הכללה בגאומטריה

Q: אורך מלבן הוא פי 3 מרוחבו. אם הרוחב הוא x, מהו ההיקף? ומה אם ההיקף שווה 40?

אורך = 3x, רוחב = x. היקף = 2(3x) + 2(x) = 6x + 2x = 8x. אם ההיקף = 40: 8x = 40, כלומר x = 5. הרוחב 5, האורך 15.

Q: היקף ריבוע שווה להיקף משולש שווה צלעות. אם צלע הריבוע היא 6, מהי צלע המשולש?

היקף ריבוע: 4 \cdot 6 = 24. היקף משולש: 3a = 24. a = 8. צלע המשולש: 8.

Q: שטח ריבוע הוא a^2 ושטח מלבן הוא a \cdot 2a = 2a^2. מה היחס בין שטח המלבן לשטח הריבוע?

\frac}} = \frac = 2. שטח המלבן תמיד כפול משטח הריבוע, לא משנה מהו a!

כשאלגברה וגאומטריה נפגשות - נוסחאות שעובדות לכל צורה

אלגברה פוגשת גאומטריה

עד עכשיו חישבנו היקפים ושטחים עם מספרים ספציפיים - "מלבן באורך 5 ורוחב 3". עכשיו נשתמש במשתנים כדי לכתוב נוסחאות כלליות שעובדות לכל מלבן בעולם!

במקום לחשב כל מקרה בנפרד, נוסחה אחת עם משתנים עושה את כל העבודה.

נוסחאות כלליות

היקף ושטח עם משתנים

קשרים בין מידות

כשמימד אחד תלוי באחר

בעיות מילוליות

תרגום מצבים גאומטריים לביטויים

נוסחאות בסיסיות עם משתנים

ריבוע - צלע $a$

היקף $= a + a + a + a = 4 a$
שטח $= a \cdot a = a^{2}$

אם $a = 5$ : היקף $= 20$ , שטח $= 25$

מלבן - אורך $a$ , רוחב $b$

היקף $= a + b + a + b = 2 a + 2 b = 2 (a + b)$
שטח $= a \cdot b$

אם $a = 6, b = 4$ : היקף $= 20$ , שטח $= 24$

משולש שווה צלעות - צלע $a$

היקף $= a + a + a = 3 a$

אם $a = 7$ : היקף $= 21$

משולש שווה שוקיים - שוק $a$ , בסיס $b$

היקף $= a + a + b = 2 a + b$

אם $a = 5, b = 6$ : היקף $= 16$

תרשימי הצורות

מלבן - צלעות $a$ ו- $b$

מלבן: היקף $= 2 a + 2 b = 2 (a + b)$ , שטח $= a \cdot b$

משולש שווה צלעות - צלע $a$

משולש שווה צלעות: כל שלוש הצלעות שוות, לכן ההיקף הוא $3 a$

משולש שווה שוקיים - שוק $a$ , בסיס $b$

משולש שווה שוקיים: שתי השוקיים שוות, ההיקף $= 2 a + b$

גזירת נוסחת ההיקף של משולש שווה צלעות

הוכיחו כי היקף משולש שווה צלעות בעל צלע

a

הוא

3 a

תרגיל - היקף מלבן

בינוני

מצאו את נוסחת ההיקף של מלבן שאורך צלעו הארוכה $a$ ואורך צלעו הקצרה $b$ .

כשמימד אחד תלוי באחר

לעיתים מימד אחד מתואר ביחס למימד אחר. למשל: "האורך פי 2 מהרוחב" או "הבסיס גדול ב-3 מהשוק". במקרים כאלה, נסמן משתנה אחד ונבטא את השאר דרכו.

דוגמאות פתורות

מלבן - אורך פי $3$ מהרוחב

נסמן: $x$ = רוחב
אורך = $3 x$
היקף $= 2 (3 x) + 2 (x)$
$= 6 x + 2 x = 8 x$
שטח $= 3 x \cdot x = 3 x^{2}$

מלבן - אורך גדול ב- $4$ מהרוחב

נסמן: $x$ = רוחב
אורך = $x + 4$
היקף $= 2 (x + 4) + 2 x$
$= 2 x + 8 + 2 x = 4 x + 8$
שטח $= x (x + 4) = x^{2} + 4 x$

משולש שווה שוקיים

הבסיס גדול ב- $2$ מהשוק.
נסמן: $a$ = שוק
בסיס = $a + 2$
היקף $= 2 a + (a + 2)$
$= 3 a + 2$

חצי ריבוע (משולש)

ריבוע שצלעו $a$ חולק באלכסון.
שטח הריבוע $= a^{2}$
שטח כל משולש $= \frac{a ^{2}}{2}$

תרגול מודרך

בעיה: גינה מלבנית עם שביל

גינה מלבנית ברוחב $x$ מטר ואורך פי $2$ מהרוחב. מסביב לגינה נבנה שביל ברוחב $1$ מטר.

