (x)$ , מציבים במשוואה השנייה	מתאים כשנעלם מבודד
שיטת השוואת מקדמים	כפל ב- $m_{1}, m_{2}$ עד שמקדמים שווים או הפוכים	אז חיבור או חיסור
מספר פתרונות אלגברית	$x = k$ : יחיד; $0 = 0$ : אינסוף; $0 = k \neq = 0$ : אין	ניתוח לאחר אלימינציה
מספר פתרונות גרפית	נחתכים: יחיד; מקבילים: אין; מתלכדים: אינסוף	אותו שיפוע = מקבילים או מתלכדים
ערך מוחלט מ-0	$∣ x ∣ = x$ ל- $x \geq 0$ ; $∣ x ∣ = - x$ ל- $x < 0$	תמיד $\geq 0$
ערך מוחלט כמרחק	$∣ x - a ∣$ = מרחק מ- $a$	ב- $∣ x - a ∣ = k$ : שני פתרונות $a \pm k$
משוואה ערך מוחלט	$∣...∣ = k$ : יחיד אם $k = 0$ ; אין אם $k < 0$	אחרת שני מקרים: $\pm k$
אי-שוויון פנים	$∣ x - a ∣ < k$ : $a - k < x < a + k$	תחום אחד
אי-שוויון חוץ	{m}\|x-a\|>k{/m}: {m}xa+k{/m}	שני תחומים
מספר שלילי באי-שוויון	כפל/חילוק = הפיכת סימן	המוקש הקבוע
גרף ערך מוחלט	$y = k ∣ x - a ∣ + b$ = V עם קודקוד $(a, b)$	ענפים בשיפוע $\pm k$

הטבלה אינה מחליפה הבנה - היא רק מרכזת את הכלים.

סוג טעויות נפוצות

טעויות במבחנים אינן מקריות. הן חוזרות באותם מקומות בכל פרק. הכרת הסוג שלהן עוזרת לעצור לפני שלוחצים על 'הגש'.

טעויות המקיפות את הפרק

סוגריים בהצבה

להציב ביטוי בלי סוגריים, ואז לפתוח מינוס לא נכון.

$3 x - (8 - 2 x)$ זה לא $3 x - 8 - 2 x$ . הסוגר משנה סימן: $3 x - 8 + 2 x$ .

כפל חלקי

להכפיל רק חלק ממשוואה.

$2 (x + 3 y = 8)$ זה $2 x + 6 y = 16$ , לא $2 x + 3 y = 16$ .

סימן באי-שוויון

לשכוח להפוך סימן בכפל/חילוק במספר שלילי.

$- 2 x < 6$ זה $x > - 3$ , לא $x < - 3$ .

ערך מוחלט שלילי

לפתור $∣ x ∣ = - 3$ כאילו יש פתרון.

אין פתרון: ערך מוחלט אינו שלילי.

פנים מול חוץ

לבלבל בין $<$ ו- $>$ בפתרון אי-שוויון.

$∣ x ∣ > 3$ זה שני תחומים, לא $- 3 < x < 3$ .

סדר זוג סדור

לרשום פתרון מערכת כ- $(y, x)$ .

סדר תקני: $(x, y)$ .

אסטרטגיה לבחירת שיטה

לפני שמתחילים לפתור, שאלו 3 שאלות: איזה סוג של תנאי? איזה סוג של תשובה? איזה כלי הכי קצר? בחירה נכונה חוסכת זמן רב במבחן.

מתי איזו שיטה?

הצבה

נעלם כבר מבודד או כמעט.
מקדם $\pm 1$ בולט.
מוביל למשוואה לינארית פשוטה.

השוואת מקדמים

שתי המשוואות בצורה $a x + b y = c$ .
מקדמים גדולים מ- $1$ .
בידוד יוצר שברים.

גרפי

רוצים אינטואיציה.
פתרונות שלמים.
מספר פתרונות לא ידוע.

