גרסת הדפסה | החוברת

כשההפרש כבר לא קבוע - מגלים סדרות מורכבות יותר

מעבר לסדרות פשוטות

בחלק א׳ למדנו סדרות שבהן ההפרש קבוע. אבל מה קורה כשההפרש עצמו משתנה? בחלק הזה נגלה שגם סדרות כאלה מסתירות חוקיות - פשוט צריך לחפש אותה בשכבה עמוקה יותר.

הפרשים שניים: כשההפרש עצמו משתנה בצורה קבועה
סדרות ריבועיות: נוסחאות עם n^2
תבניות מהחיים: הכללה של מצבים אמיתיים

מה קורה כשההפרש לא קבוע?

ניקח את הסדרה:

1, 4, 9, 16, 25, \dots

ההפרשים:

3, 5, 7, 9

- הם לא קבועים! אז זו לא סדרה חשבונית. מה עושים?

שיטת ההפרשים השניים

כשההפרשים הראשונים אינם קבועים, נבדוק את ההפרשים של ההפרשים!

הפרשים שניים קבועים ⟹ a (n) = a n^{2} + bn + c

אם ההפרשים הראשונים לא קבועים - חפשו קביעות בהפרשים השניים!

פתרון מודרך - שיטת ההפרשים השניים

נתונההסדרה m 3, 6, 11, 18, 27, \dots / m .מצאואת m a (n) / m .

מחשבים הפרשים ראשונים
$6 - 3 = 3, 11 - 6 = 5, 18 - 11 = 7, 27 - 18 = 9$
מחשבים הפרשים שניים
$5 - 3 = 2, 7 - 5 = 2, 9 - 7 = 2$
הפרשים שניים קבועים $= 2$ - הנוסחה כוללת $n^{2}$
$a (n) = n^{2} + ?$
משווים ל- $n^{2} = 1, 4, 9, 16, 25$ - הסדרה שלנו גדולה ב- $2$
$a (n) = n^{2} + 2$

תשובה:

a (n) = n^{2} + 2

איך בונים נוסחה ריבועית?

דוגמאות מגוונות

סדרות ריבועיות - פתורות

סדרה: $0, 3, 8, 15, 24$

הפרשים: $3, 5, 7, 9$
הפרשים שניים: $2, 2, 2$
ננסה $n^{2}$ : $1, 4, 9, 16, 25$
ההפרש: הסדרה שלנו = $n^{2} - 1$
נוסחה: $a (n) = n^{2} - 1$

סדרה: $3, 6, 11, 18, 27$

הפרשים: $3, 5, 7, 9$
הפרשים שניים: $2, 2, 2$
ננסה $n^{2}$ : $1, 4, 9, 16, 25$
ההפרש: הסדרה = $n^{2} + 2$
נוסחה: $a (n) = n^{2} + 2$

סדרה: $2, 8, 18, 32, 50$

הפרשים: $6, 10, 14, 18$
הפרשים שניים: $4, 4, 4$
ננסה $2 n^{2}$ : $2, 8, 18, 32, 50$
מושלם!
נוסחה: $a (n) = 2 n^{2}$

סדרת מעוקבים

סדרה: $1, 8, 27, 64, 125$
כל איבר הוא $n$ בחזקת $3$ !
נוסחה: $a (n) = n^{3}$
בדיקה: $2^{3} = 8$ , $5^{3} = 125$

הכללה של תבניות חזותיות מורכבות

תבניות חזותיות הן דרך מעולה לגלות חוקיות. הרעיון: ציירו את השלבים הראשונים, ספרו, וחפשו את הנוסחה.

שאלות לחשיבה

בסדרה $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ מהי הנוסחה? מה הערך של האיבר ה- $10$ ?

בסדרה $4, 7, 12, 19, 28, \dots$ מהי הנוסחה?

תרגיל

תרגיל - הכללה לתבנית ריבועית

בתבנית של ריבועים מתרחבים יש בשלב הראשון $1$ אריח, בשלב השני $5$ אריחים, בשלב השלישי $13$ , ובשלב הרביעי $25$ . מצאו את נוסחת האיבר הכללי.

סיכום השיטות

איך לזהות את סוג הסדרה?

סוג הסדרה	מאפיין	צורת הנוסחה	דוגמה
חשבונית	הפרש ראשון קבוע	$a (n) = d n + c$	$3, 7, 11, 15, \dots$
ריבועית	הפרש שני קבוע	$a (n) = a n^{2} + bn + c$	$1, 4, 9, 16, \dots$
חזקתית	כל איבר הוא חזקה של $n$	$a (n) = n^{k}$	$1, 8, 27, 64, \dots$
פיבונאצ'י	סכום שני הקודמים	$a (n) = a (n - 1) + a (n - 2)$	$1, 1, 2, 3, 5, \dots$

ברוב המקרים בכיתה ז׳ נעבוד עם סדרות חשבוניות וריבועיות פשוטות.

סיכום

סדרה ריבועית

הפרשים שניים קבועים.
הנוסחה כוללת

n^{2}

שיטת העבודה

1. חשבו הפרשים
2. אם לא קבועים - הפרשים שניים
3. נחשו נוסחה
4. בדקו!

חוקר הסדרות - הפרשים

הזינו סדרה ובדקו אם ההפרשים הראשונים קבועים (סדרה ליניארית) או שההפרשים השניים קבועים (סדרה ריבועית).

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.בסדרה 2, 5, 10, 17, 26... מהי הנוסחה?

$n^{2} + 1$
$2 n + 1$
$n^{2} + n + 1$
$2 n^{2} - 2 n + 1$

2.בסדרה 1, 8, 27, 64, 125... מה היא?

סדרה חשבונית
סדרה של מעוקבים
סדרה ריבועית
סדרה הנדסית

3.האם הסדרה 0, 3, 8, 15, 24... היא סדרה חשבונית?

כן, עם הפרש 3
לא, ההפרשים משתנים
כן, עם הפרש 5
אי אפשר לדעת

4.n שולחנות בשורה מושיבים $2 n + 2$ אנשים. כמה אנשים יישבו ליד 10 שולחנות?

5.מהו האיבר ה- $6$ בסדרה שנוסחתה $a (n) = n^{2} - n + 1$ ?