גרסת הדפסה | החוברת

מה קורה כאשר משנים רדיוס או גובה

מה נלמד כאן?

שינוי ממדים בגליל אינו משפיע על כל הגדלים באותה צורה. הרדיוס מופיע בריבוע בנוסחת הנפח ובשטח הבסיס - לכן הכפלתו פי $k$ מכפילה את אותם גדלים פי $k^{2}$ . הגובה מופיע בעוצמה ראשונה - לכן הכפלתו רק פי $k$ .

השפעת רדיוס: רדיוס פי $k$ : שטח בסיס פי $k^{2}$ , היקף בסיס פי $k$ , נפח פי $k^{2}$ (אם גובה לא משתנה).
השפעת גובה: גובה פי $k$ : נפח פי $k$ (אם רדיוס לא משתנה), שטח מעטפת פי $k$ , שטח בסיס לא משתנה.
שינויים משולבים: נראה איך לחשב את ההשפעה הכוללת כשמשנים גם רדיוס וגם גובה. הגורמים מוכפלים, לא מתחברים.
יחסי נפחים: נחשב פי כמה גדל או קטן הנפח כשמשתנים ממדים. זוהי מיומנות חשובה בבעיות אוריינות.

הבנה מרכזית

שינוי ממדים בגליל אינו משפיע על כל הגדלים באותה צורה. הרדיוס מופיע בריבוע בנוסחת הנפח, אבל הגובה מופיע פעם אחת. ההבדל המתמטי הזה משקף הבדל גאומטרי: רדיוס משפיע על שני ממדים של הבסיס בו זמנית (הקוטר וההיקף), הגובה רק על ממד אחד.

למה רדיוס פי $2$ נותן נפח פי $4$ ?

כשמכפילים רק את הרדיוס בגליל פי $2$ , הקוטר וההיקף גדלים פי $2$ .

ביטוי מתמטי: $V^{'} = π (k r)^{2} h = k^{2} π r^{2} h = k^{2} V$ . גורם הריבוע נובע ישירות מהריבוע ברדיוס בנוסחה.

השפעת שינוי רדיוס על נפח

V^{'} = π (k r)^{2} h = k^{2} V

השפעת שינוי גובה על נפח

V^{'} = π r^{2} (k h) = k V

שינוי משולב - רדיוס פי $k$ , גובה פי $m$

V^{'} = π (k r)^{2} (mh) = k^{2} mV

השפעות שינוי ממדים על גדלי הגליל

מה משתנה	השפעה על שטח בסיס	השפעה על שטח מעטפת	השפעה על נפח
רדיוס פי $k$ , גובה ללא שינוי	פי $k^{2}$	פי $k$	פי $k^{2}$
גובה פי $m$ , רדיוס ללא שינוי	ללא שינוי	פי $m$	פי $m$
רדיוס פי $k$ , גובה פי $m$	פי $k^{2}$	פי $k m$	פי $k^{2} m$
שניהם פי $k$ (קנה מידה)	פי $k^{2}$	פי $k^{2}$	פי $k^{3}$

המקרה המעניין ביותר הוא 'קנה מידה': מכפלים רדיוס וגובה באותו גורם $k$ , ואז כל השטחים גדלים ב- $k^{2}$ והנפח ב- $k^{3}$ . זה כלל כללי לכל גוף בקנה מידה.

שיטת עבודה

בבעיות שינוי ממדים, שני שלבים: לזהות איזה גודל משנים, ולזהות אם הוא מופיע ברבוע בנוסחה. שני שלבים אלה קובעים את גורם השינוי בנפח.

ארבעה שלבים בכל בעיית שינוי

מזהים מה משתנה

רדיוס בלבד? גובה בלבד? שניהם?
כל גודל מקבל גורם משלו: $k$ לרדיוס, $m$ לגובה.
אם רק אחד משתנה, הגורם של השני הוא $1$ .

בודקים את הנוסחה

בנפח: $V = π r^{2} h$ . רדיוס בריבוע, גובה בעוצמה ראשונה.
בשטח בסיס: רק רדיוס (בריבוע).
בשטח מעטפת: רדיוס וגובה (שניהם בעוצמה ראשונה).

מציבים גורמים

רדיוס פי $k$ ← ריבוע פי $k^{2}$ .
גובה פי $m$ ← גורם פי $m$ .
מכפלה: $k^{2} m$ (לא חיבור).

בודקים סבירות

אם משנים רק רדיוס, ההשפעה על נפח גדולה יותר משינוי גובה.
אם $k > 1$ , הנפח גדל. אם $k < 1$ , הנפח קטן.
ההשפעה אינה ליניארית - שינוי רדיוס יוצר השפעה ריבועית.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות מציגות את ההשפעה של שינויים שונים, ומראות איך לקבל תשובה ללא חישוב מספרי - רק על-פי הגורמים.

דוגמה $1$ : רדיוס מוכפל פי $2$

r \mapsto 2 r, h ללא שינוי

הרדיוס מופיע בריבוע בנפח.
$(2 r)^{2} = 4 r^{2}$
הגובה לא השתנה, אז הוא כפול $1$ .
$h \mapsto h$
מציבים בנוסחה.
$V^{'} = π (2 r)^{2} h = 4 π r^{2} h = 4 V$

תשובה:

הנפחגדלפי m 4 / m .

דוגמה $2$ : גובה מוכפל פי $3$

h \mapsto 3 h, r ללא שינוי

הגובה מופיע פעם אחת בנפח.
$V^{'} = π r^{2} (3 h)$
מוציאים גורם.
$V^{'} = 3 π r^{2} h = 3 V$

תשובה:

הנפחגדלפי m 3 / m .