ערך מוחלט גיאומטרית

שאלה על מרחק.
צד ימני חיובי או 0.
אפשר לשרטט על ציר.

דוגמה משולבת: מערכת + ערך מוחלט

{y = x + 4 y = - 2 x + 10 ובדקו אם x מקיים ∣ x - 2∣ \leq 3.

פותרים את המערכת. מציבים: $x + 4 = - 2 x + 10 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2$ .
$x = 2$
מוצאים $y$ : $y = 2 + 4 = 6$ .
$y = 6$
בודקים את התנאי: $∣2 - 2∣ = 0 \leq 3$ . כן, מקיים.
$0 \leq 3 ✓$

תשובה:

(2, 6), ∣ x - 2∣ = 0 \leq 3

תרגיל

תרגיל סיכום משולב

פתרו את המערכת $y = 2 x - 1$ , $y = - x + 5$ . ואז בדקו האם $x$ מקיים $∣ x ∣ < 3$ .

{y = 2 x - 1 y = - x + 5 וגם ∣ x ∣ < 3

משחק חזרה לפרק

בחרו קטגוריה ורמת קושי. לפני כל תשובה נסו לזהות את סוג התנאי: מערכת, גרף, מרחק או תחום.

חידון סיום

החידון המסכם מערבב שאלות מכל הפרק. קראו את השאלה עד הסוף, סמנו אם מדובר בנקודה או בתחום, ובדקו סימנים לפני התשובה.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.איך מזהים שפתרון של מערכת הוא זוג נכון?

מציבים אותו בשתי המשוואות ומקבלים אמת בשתיהן
בודקים רק את המשוואה הראשונה
בודקים שהוא חיובי
מסמנים אותו על ציר אחד בלבד

2.מתי שיטת ההצבה נוחה במיוחד?

כאשר אחד הנעלמים כבר מבודד או קל לבידוד
כאשר אין משוואות
כאשר רוצים להימנע מבדיקה
כאשר המקדמים תמיד שווים

3.מה מתארת התוצאה $0 = 0$ בפתרון מערכת קווית?

אינסוף פתרונות
אין פתרון
פתרון יחיד
טעות חישוב בהכרח

4.מה הפתרון של $∣ x - 3∣ < 2$ ?

$1 < x < 5$
$x < 1$ או $x > 5$
$x = 1$ או $x = 5$
$- 2 < x < 2$

5.מה קורה כשמחלקים אי-שוויון במספר שלילי?

כיוון הסימן מתהפך
כיוון הסימן נשאר
האי-שוויון הופך למשוואה
מקבלים תמיד אין פתרון

6.איזה קשר יש בין גרף ערך מוחלט לבין אי-שוויון ערך מוחלט?

הגרף עוזר לראות איפה הערכים מעל או מתחת לגובה מסוים
אין קשר בין השניים
הגרף תמיד נותן פתרון יחיד
אי-שוויון ערך מוחלט לא קשור למרחק

7.במערכת עם שני ישרים בעלי אותו שיפוע ואיבר חופשי שונה, כמה פתרונות יש?

אין פתרון
פתרון אחד
אינסוף פתרונות
שני פתרונות

8.מה המרכז של $∣ x + 2∣$ ?

$- 2$
$2$
$0$
$x$

9.מה קודקוד הגרף $y = ∣ x + 3∣ - 2$ ?

$(- 3, - 2)$
$(3, - 2)$
$(- 2, - 3)$
$(0, - 2)$

10.למה בדיקת סבירות חשובה בבעיה מילולית?

כי הפתרון צריך להתאים להקשר, לא רק למשוואות
כי היא מחליפה את החישוב
כי היא תמיד מקצרת את הדרך
כי אין צורך במשפט תשובה

11.מהו הפתרון של $y = 3 x - 2$ , $x + y = 10$ ?

$(3, 7)$
$(7, 3)$
$(4, 6)$
אין פתרון

12.איזו תשובה מתארת $∣ x - 1∣ > 4$ ?

