גרסת הדפסה | החוברת

גילוי הדפוס הנסתר - כשמספרים מספרים סיפור

מהי חוקיות?

כשאתם מסתכלים על השורה $2, 4, 6, 8, 10, \dots$ אתם מיד מזהים את הדפוס, נכון? המוח שלנו אוהב למצוא חוקיות. באלגברה, אנחנו לוקחים את הכישרון הטבעי הזה ונותנים לו כלים מדויקים.

במקום להגיד "כל פעם מוסיפים $2$ ", נכתוב נוסחה שמאפשרת לנו לחשב כל איבר בסדרה - גם האיבר ה- $1000$ !

מהי סדרה?: קבוצת מספרים המסודרים לפי חוק
הפרש קבוע: סדרה חשבונית ואיך לזהות אותה
האיבר הכללי: נוסחה שעובדת לכל מקום בסדרה

מהי סדרה מספרית?

סדרה מספרית היא רשימת מספרים שמסודרים לפי חוק מסוים. לכל מספר בסדרה יש מקום - האיבר הראשון, השני, השלישי וכך הלאה. אנחנו משתמשים באות

n

כדי לסמן את המקום.

נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית

a (n) = a (1) + (n - 1) \cdot d

סדרה חשבונית - הפרש קבוע

הסוג הבסיסי ביותר של סדרה נקרא סדרה חשבונית. בסדרה כזו, ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע - תמיד אותו מספר.

דוגמאות לסדרות חשבוניות

הפרש חיובי

סדרה: $3, 7, 11, 15, 19, \dots$
הפרש: $+ 4$
כל איבר גדול ב- $4$ מהקודם.

הפרש קטן

סדרה: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$
הפרש: $+ 2$
אלה המספרים האי-זוגיים!

הפרש שלילי

סדרה: $20, 17, 14, 11, 8, \dots$
הפרש: $- 3$
סדרה יורדת - כל איבר קטן ב- $3$ .

הפרש של 1

סדרה: $5, 6, 7, 8, 9, \dots$
הפרש: $+ 1$
פשוט ספירה מ- $5$ !

איך מוצאים את הנוסחה?

מציאת האיבר הכללי

המטרה שלנו היא למצוא נוסחה שמחברת בין המקום $n$ לערך האיבר.

a (n) = האיבר הראשון + (n - 1) \cdot ההפרש

בדיקה: $a (1) = 3 \cdot 1 - 1 = 2$ , $a (5) = 3 \cdot 5 - 1 = 14$ . עובד מושלם!

פתרון מודרך - מציאת האיבר הכללי

נתונההסדרה m 7, 12, 17, 22, 27, \dots / m .מצאואת m a (n) / m .

מחשבים את ההפרש הקבוע
$d = 12 - 7 = 5$
הנוסחה מהצורה $a (n) = 5 n + c$
$a (n) = 5 n + c$
מציבים $n = 1$ כדי למצוא את $c$
$7 = 5 \cdot 1 + c ⟹ c = 2$
הנוסחה הסופית
$a (n) = 5 n + 2$

תשובה:

a (n) = 5 n + 2

תרגול מודרך

חוקיות בתבניות חזותיות

חוקיות מופיעה לא רק בסדרות מספרים, אלא גם בתבניות חזותיות - דפוסים של צורות, אריחים וגפרורים. האתגר: למצוא את הנוסחה שמתארת את הגודל של התבנית ה-n.

תמונה הממחישה את תבנית הגפרורים של ריבועים ואת הנוסחה הכללית של מספר הגפרורים — בתבנית גפרורים, מזהים מה נוסף בכל שלב ואז כותבים נוסחה כללית שמתאימה לכל מקום $n$ .

שאלות לחשיבה

בסדרה $2, 5, 8, 11, \dots$ מהו ערך האיבר במקום ה- $50$ ?

האם המספר $100$ יכול להיות איבר בסדרה $2, 5, 8, 11, \dots$ ?

מסביב לשולחן יכולים לשבת $4$ אנשים. כשמחברים שני שולחנות בשורה, יכולים לשבת $6$ אנשים (לא יושבים בצד המחובר). כמה אנשים ישבו ליד שורה של $10$ שולחנות?

תרגיל

תרגיל - חיזוי איבר רחוק בסדרה

בסדרה $6, 11, 16, 21, \dots$ מצאו את ערך האיבר ה- $20$ .

טעויות נפוצות

סיכום

סדרה חשבונית

הפרש קבוע בין כל שני איברים עוקבים.

נוסחת האיבר הכללי

a (n) = d n + c

d

= הפרש,

c

= קבוע.

בדיקה

תמיד הציבו

n = 1, 2

ובדקו שהנוסחה נכונה!

בונה התבניות - אינטראקטיבי

הזיזו את השלב, ספרו מה נוסף בכל מעבר, ואז נסו לנסח כלל קצר מהצורה

a (n) = d n + c

. קודם מזהים את

d

, אחר כך בודקים איזה

c

מחזיר אותנו לאיבר הראשון.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.בסדרה 3, 6, 9, 12, 15... מה הנוסחה לאיבר ה- $n$ ?

$n + 2$
3n
$3 + n$
$n * 3 + 1$

2.בסדרה $10, 7, 4, 1, - 2$ ... מהו ההפרש?

$+ 3$
$- 3$
$+ 7$
$- 7$

3.בסדרה 1, 4, 9, 16, 25... מהי הנוסחה?

$a (n) = n + 3$
$a (n) = 4 n$
$a (n) = n^{2}$
$a (n) = 2 n - 1$

4.בסדרה 2, 5, 8, 11... מהו האיבר ה- $20$ ?

5.בסדרה 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... מה החוק?

כל איבר הוא סכום שני הקודמים
כל איבר גדול ב- $1$ מהקודם
כל איבר כפול 2
הפרש קבוע של 2