גרסת הדפסה | החוברת

כשאלגברה וגאומטריה נפגשות - נוסחאות שעובדות לכל צורה

אלגברה פוגשת גאומטריה

עד עכשיו חישבנו היקפים ושטחים עם מספרים ספציפיים - "מלבן באורך 5 ורוחב 3". עכשיו נשתמש במשתנים כדי לכתוב נוסחאות כלליות שעובדות לכל מלבן בעולם!

במקום לחשב כל מקרה בנפרד, נוסחה אחת עם משתנים עושה את כל העבודה.

נוסחאות כלליות: היקף ושטח עם משתנים
קשרים בין מידות: כשמימד אחד תלוי באחר
בעיות מילוליות: תרגום מצבים גאומטריים לביטויים

נוסחאות בסיסיות עם משתנים

ריבוע - צלע $a$

היקף

= a + a + a + a = 4 a

שטח

= a \cdot a = a^{2}

אם

a = 5

: היקף

= 20

, שטח

= 25

מלבן - אורך $a$ , רוחב $b$

היקף

= a + b + a + b = 2 a + 2 b = 2 (a + b)

שטח

= a \cdot b

אם

a = 6, b = 4

: היקף

= 20

, שטח

= 24

משולש שווה צלעות - צלע $a$

היקף

= a + a + a = 3 a

אם

a = 7

: היקף

= 21

משולש שווה שוקיים - שוק $a$ , בסיס $b$

היקף

= a + a + b = 2 a + b

אם

a = 5, b = 6

: היקף

= 16

תרשימי הצורות

מלבן - צלעות $a$ ו- $b$

מלבן: היקף

= 2 a + 2 b = 2 (a + b)

, שטח

= a \cdot b

משולש שווה צלעות - צלע $a$

משולש שווה צלעות: כל שלוש הצלעות שוות, לכן ההיקף הוא

3 a

משולש שווה שוקיים - שוק $a$ , בסיס $b$

משולש שווה שוקיים: שתי השוקיים שוות, ההיקף

= 2 a + b

גזירת נוסחת ההיקף של משולש שווה צלעות

הוכיחוכיהיקףמשולששווהצלעותבעלצלע m a / m הוא m 3 a / m .

במשולש שווה צלעות, כל שלוש הצלעות שוות באורכן. נסמן את אורך הצלע ב- $a$ .
$∣ A B ∣ = ∣ B C ∣ = ∣ C A ∣ = a$
היקף = סכום כל הצלעות. לכן מחברים את שלוש הצלעות יחד.
$P = ∣ A B ∣ + ∣ B C ∣ + ∣ C A ∣ = a + a + a$
שלושה חיבורים של אותו איבר = $3$ כפול האיבר. זהו כינוס איברים דומים שלמדנו במודול קודם.
$P = 3 a$

תשובה:

P = 3 a

תרגיל

תרגיל - היקף מלבן

מצאו את נוסחת ההיקף של מלבן שאורך צלעו הארוכה $a$ ואורך צלעו הקצרה $b$ .

כשמימד אחד תלוי באחר

לעיתים מימד אחד מתואר ביחס למימד אחר. למשל: "האורך פי 2 מהרוחב" או "הבסיס גדול ב-3 מהשוק". במקרים כאלה, נסמן משתנה אחד ונבטא את השאר דרכו.

דוגמאות פתורות

מלבן - אורך פי $3$ מהרוחב

נסמן: $x$ = רוחב
אורך = $3 x$
היקף $= 2 (3 x) + 2 (x)$
$= 6 x + 2 x = 8 x$
שטח $= 3 x \cdot x = 3 x^{2}$

מלבן - אורך גדול ב- $4$ מהרוחב

נסמן: $x$ = רוחב
אורך = $x + 4$
היקף $= 2 (x + 4) + 2 x$
$= 2 x + 8 + 2 x = 4 x + 8$
שטח $= x (x + 4) = x^{2} + 4 x$

משולש שווה שוקיים

הבסיס גדול ב- $2$ מהשוק.
נסמן: $a$ = שוק
בסיס = $a + 2$
היקף $= 2 a + (a + 2)$
$= 3 a + 2$