$x < - 3$ או $x > 5$
$- 3 < x < 5$
$x = 1$
אין פתרון

13.באיזו מערכת שיטת ההצבה היא בחירה טבעית במיוחד?

$y = 2 x + 3$ , $x + y = 18$
$3 x + 2 y = 7$ , $6 x + 4 y = 9$
$5 x - 5 y = 10$ , $2 x + 2 y = 8$
$∣ x - 4∣ = 2$

14.מהו פתרון המערכת $x + y = 9$ , $x - y = 1$ ?

$(5, 4)$
$(4, 5)$
$(9, 1)$
אינסוף פתרונות

15.מה מספר הפתרונות של $y = 2 x + 1$ ושל $2 y = 4 x + 2$ ?

אינסוף פתרונות
פתרון יחיד
אין פתרון
שני פתרונות בלבד

16.מהו הקודקוד של הגרף $y = ∣ x - 4∣ + 1$ ?

$(4, 1)$
$(- 4, 1)$
$(1, 4)$
$(0, 1)$

17.מהו פתרון האי-שוויון $- 3 x \leq 12$ ?

$x \geq - 4$
$x \leq - 4$
$x \geq 4$
$x \leq 4$

18.איזה תחום מתאים ל- $∣ x + 2∣ \leq 5$ ?

$- 7 \leq x \leq 3$
$- 5 \leq x \leq 5$
$x \leq - 7$ או $x \geq 3$
$- 3 \leq x \leq 7$

19.מה מייצגת נקודת החיתוך של שני גרפים קוויים?

זוג הערכים שבו שתי הפונקציות נותנות אותו $y$
השיפוע של שני הגרפים
רק נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$
תחום שבו ערך מוחלט חיובי

20.פתרון מערכת נתן $x = 6$ . האם הוא עומד בתנאי $∣ x - 4∣ < 3$ ?

כן, כי $∣6 - 4∣ = 2 < 3$
לא, כי $6 > 4$
כן, כי כל מספר עומד בערך מוחלט
אי אפשר לדעת בלי שיעור ה- $y$

21.במערכת בה התקבל $0 = 0$ , מה זה אומר?

אינסוף פתרונות
אין
יחיד
טעות

22.פתרו $∣ x ∣ = 7$ .

$x = 7$ או $x = - 7$
$x = 7$
$x = - 7$
אין

23.פתרו $∣ x ∣ < 4$ .

$- 4 < x < 4$
$x < 4$
$x > 4$
שני תחומים

24.פתרו $∣ x ∣ > 4$ .

$x < - 4$ או $x > 4$
$- 4 < x < 4$
$x > 4$
אין

25.במערכת $y = 2 x + 1$ , $y = 2 x + 5$ , מספר פתרונות?

אין (מקבילים)
יחיד
אינסוף
שני

26.מהו הקודקוד של $y = 2∣ x - 3∣ + 1$ ?

$(3, 1)$
$(- 3, 1)$
$(3, - 1)$
$(2, 1)$

27.אסטרטגיה: כשנעלם מבודד, איזו שיטה נוחה?

הצבה
השוואת מקדמים
גרף בלבד
ערך מוחלט

28.פתרו $∣2 x - 6∣ = 4$ .

$x = 5$ או $x = 1$
$x = 10$ או $x = 2$
$x = 2$
אין

29.פתרו $3 x + y = 10$ , $3 x - y = 2$ .

$(2, 4)$
$(4, 2)$
$(2, - 4)$
$(0, 10)$

30.במערכת בה $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}$ , מה המסקנה?

אינסוף פתרונות
אין
יחיד
תלוי

31.פתרו $∣ x - 3∣ < 2$ וגם $x > 0$ .

$1 < x < 5$
$- 2 < x < 2$
$x > 1$
אין פתרון

32.תוכנית סלולר: A: $30 + 0.5 x$ , B: $0.8 x$ . באיזה תחום של דקות תוכנית B זולה יותר?

פחות מ- $100$ דקות
יותר מ- $100$ דקות
בכל דקה
אף פעם