ממדי הגינה: רוחב $= x$ , אורך $= 2 x$
שטח הגינה $= x \cdot 2 x = 2 x^{2}$
היקף הגינה (= אורך השביל) $= 2 (2 x) + 2 (x) = 6 x$
אם $x = 5$ מטר: שטח $= 50$ מ"ר, היקף $= 30$ מטר

צורות מורכבות

צורת L

צורה בצורת L מורכבת משני מלבנים:
מלבן 1: אורך $a$ , רוחב $b$
מלבן 2: אורך $c$ , רוחב $b$

שטח כולל $= ab + c b = b (a + c)$

שימו לב: השתמשנו בכינוס איברים דומים ובהוצאת גורם משותף!

שאלות לחשיבה

שאלה לחשיבה

אורך מלבן הוא פי $3$ מרוחבו. אם הרוחב הוא $x$ , מהו ההיקף? ומה אם ההיקף שווה $40$ ?

אורך $= 3 x$ , רוחב $= x$ .
היקף $= 2 (3 x) + 2 (x) = 6 x + 2 x = 8 x$ .
אם ההיקף $= 40$ : $8 x = 40$ , כלומר $x = 5$ .
הרוחב $5$ , האורך $15$ .

כאן חיברנו בין הנוסחה האלגברית לפתרון משוואה!

שאלה לחשיבה

היקף ריבוע שווה להיקף משולש שווה צלעות. אם צלע הריבוע היא $6$ , מהי צלע המשולש?

היקף ריבוע: $4 \cdot 6 = 24$ .
היקף משולש: $3 a = 24$ .
$a = 8$ .
צלע המשולש: $8$ .

השתמשנו בנוסחאות ההיקף של שתי הצורות

שאלה לחשיבה

שטח ריבוע הוא $a^{2}$ ושטח מלבן הוא $a \cdot 2 a = 2 a^{2}$ . מה היחס בין שטח המלבן לשטח הריבוע?

$\frac{שטח מלבן}{שטח ריבוע} = \frac{2 a ^{2}}{a ^{2}} = 2$ .
שטח המלבן תמיד כפול משטח הריבוע, לא משנה מהו $a$ !

זו דוגמה יפה להכללה - התוצאה נכונה לכל ערך של $a$

סיכום הנוסחאות

נוסחאות גאומטריות עם משתנים

צורה	היקף	שטח
ריבוע (צלע $a)$	$4 a$	$a^{2}$
מלבן ( $a \times b)$	$2 (a + b)$	$ab$
משולש שווה צלעות ( $a)$	$3 a$	-
משולש שווה שוקיים (שוק $a$ , בסיס $b)$	$2 a + b$	-
מלבן (אורך $3 x$ , רוחב $x)$	$8 x$	$3 x^{2}$

* נוסחה אחת עובדת לכל הגדלים - זהו הכוח של ההכללה!

בונה הצורות האלגברי

שנו את המידות של הצורה עם הסליידרים. שימו לב: הנוסחה האלגברית לא משתנה, אבל הערך הנומרי משתנה לפי המידות שבחרתם.

טוען סימולציה...

השילוב בין אלגברה לגאומטריה הוא אחד ההישגים הגדולים ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה. רנה דקארט, מתמטיקאי וגם פילוסוף צרפתי מהמאה ה-17, היה הראשון שחיבר בין שני התחומים.

הוא המציא את מערכת הצירים (שנקראת "צירי דקארט"), שמאפשרת לתאר צורות גאומטריות באמצעות משוואות. בזכות דקארט, אפשר היום לצייר עיגולים, ישרים ופרבולות באמצעות נוסחאות!

שאלה 1 מתוך 5

אורך מלבן הוא פי 2 מרוחבו x. מהו ההיקף?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של הכללה בגאומטריה כבר מוכן.

פתחו תרגול

הכללה בגאומטריה

אלגברה פוגשת גאומטריה

נוסחאות בסיסיות עם משתנים

ריבוע - צלע a

מלבן - אורך a, רוחב b

משולש שווה צלעות - צלע a

משולש שווה שוקיים - שוק a, בסיס b

תרשימי הצורות

גזירת נוסחת ההיקף של משולש שווה צלעות

תרגיל - היקף מלבן

כשמימד אחד תלוי באחר

דוגמאות פתורות

מלבן - אורך פי 3 מהרוחב

מלבן - אורך גדול ב-4 מהרוחב

משולש שווה שוקיים

חצי ריבוע (משולש)

תרגול מודרך

בעיה: גינה מלבנית עם שביל

צורות מורכבות

צורת L

שאלות לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

סיכום הנוסחאות

נוסחאות גאומטריות עם משתנים

בונה הצורות האלגברי

העשרה - רנה דקארט והגאומטריה האנליטית

אורך מלבן הוא פי 2 מרוחבו x. מהו ההיקף?