חצי ריבוע (משולש)

ריבוע שצלעו $a$ חולק באלכסון.
שטח הריבוע $= a^{2}$
שטח כל משולש $= \frac{a ^{2}}{2}$

תרגול מודרך

תמונה הממחישה את ההכללה בגאומטריה בעזרת גינה מלבנית שמידותיה מסומנות במשתנים — כשמידה אחת תלויה באחרת, אפשר לסמן משתנה אחד ולכתוב בעזרתו ביטוי להיקף או לשטח.

צורות מורכבות

שאלות לחשיבה

אורך מלבן הוא פי $3$ מרוחבו. אם הרוחב הוא $x$ , מהו ההיקף? ומה אם ההיקף שווה $40$ ?

היקף ריבוע שווה להיקף משולש שווה צלעות. אם צלע הריבוע היא $6$ , מהי צלע המשולש?

שטח ריבוע הוא $a^{2}$ ושטח מלבן הוא $a \cdot 2 a = 2 a^{2}$ . מה היחס בין שטח המלבן לשטח הריבוע?

סיכום הנוסחאות

נוסחאות גאומטריות עם משתנים

צורה	היקף	שטח
ריבוע (צלע $a)$	$4 a$	$a^{2}$
מלבן ( $a \times b)$	$2 (a + b)$	$ab$
משולש שווה צלעות ( $a)$	$3 a$	-
משולש שווה שוקיים (שוק $a$ , בסיס $b)$	$2 a + b$	-
מלבן (אורך $3 x$ , רוחב $x)$	$8 x$	$3 x^{2}$

נוסחה אחת עובדת לכל הגדלים - זהו הכוח של ההכללה!

בונה הצורות האלגברי

שנו את המידות של הצורה עם הסליידרים. שימו לב: הנוסחה האלגברית לא משתנה, אבל הערך הנומרי משתנה לפי המידות שבחרתם.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהו היקף משולש שווה צלעות עם צלע a?

3a
$a^{2}$
$a + 3$
$3 a^{2}$

2.מהו שטח ריבוע עם צלע a?

4a
$a^{2}$
2a
$a + a$

3.אורך מלבן הוא פי 2 מרוחבו x. מהו ההיקף?

6x
4x
$2 x + 4$
3x

4.מהו היקף משולש שווה שוקיים עם שוק a ובסיס 10?

$2 a + 10$
$a + 10$
3a
$2 a + 20$

5.שטח מלבן הוא $a * b$ . אם $a = 5$ ו- $b = 3$ , מהו השטח?

אלגברה פוגשת גאומטריה

נוסחאות בסיסיות עם משתנים

ריבוע - צלע a

מלבן - אורך a, רוחב b

משולש שווה צלעות - צלע a

משולש שווה שוקיים - שוק a, בסיס b

תרשימי הצורות

מלבן - צלעות a ו-b

משולש שווה צלעות - צלע a

משולש שווה שוקיים - שוק a, בסיס b

גזירת נוסחת ההיקף של משולש שווה צלעות

תרגיל - היקף מלבן

כשמימד אחד תלוי באחר

דוגמאות פתורות

מלבן - אורך פי 3 מהרוחב

מלבן - אורך גדול ב-4 מהרוחב

משולש שווה שוקיים

חצי ריבוע (משולש)

תרגול מודרך

צורות מורכבות

שאלות לחשיבה

סיכום הנוסחאות

נוסחאות גאומטריות עם משתנים

בונה הצורות האלגברי

ריבוע - צלע $a$

מלבן - אורך $a$ , רוחב $b$

משולש שווה צלעות - צלע $a$

משולש שווה שוקיים - שוק $a$ , בסיס $b$

מלבן - צלעות $a$ ו- $b$

משולש שווה צלעות - צלע $a$

משולש שווה שוקיים - שוק $a$ , בסיס $b$

מלבן - אורך פי $3$ מהרוחב

מלבן - אורך גדול ב- $4$ מהרוחב