גרסת הדפסה | החוברת

קיצורי דרך עם הצדקה מתמטית

מה נלמד כאן?

שלשות פיתגוריות הן שלושה מספרים טבעיים שמקיימים את משפט פיתגורס. הן אינן קסם, אלא קיצור דרך שמבוסס על בדיקת ריבועים. ידיעת השלשות הנפוצות חוסכת חישובים במבחנים ומסייעת לזהות תשובה נכונה במהירות.

שלשות בסיסיות: נכיר את השלשות הבסיסיות החשובות ביותר: $3, 4, 5$ , $5, 12, 13$ , $8, 15, 17$ , $7, 24, 25$ , $9, 40, 41$ , $20, 21, 29$ .
כפולות: נזהה שלשה כפולה כאשר כל המספרים מוכפלים באותו גורם. לדוגמה $6, 8, 10 = 2 \cdot (3, 4, 5)$ .
יצירת שלשות חדשות: נראה איך אפשר לייצר שלשות חדשות מתוך נוסחאות פשוטות. כל שלשה היא פתרון של $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ במספרים שלמים.
שימוש חכם: נשתמש בשלשות כדי לחסוך חישוב, בלי לוותר על נימוק. שלשה היא רמז, לא תחליף להוכחה.

הבנה מרכזית

שלשה פיתגורית היא שלשה של מספרים טבעיים שיכולים להיות אורכי צלעות של משולש ישר זווית. השלשות עוזרות לזהות במהירות יתר וניצבים במקרים נפוצים, אבל אסור להחליף הוכחה חישובית בזיהוי בלבד.

למה כפולות עובדות?

שלשה פיתגורית מקיימת את אותו שוויון של משפט פיתגורס.

לכן $6, 8, 10$ היא כפולה של $3, 4, 5$ פי $2$ , וגם $9, 12, 15$ היא כפולה פי $3$ . שתיהן שלשות פיתגוריות לגיטימיות.

כפולה של שלשה

(k a)^{2} + (k b)^{2} = k^{2} a^{2} + k^{2} b^{2} = k^{2} (a^{2} + b^{2}) = k^{2} c^{2} = (k c)^{2}

השלשות החשובות ביותר

אלו שלשות שמופיעות הרבה במבחנים, בבעיות אוריינות ובחיים. כדאי לזכור אותן בעל-פה - הן יחסכו זמן בכל בעיה.

שלשות פיתגוריות יסודיות

שלשה	סכום ריבועי הקטנים	ריבוע הגדול	כפולות שכיחות
$3, 4, 5$	$9 + 16 = 25$	$5^{2} = 25$	$6, 8, 10$ ; $9, 12, 15$ ; $12, 16, 20$
$5, 12, 13$	$25 + 144 = 169$	$1 3^{2} = 169$	$10, 24, 26$ ; $15, 36, 39$
$8, 15, 17$	$64 + 225 = 289$	$1 7^{2} = 289$	$16, 30, 34$ ; $24, 45, 51$
$7, 24, 25$	$49 + 576 = 625$	$2 5^{2} = 625$	$14, 48, 50$
$9, 40, 41$	$81 + 1600 = 1681$	$4 1^{2} = 1681$	פחות שכיחה
$20, 21, 29$	$400 + 441 = 841$	$2 9^{2} = 841$	יוצא דופן - שני ניצבים קרובים
$11, 60, 61$	$121 + 3600 = 3721$	$6 1^{2} = 3721$	פחות שכיחה

שלשה ראשונית (פרימיטיבית) היא שלשה שלא ניתן לחלק את כל אבריה במספר שלם משותף גדול מ- $1$ . כל השלשות בטבלה הן ראשוניות.

שיטת עבודה

השימוש בשלשות אינו ניחוש. קודם ממיינים את האורכים, אחר כך בודקים אם הם שלשה מוכרת או כפולה שלה. אם מצאתם דמיון, מאמתים בריבועים.

ארבעה שלבים לזיהוי שלשה

ממיינים

המספר הגדול הוא המועמד ליתר.
שני הקטנים הם מועמדים לניצבים.
אם המספרים אינם מסודרים, סדרו אותם לפי גודל.

מחפשים דגם בסיסי

האם הצלעות בקנה מידה של אחת השלשות הראשוניות?
האם יש גורם משותף לכל שלוש הצלעות?
אם כן, חלקו בו ובדקו אם השלשה הקטנה מוכרת.

מאמתים

בודקים אם $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .
לא מסתפקים בזיכרון בלבד.
במבחן צריך לכתוב את החישוב.

מנמקים

כותבים את הקשר לריבועים בכתב.
אם זו כפולה, מציינים את הגורם.
ללא נימוק, התשובה לא תזכה במלוא הניקוד.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות מראות איך שלשה מוכרת מקצרת פתרון, אבל עדיין נשארת מבוססת על פיתגורס.

דוגמה $1$ : כפולה פי $3$ של $3, 4, 5$

9, 12, 15

ממיינים: $15$ הגדול. בודקים מה היחס ל- $3, 4, 5$ .
$9 = 3 \cdot 3, 12 = 3 \cdot 4, 15 = 3 \cdot 5$
כל מספר הוא פי $3$ מהשלשה הבסיסית.
$k = 3$
לכן השוויון מתקיים אוטומטית.
$9^{2} + 1 2^{2} = 1 5^{2}$
אימות: $81 + 144 = 225 = 1 5^{2}$ .
$81 + 144 = 225$

תשובה:

m 9, 12, 15 / m היאשלשהפיתגורית, כפולהפי m 3 / m של m 3, 4, 5 / m .

