חוקיות וסדרות - חלק א׳

גילוי הדפוס הנסתר - כשמספרים מספרים סיפור

מהי חוקיות?

כשאתם מסתכלים על השורה

2, 4, 6, 8, 10, \dots

אתם מיד מזהים את הדפוס, נכון? המוח שלנו אוהב למצוא חוקיות. באלגברה, אנחנו לוקחים את הכישרון הטבעי הזה ונותנים לו כלים מדויקים.

במקום להגיד "כל פעם מוסיפים

2

", נכתוב נוסחה שמאפשרת לנו לחשב כל איבר בסדרה - גם האיבר ה-

1000

מהי סדרה?

קבוצת מספרים המסודרים לפי חוק

הפרש קבוע

סדרה חשבונית ואיך לזהות אותה

האיבר הכללי

נוסחה שעובדת לכל מקום בסדרה

מהי סדרה מספרית?

סדרה מספרית היא רשימת מספרים שמסודרים לפי חוק מסוים. לכל מספר בסדרה יש מקום - האיבר הראשון, השני, השלישי וכך הלאה. אנחנו משתמשים באות $n$ כדי לסמן את המקום.

מושגי יסוד:
איבר - כל מספר בסדרה
מקום (מיקום) - המיקום של האיבר בסדרה ( $n = 1, 2, 3, \dots)$
איבר כללי - נוסחה שמביאה אותנו לכל איבר לפי מקומו: $a (n)$

נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית

a (n) = a (1) + (n - 1) \cdot d

(1)

סדרה חשבונית - הפרש קבוע

הסוג הבסיסי ביותר של סדרה נקרא סדרה חשבונית. בסדרה כזו, ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע - תמיד אותו מספר.

דוגמאות לסדרות חשבוניות

הפרש חיובי

סדרה: $3, 7, 11, 15, 19, \dots$
הפרש: $+ 4$
כל איבר גדול ב- $4$ מהקודם.

הפרש קטן

סדרה: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$
הפרש: $+ 2$
אלה המספרים האי-זוגיים!

הפרש שלילי

סדרה: $20, 17, 14, 11, 8, \dots$
הפרש: $- 3$
סדרה יורדת - כל איבר קטן ב- $3$ .

הפרש של 1

סדרה: $5, 6, 7, 8, 9, \dots$
הפרש: $+ 1$
פשוט ספירה מ- $5$ !

איך מוצאים את הנוסחה?

מציאת האיבר הכללי

המטרה שלנו היא למצוא נוסחה שמחברת בין המקום $n$ לערך האיבר.

ניקח את הסדרה $2, 5, 8, 11, 14, \dots$

שלב 1 - מצאו את ההפרש: $5 - 2 = 3$ , $8 - 5 = 3$ , $11 - 8 = 3$ . ההפרש הקבוע הוא $d = 3$ .

שלב 2 - בנו טבלה:
$n = 1$ : ערך $2$
$n = 2$ : ערך $5 = 2 + 3$
$n = 3$ : ערך $8 = 2 + 3 + 3 = 2 + 2 \cdot 3$
$n = 4$ : ערך $11 = 2 + 3 \cdot 3$

שלב 3 - זהו את הדפוס:
במקום ה- $n$ מוסיפים את ההפרש $(n - 1)$ פעמים.
$a (n) = 2 + (n - 1) \cdot 3 = 2 + 3 n - 3 = 3 n - 1$

$a (n) = האיבר הראשון + (n - 1) \cdot ההפרש$

בדיקה: $a (1) = 3 \cdot 1 - 1 = 2$ , $a (5) = 3 \cdot 5 - 1 = 14$ . עובד מושלם!

פתרון מודרך - מציאת האיבר הכללי

נתונה הסדרה

7, 12, 17, 22, 27, \dots

. מצאו את

a (n)

שיטת הקיצור

יש דרך מהירה: אם ההפרש הוא $d$ , הנוסחה היא מהצורה $a (n) = d n + c$ .
פשוט הציבו $n = 1$ ובדקו מה צריך להוסיף (או לחסר) כדי לקבל את האיבר הראשון.

מצאו את ההפרש $d$
כתבו $a (n) = d n + c$
הציבו $n = 1$ ומצאו את הקבוע

תרגול מודרך

מצאו את הנוסחה

סדרה: $4, 9, 14, 19, 24, \dots$

ההפרש הקבוע: $9 - 4 = 5 (d = 5)$
הנוסחה מהצורה: $a (n) = 5 n + c$
הצבת $n = 1$ : $a (1) = 5 (1) + c = 4$ , כלומר $c = - 1$
הנוסחה: $a (n) = 5 n - 1$
בדיקה: $a (2) = 10 - 1 = 9$ , $a (3) = 15 - 1 = 14$ . מושלם!

חוקיות בתבניות חזותיות

חוקיות מופיעה לא רק בסדרות מספרים, אלא גם בתבניות חזותיות - דפוסים של צורות, אריחים וגפרורים. האתגר: למצוא את הנוסחה שמתארת את הגודל של התבנית ה-n.

דוגמה: שורת ריבועים מגפרורים

בונים שורה של ריבועים מגפרורים:
ריבוע $1$ : $4$ גפרורים
שני ריבועים בשורה: $7$ גפרורים
שלושה ריבועים: $10$ גפרורים

למה לא $8$ ? כי כשמוסיפים ריבוע, הצלע המשותפת כבר קיימת! לכן כל ריבוע נוסף דורש רק $3$ גפרורים חדשים.

