גרסת הדפסה | החוברת

כאשר שני הניצבים ידועים

מה נלמד כאן?

כאשר שני הניצבים של משולש ישר זווית ידועים, היתר מתקבל מסכום ריבועיהם ושורש של הסכום. החלק החשוב הוא לזכור שהשורש מגיע רק בסוף, אחרי שמחברים שטחים.

בחירת הנתונים: נזהה ששני האורכים הנתונים הם ניצבים, כלומר הם יוצרים את הזווית הישרה. רק במצב הזה הנוסחה $c = a^{2} + b^{2}$ פועלת ישירות.
חישוב מדורג: נחשב את שני הריבועים בנפרד, נחבר אותם, ורק אז נוציא שורש. כל ניסיון לקצר את הסדר מוביל לטעויות.
תשובה מדויקת או מקורבת: נדע מתי להשאיר תשובה כשורש מדויק (למשל $74$ ), מתי לפשט שורש (למשל $72 = 62$ ), ומתי לעגל לפי דרישת השאלה.
יחידות וסבירות: ניחידות אורך נשמרות לאורך כל החישוב. בודקים שהיתר ארוך מכל ניצב וקצר מסכום הניצבים.

הבנה מרכזית

בחישוב יתר יש מצב נוח: שני הניצבים ידועים, ולכן ריבוע היתר הוא סכום ריבועיהם. התשובה עצמה היא אורך, ולכן בסוף חוזרים מריבוע לאורך בעזרת שורש. אפשר לחשוב על זה כתהליך של שתי תרגומים: ראשית מאורך לשטח (העלאה בריבוע), ולבסוף משטח לאורך (הוצאת שורש).

למה השורש מגיע בסוף?

הנוסחה $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ נותנת תחילה את $c^{2}$ , כלומר את ריבוע היתר.

לכן דרך העבודה היא $c = a^{2} + b^{2}$ . אם דילגתם על השורש, התוצאה תהיה גדולה הרבה יותר מהתשובה הנכונה ויחידותיה לא יתאימו.

חישוב יתר

c = a^{2} + b^{2}

היתר מתקבל משני ניצבים

במשולש שניצביו

6

ו-

8

, היתר הוא

10

. זו השלשה

3, 4, 5

מוכפלת פי

2

שיטת עבודה

השלבים קבועים, אבל צריך לפרש כל שלב. אין מדלגים ישר לתשובה בלי לדעת אם מחפשים אורך מדויק או קירוב, ובאיזו יחידה.

ארבעה שלבי פתרון

ריבועים

מעלים כל ניצב בריבוע: $a^{2}$ ואז $b^{2}$ .
שומרים על סדר חישוב ברור - לא מחברים בלב.
כותבים את הריבועים בנפרד לפני שמחברים.

חיבור

מחברים את שני הריבועים: $a^{2} + b^{2}$ .
התוצאה היא $c^{2}$ , לא $c$ עצמו.
מסומנים בבירור שמדובר בשטח, כדי לא לטעות בסוף.

שורש

מוציאים שורש: $c = a^{2} + b^{2}$ .
אם השורש שלם - כותבים את התשובה השלמה.
אם לא - בודקים אם אפשר לפשט (למשל $72 = 62$ ), אחרת משאירים מדויק.

יחידות וסבירות

כותבים יחידת אורך - אותה היחידה של הניצבים.
בדיקת סבירות: היתר ארוך מכל ניצב, קצר מסכום הניצבים.
אם נדרש קירוב, מעגלים בסוף בלבד.

שלשות פיתגוריות שכדאי לזהות מיד

שלשה	ריבועים	אימות
$3, 4, 5$	$9 + 16 = 25$	$5^{2} = 25$
$5, 12, 13$	$25 + 144 = 169$	$1 3^{2} = 169$
$8, 15, 17$	$64 + 225 = 289$	$1 7^{2} = 289$
$7, 24, 25$	$49 + 576 = 625$	$2 5^{2} = 625$
$9, 40, 41$	$81 + 1600 = 1681$	$4 1^{2} = 1681$
$20, 21, 29$	$400 + 441 = 841$	$2 9^{2} = 841$

כל כפולה של שלשה היא שלשה: $6, 8, 10$ (פי $2$ מ- $3, 4, 5), 9, 12, 15$ (פי $3$ ), וכן הלאה.

דוגמאות פתורות

בכל דוגמה נבדוק שהיתר גדול מכל ניצב, אבל קצר מסכום הניצבים. זו בדיקת סבירות מהירה שעוזרת לזהות טעויות לפני שעוברים הלאה.

דוגמה $1$ : יתר במשולש $6, 8$

a = 6, b = 8

מעלים את שני הניצבים בריבוע.
$6^{2} = 36, 8^{2} = 64$
מחברים כדי לקבל את ריבוע היתר.
$c^{2} = 36 + 64 = 100$
מוציאים שורש כדי למצוא את היתר.
$c = 100 = 10$

תשובה:

m 10 / m ס"מ

דוגמה $2$ : יתר שאינו מספר שלם

a = 5, b = 7

מחברים ריבועים.
$c^{2} = 5^{2} + 7^{2} = 25 + 49 = 74$
השורש של $74$ אינו מספר שלם.
$c = 74$
בודקים אם אפשר לפשט. $74 = 2 \cdot 37$ , ושני הגורמים אינם ריבועים שלמים.
$74 אינו ניתן לפשט$
אם נדרש קירוב, מקבלים בערך.
$74 \approx 8.6$

תשובה:

m 74 / m (מדויק) או m \approx 8.6 / m (קירוב)

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

$9, 12$

$c = 81 + 144 = 225 = 15$ . זו כפולה של $3, 4, 5$ פי $3$ .