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

רדיוס פי $5$

נפח גדל פי $25$ .

גובה פי $5$

נפח גדל פי $5$ . השפעה ליניארית.

שניהם פי $3$

נפח גדל פי $27 (= 3^{3}) .$

רדיוס פי $\frac{1}{2}$

נפח קטן פי $4$ , ל- $25%$ מהמקורי.

רדיוס פי $2$ , גובה פי $1/2$

$V^{'} = 4 \cdot \frac{1}{2} V = 2 V$ . גדל פי $2$ .

שטח מעטפת

רדיוס וגובה שניהם פי $3$ : מעטפת פי $9 (= 3 \cdot 3) .$

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

להתעלם מהריבוע

הטעות: לחשוב שהשפעה על נפח היא ליניארית: רדיוס פי $2$ ← נפח פי $2$ . התיקון: רדיוס בריבוע, ולכן השפעה $k^{2}$ .

רדיוס פי $2$ : נפח פי $4$ , לא $2$ .

לחבר גורמים במקום להכפיל

הטעות: בשינוי משולב - לחבר את הגורמים. התיקון: הם מוכפלים.

רדיוס פי $2$ , גובה פי $3$ : $k^{2} m = 4 \cdot 3 = 12$ , לא $4 + 3 = 7$ .

להחיל ריבוע על גובה

הטעות: לחשוב שגם גובה בריבוע. התיקון: רק רדיוס בריבוע, גובה בעוצמה ראשונה.

גובה פי $3$ : נפח פי $3$ , לא $9$ .

להחיל את אותו גורם על שטחים שונים

הטעות: לחשוב שכל הגדלים גדלים באותו גורם. התיקון: שטח בסיס תלוי רק ברדיוס; שטח מעטפת ברדיוס וגובה; נפח בשניהם.

אם רדיוס פי $3$ ושום דבר אחר: שטח בסיס פי $9$ , שטח מעטפת פי $3$ , נפח פי $9$ .

סדר העבודה: כתבו את הגורם של רדיוס, את הגורם של גובה, ואת הנוסחה. ואז מחברים את ההשפעה כפי שהיא מתחברת בנוסחה - הכפלה, לא חיבור.

פחית גדולה לעומת קטנה

פחית עם רדיוס פי

1.5

מפחית רגילה תכיל פי

1. 5^{2} = 2.25

משקה -

125%

יותר. לכן 'פחית גדולה' לרוב נראית קצת יותר גדולה אבל מכילה הרבה יותר.

כוס עם רדיוס פי $2$

אם תכפילו רק את הרדיוס של כוס פי

2

(גובה לא משתנה), היא תכיל פי

4

משקה. השטח (חומר העיגול בעיצוב) יגדל גם פי

4

. אבל השפה (מעטפת בלבד) רק פי

2

מאגר מים בגודל אחר

להגדלת מאגר עירוני: אם תכפילו את הקוטר (כלומר את הרדיוס), הקיבולת גדלה פי

4

. תכפילו רק את הגובה: גדלה פי

2

. תכפילו גם את הקוטר וגם את הגובה: גדלה פי

8

אריזות מזון

אצל יצרני מזון מחשבים: 'אם נשנה את הקוטר ב-

10%

, כמה משתנה הקיבולת?'.

1. 1^{2} = 1.21

- גידול של

21%

בנפח, גם אם הקוטר נראה רק קצת יותר גדול.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה ההבדל בין שטח לנפח?

שטח מודד כיסוי, נפח מודד מילוי
שניהם אותו דבר
נפח נמדד בסמ"ר
שטח נמדד בליטרים בלבד

2.מהו רדיוס אם הקוטר $12$ ?

$6$
$12$
$24$
$π$

3.מהו היקף בסיס גליל ברדיוס $4$ ?

$8 π$
$16 π$
$4 π$
$16$

4.איזו יחידה מתאימה לשטח?

סמ"ר
ס"מ
סמ"ק
ליטרים

5.איזו יחידה מתאימה לנפח?

סמ"ק
ס"מ
סמ"ר
מעלות

6.מה עושים אם נתון קוטר וצריך להשתמש ב- $r$ ?

מחלקים את הקוטר ב- $2$
מכפילים ב- $2$
משאירים כמו שהוא
מעלים בריבוע מיד

7.מה נכון לגבי $π$ בתשובה?

אפשר להשאיר אותו אם לא ביקשו קירוב
חייבים למחוק אותו
הוא תמיד שווה $3$
הוא יחידת נפח

8.כיסוי קופסה גלילית שייך ל:

שטח פנים
נפח
אלכסון גוף
משפט הפוך

9.מילוי מכל גלילי שייך ל:

נפח
שטח מעטפת
היקף בלבד
אלכסון

10.מהי בדיקת סבירות טובה?

לבדוק שהיחידה מתאימה לגודל המבוקש
להתעלם מיחידות
לעגל תמיד ל- $3$
לחבר את כל הנתונים

11.אם הרדיוס מוכפל פי $3$ (גובה ללא שינוי), הנפח גדל פי:

$9$
$3$
$6$
$27$

12.רדיוס פי $2$ , גובה פי $5$ . נפח גדל פי:

$20$
$10$
$7$
$25$

13.רוצים שנפח יגדל פי $9$ ע"י שינוי רדיוס בלבד. פי כמה צריך להגדיל את הרדיוס?

פי $3$
פי $9$
פי $81$
פי $3$

14.רדיוס וגובה שניהם פי $2$ . שטח מעטפת גדל פי:

$4$
$2$
$8$
$16$