הסדרה: $4, 7, 10, 13, \dots$
הפרש: $3$
נוסחה: $G (n) = 3 n + 1$
שאלה: כמה גפרורים צריך ל- $100$ ריבועים? $G (100) = 301$ !

דוגמה: מספר האריחים בריצוף

ריצוף בצורת L:
שלב $1$ : $3$ אריחים (צורת L קטנה)
שלב $2$ : $5$ אריחים
שלב $3$ : $7$ אריחים
שלב $4$ : $9$ אריחים

הסדרה: $3, 5, 7, 9, \dots$
הפרש: $2$
נוסחה: $a (n) = 2 n + 1$
לבדיקה: $a (1) = 3$ , $a (4) = 9$ . כמה אריחים בשלב ה- $50$ ? $a (50) = 101$ !

שאלות לחשיבה

שאלה לחשיבה

בסדרה $2, 5, 8, 11, \dots$ מהו ערך האיבר במקום ה- $50$ ?

הנוסחה: $a (n) = 3 n - 1$ .
לכן $a (50) = 3 \cdot 50 - 1 = 150 - 1 = 149$ .

לא צריך לכתוב את כל $50$ האיברים - הנוסחה עושה את העבודה!

שאלה לחשיבה

האם המספר $100$ יכול להיות איבר בסדרה $2, 5, 8, 11, \dots$ ?

צריך לבדוק: $3 n - 1 = 100$ , כלומר $3 n = 101$ , כלומר $n = 33.67$ .
מכיוון ש- $n$ חייב להיות מספר שלם, המספר $100$ אינו איבר בסדרה.

שיטה: הציבו את המספר בנוסחה ובדקו אם $n$ יוצא שלם

שאלה לחשיבה

מסביב לשולחן יכולים לשבת $4$ אנשים. כשמחברים שני שולחנות בשורה, יכולים לשבת $6$ אנשים (לא יושבים בצד המחובר). כמה אנשים ישבו ליד שורה של $10$ שולחנות?

הסדרה: $4, 6, 8, 10, \dots$
הפרש: $2$ . נוסחה: $a (n) = 2 n + 2$ .
בדיקה: $a (1) = 4$ , $a (2) = 6$ .
שורה של $10$ שולחנות: $a (10) = 2 \cdot 10 + 2 = 22$ אנשים.

זוהי בעיה מחיי היומיום - תכנון ישיבה לאירוע!

תרגיל - חיזוי איבר רחוק בסדרה

בינוני

בסדרה $6, 11, 16, 21, \dots$ מצאו את ערך האיבר ה- $20$ .

טעויות נפוצות

הימנעו מטעויות!

הטעות הנפוצה ביותר: לבלבל בין ההפרש לבין האיבר הראשון.

תמיד בדקו את הנוסחה בהצבת $n = 1$ ו- $n = 2$
אם הנוסחה לא נותנת את הערכים הנכונים - חזרו לשלב הראשון
הפרש שלילי = סדרה יורדת. אל תשכחו את המינוס!

סיכום

סדרה חשבונית

הפרש קבוע בין כל שני איברים עוקבים.

נוסחת האיבר הכללי

$a (n) = d n + c$
$d$ = הפרש, $c$ = קבוע.

בדיקה

תמיד הציבו $n = 1, 2$ ובדקו שהנוסחה נכונה!

בונה התבניות - אינטראקטיבי

הזיזו את השלב, ספרו מה נוסף בכל מעבר, ואז נסו לנסח כלל קצר מהצורה $a (n) = d n + c$ . קודם מזהים את $d$ , אחר כך בודקים איזה $c$ מחזיר אותנו לאיבר הראשון.

טוען סימולציה...

לא כל הסדרות הן חשבוניות! הנה סדרה מיוחדת: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \dots$

החוק: כל איבר הוא סכום שני האיברים הקודמים. סדרה זו נקראת על שם המתמטיקאי האיטלקי פיבונאצ'י (1170-1250).

הדבר המדהים הוא שסדרה זו מופיעה בטבע: במספר העלים על ענף, בסידור הזרעים בחמנייה, בצדפות ימיות ואפילו בספירלות של גלקסיות!

שאלה 1 מתוך 5

בסדרה 2, 5, 8, 11... מהו האיבר ה- $20$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של חוקיות וסדרות - חלק א׳ כבר מוכן.

פתחו תרגול

חוקיות וסדרות - חלק א׳

מהי חוקיות?

מהי סדרה מספרית?

סדרה חשבונית - הפרש קבוע

דוגמאות לסדרות חשבוניות

הפרש חיובי

הפרש קטן

הפרש שלילי

הפרש של 1

איך מוצאים את הנוסחה?

מציאת האיבר הכללי

פתרון מודרך - מציאת האיבר הכללי

שיטת הקיצור

תרגול מודרך

מצאו את הנוסחה

חוקיות בתבניות חזותיות

דוגמה: שורת ריבועים מגפרורים

דוגמה: מספר האריחים בריצוף

שאלות לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

תרגיל - חיזוי איבר רחוק בסדרה

טעויות נפוצות

הימנעו מטעויות!

סיכום

סדרה חשבונית

נוסחת האיבר הכללי

בדיקה

בונה התבניות - אינטראקטיבי

העשרה - סדרת פיבונאצ'י

בסדרה 2, 5, 8, 11... מהו האיבר ה-20?