$8, 15$

$c = 17$ , כי $64 + 225 = 289$ . שלשה מוכרת.

$4, 6$

$c = 52 = 213$ . אין חובה לעגל אם לא ביקשו.

$1, 1$

$c = 2 \approx 1.414$ . זה היתר של ריבוע יחידה - מספר חשוב מאוד.

$7, 24$

$c = 25$ , כי $49 + 576 = 625$ . זו שלשה מוכרת נוספת.

יחידות

אם הניצבים בס"מ, גם היתר בס"מ, לא בסמ"ר. שטח לא יכול להיות אורך.

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות חוזרות במציאת היתר. כל אחת נובעת מדילוג על שלב או מערבוב בין שלבים.

ארבע טעויות מרכזיות

חיבור הניצבים

הטעות: לכתוב $c = a + b$ ולקבל למשל $6 + 8 = 14$ . התיקון: מחברים ריבועים ואז מוציאים שורש.

היתר במשולש $6, 8$ הוא $10$ , לא $14$ .

שכחת השורש

הטעות: לעצור ב- $c^{2} = 100$ ולכתוב $100$ כתשובה. התיקון: $c = 100 = 10$ .

ריבוע אורך אינו אורך. $c^{2}$ הוא שטח, $c$ הוא אורך.

ריבוע של סכום במקום סכום של ריבועים

הטעות: לכתוב $c^{2} = (a + b)^{2}$ . התיקון: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , ולא $(a + b)^{2}$ שכולל גם $2 ab$ .

$(3 + 4)^{2} = 49$ ולא $25$ , ההפרש הוא $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ .

יחידות לא נכונות

הטעות: לכתוב את היתר ביחידות שטח כמו סמ"ר. התיקון: היתר הוא אורך - יחידות אורך כמו ס"מ או מ'.

יתר במשולש שניצביו ב-ס"מ הוא ב-ס"מ, גם אם דרך החישוב עברה דרך סמ"ר.

אם התשובה גדולה מדי, ביחידות שטח, או שלילית - חזרו והבדקו את כל השלבים. אחת הטעויות לעיל היא לרוב הסיבה.

סולם וגישה לגג

סולם נשען על קיר. המרחק של רגלי הסולם מהקיר ידוע, גובה הקיר ידוע. מחשבים את אורך הסולם הנדרש - זו בעיית יתר קלאסית.

אלכסון מלבן

מסך טלוויזיה, מסגרת לתמונה, חצר מלבנית. הרוחב והגובה הם ניצבים (פינות מלבן הן

9 0^{\circ}

), והאלכסון הוא היתר.

מרחק במפה

אם הולכים

300

מ' צפונה ואז

400

מ' מזרחה, המרחק האווירי מההתחלה הוא

30 0^{2} + 40 0^{2} = 500

מ'.

אריזה ומשלוח

במשלוחים בודקים אם חבילה ארוכה נכנסת באלכסון לקופסה מלבנית. האלכסון הוא היתר של מלבן הקופסה.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.ניצבים הם $6$ ו- $8$ . מה היתר?

$10$
$14$
$100$
$14$

2.מה עושים אחרי שמקבלים $c^{2} = 169$ ?

מוציאים שורש ומקבלים $c = 13$
מחלקים ב- $2$
כותבים $c = 169$
מחסרים ניצבים

3.ניצבים $5$ ו- $12$ . מה היתר?

$13$
$17$
$7$
$17$

4.מהי בדיקת סבירות טובה ליתר?

היתר צריך להיות ארוך מכל ניצב
היתר צריך להיות קצר מכל ניצב
היתר שווה תמיד לסכום הניצבים
אין צורך בבדיקה

5.ניצבים $5$ ו- $7$ . מה היתר המדויק?

$74$
$12$
$74$
$24$

6.אילו יחידות מתאימות ליתר כאשר הנתונים בס"מ?

ס"מ
סמ"ר
סמ"ק
ללא יחידות

7.אלכסון מלבן $9 \times 12$ הוא:

$15$
$21$
$21$
$108$

8.מהי התשובה המדויקת ל- $52$ ?

$213$
$26$
$13$
$10$

9.בסולם וקיר, מי היתר בדרך כלל?

הסולם
הקיר
הרצפה
הזווית

10.מה מייצג $c^{2}$ במהלך הפתרון?

ריבוע היתר
היתר עצמו
סכום הניצבים
שטח המשולש

11.מצאו יתר במשולש שניצביו $9$ ו- $12$ .

$15$
$21$
$25$
$108$

12.במשולש ישר זווית שווה-שוקיים שניצביו $5$ , מה היתר המדויק?

$52$
$10$
$10$
$25$

13.אלכסון מסך טלוויזיה בעל רוחב $48$ ס"מ וגובה $36$ ס"מ הוא:

$60$ ס"מ
$84$ ס"מ
$1728$ ס"מ
$1728$ ס"מ

14.במשולש ישר זווית עם ניצב $3$ ויתר $5$ , האם הניצב השני $= 2$ ?

לא, הוא $4$
כן, $5 - 3 = 2$
כן, $5 + 3 = 8$
לא, הוא $8$