דוגמה $2$ : שלשה שאינה מתאימה

6, 8, 11

ממיינים: $11$ הגדול. אם זו שלשה, $11$ הוא היתר.
$c = 11$
בודקים ריבועים.
$6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$
ריבוע הגדול הוא $121$ .
$1 1^{2} = 121$
אין שוויון.
$100 \neq = 121$

תשובה:

זואינהשלשהפיתגורית.ההפרשביןהסכוםלריבועהוא m 21 / m .

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

$10, 24, 26$

כפולה פי $2$ של $5, 12, 13$ . אכן שלשה.

$16, 30, 34$

כפולה פי $2$ של $8, 15, 17$ . שלשה פיתגורית.

$7, 24, 25$

שלשה ראשונית, $49 + 576 = 625 = 2 5^{2}$ .

$6, 8, 11$

אינה שלשה. $36 + 64 = 100 \neq = 121 = 1 1^{2}$ . קרבה אינה מספיקה.

$12, 35, 37$

שלשה ראשונית: $144 + 1225 = 1369 = 3 7^{2}$ .

$9, 12, 15$

כפולה פי $3$ של $3, 4, 5$ . שלשה.

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

ניחוש לפי קרבה

הטעות: לזהות שלשה כי המספרים קרובים. התיקון: לבדוק יחס כפילה או ריבועים.

$6, 8, 11$ אינה כפולה של $3, 4, 5 - 11/3$ אינו מספר שלם.

לא ממיינים

הטעות: לא לבחור את הגדול כמועמד ליתר. התיקון: תמיד משווים את סכום ריבועי הקטנים לריבוע הגדול.

ב- $10, 24, 26$ , היתר הוא $26$ , לא $24$ .

טעות בכפלת אחד מהאיברים

הטעות: להכפיל רק שניים מתוך שלושה איברים בכפולה. התיקון: כפולה דורשת הכפלה של כל שלושת האיברים באותו גורם.

$9, 12, 15$ כפולה כי $3$ מכפיל את כל האיברים, לא רק שניים מהם.

שלשה כתחליף לחישוב

הטעות: להסתפק בזיהוי בלי לבדוק. התיקון: זיהוי הוא רמז; לבדיקה צריך לאמת בריבועים.

במבחן צריך לכתוב $2 4^{2} + 3 2^{2} = 576 + 1024 = 1600 = 4 0^{2}$ , גם אם זוהתה כפולה של $3, 4, 5$ .

הזיהוי המהיר עוזר, אבל האימות בכתב הוא הוא הנימוק הקובע במבחן.

בדיקת זווית ישרה בבנייה

בנאים מודדים

3

מטרים לאורך קיר אחד,

4

מטרים לאורך הקיר הניצב, ומחברים את הקצוות. אם המרחק בין הקצוות הוא בדיוק

5

מטרים, הזווית בין הקירות היא

9 0^{\circ}

מדויקת.

מסגור באמנות ועיצוב

מסגרים בודקים שתמונה ניצבת על ידי מדידה של אלכסונים. בקנה מידה של

3, 4, 5

- אם הצלעות מתאימות, גם האלכסון מתאים והמסגרת ישרה.

מדידת שטחים מרוחקים

מודדי קרקע משתמשים בשלשות כדי לוודא שמשקעי שדה מלבני מדויקים, בלי להזדקק למכשירי מדידה מסובכים.

ניווט ימי וזיהוי מסלול

מלחים מצליבים מרחקים על מפת ים, ואם הם מזהים שלשה, יודעים שהמסלול האלכסוני יוצר זווית ישרה ביחס לחוף.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.איזו שלשה היא פיתגורית?

$3, 4, 5$
$3, 4, 6$
$4, 5, 6$
$2, 3, 4$

2.איזו שלשה היא כפולה של $5, 12, 13$ ?

$10, 24, 26$
$10, 12, 13$
$15, 24, 26$
$5, 24, 13$

3.מה היתר בשלשה $8, 15, 17$ ?

$17$
$15$
$8$
$23$

4.האם $6, 8, 11$ היא שלשה?

לא
כן
רק אם מסובבים
אי אפשר לבדוק

5.מה היתר בכפולה פי $4$ של $3, 4, 5$ ?

$20$
$12$
$16$
$7$

6.למה צריך למיין את המספרים?

כדי לזהות את המועמד ליתר
כדי למצוא רדיוס
כדי להפוך לשברים
כדי למחוק יחידות

7.איזה שוויון מוכיח ש- $7, 24, 25$ פיתגורית?

$7^{2} + 2 4^{2} = 2 5^{2}$
$7 + 24 = 25$
$2 5^{2} + 7^{2} = 2 4^{2}$
$7 \cdot 24 = 25$

8.מהי טעות נפוצה בשלשות?

להסתמך על קרבה במקום שוויון
להשתמש ביחידות
לחשב ריבועים
למיין מספרים

9.איזו שלשה היא כפולה של $8, 15, 17$ ?

$16, 30, 34$
$16, 15, 17$
$8, 30, 34$
$10, 15, 17$

10.מה עושים אם לא מזהים שלשה?

מחשבים ריבועים
מנחשים
מחברים אורכים
מוחקים את הגדול

11.האם $10, 24, 26$ היא שלשה פיתגורית?

כן, כפולה פי $2$ של $5, 12, 13$
כן, כפולה פי $2$ של $3, 4, 5$
לא, אין שלשה כזו
לא ניתן לקבוע ללא חישוב

12.מה הניצב החסר בשלשה $9, ?, 15$ ?

$12$
$6$
$24$
$144$

13.ניצבים $21$ ו- $28$ . מה היתר?

$35$
$49$
$25$
$40$

14.השלשה $20, 21, 29$ היא:

שלשה ראשונית - אין גורם משותף
כפולה של $3, 4, 5$
לא שלשה
כפולה של $5, 12, 13$