חוקיות וסדרות - חלק ב׳

מה קורה כשההפרש לא קבוע?

ניקח את הסדרה: $1,4,9,16,25,\dots$
ההפרשים: $3,5,7,9$ - הם לא קבועים! אז זו לא סדרה חשבונית. מה עושים?

פתרון מודרך - שיטת ההפרשים השניים

נתונה הסדרה $3,6,11,18,27,\dots$. מצאו את $a(n)$.

פתרו יחד

איך בונים נוסחה ריבועית?

שיטה: ניחוש מושכל ובדיקה

סדרה: $2,5,10,17,26,\dots$

1. הפרשים ראשונים: $3,5,7,9$ (לא קבועים)
2. הפרשים שניים: $2,2,2$ (קבועים!) - אז הנוסחה כוללת $n^2$
3. ננסה $a(n)=n^2$: נקבל $1,4,9,16,25$ - קרוב אבל לא מדויק
4. ההפרש: הסדרה שלנו גדולה ב-$1$ מ-$n^2$ בכל מקום
5. נוסחה: $a(n)=n^2+1$
6. בדיקה: $1+1=2$, $4+1=5$, $9+1=10$, $16+1=17$. מושלם!

דוגמאות מגוונות

הכללה של תבניות חזותיות מורכבות

תבניות חזותיות הן דרך מעולה לגלות חוקיות. הרעיון: ציירו את השלבים הראשונים, ספרו, וחפשו את הנוסחה.

דוגמה: ריבועים מתרחבים

בשלב $n$, בונים ריבוע של $n$ על $n$ נקודות:

שלב $1$: נקודה אחת ($1)$
שלב $2$: ריבוע $2\times 2(4$ נקודות)
שלב $3$: ריבוע $3\times 3(9$ נקודות)
שלב $4$: ריבוע $4\times 4(16$ נקודות)

הסדרה: $1,4,9,16$ = הריבועים של $n$!
נוסחה: $a(n)=n^2$
כמה נקודות בשלב ה-$20$? $a(20)=400$!

דוגמה: משולשים מנקודות

שלב $1$: נקודה אחת ($1)$
שלב $2$: שורה של $2$ מתחת ($1+2=3)$
שלב $3$: שורה של $3(1+2+3=6)$
שלב $4$: שורה של $4(1+2+3+4=10)$

הסדרה: $1,3,6,10,15,\dots$
הפרשים: $2,3,4,5$ (לא קבועים)
הפרשים שניים: $1,1,1$ (קבועים!)
נוסחה: $a(n)=\frac{n(n+1)}{2}$
אלה נקראים "מספרים משולשיים"!

שאלות לחשיבה

תרגיל - הכללה לתבנית ריבועית

מאתגר

בתבנית של ריבועים מתרחבים יש בשלב הראשון $1$ אריח, בשלב השני $5$ אריחים, בשלב השלישי $13$, ובשלב הרביעי $25$. מצאו את נוסחת האיבר הכללי.

רמז (1/3)

פתרו את התרגיל

סיכום השיטות

סיכום

סדרה ריבועית

הפרשים שניים קבועים.
הנוסחה כוללת $n^2$.

שיטת העבודה

1. חשבו הפרשים
2. אם לא קבועים - הפרשים שניים
3. נחשו נוסחה
4. בדקו!

חוקר הסדרות - הפרשים

הזינו סדרה ובדקו אם ההפרשים הראשונים קבועים (סדרה ליניארית) או שההפרשים השניים קבועים (סדרה ריבועית).

העשרה - מספרים משולשיים בהיסטוריה

לחץ להרחבה למתקדמים

↓

המספרים המשולשיים ($1,3,6,10,15,\dots$) היו ידועים כבר לפיתגורס ותלמידיו לפני $2500$ שנה. הם סידרו חלוקים בצורת משולשים וגילו שהנוסחה היא $\frac{n(n+1)}{2}$.

הסיפור המפורסם ביותר על סדרות קשור לקרל פרידריך גאוס - כשהיה ילד בן $10$, המורה ביקש מהכיתה לחבר את המספרים מ-$1$ עד $100$. גאוס ענה תוך שניות: $5050$! הוא הבחין שאפשר לחבר זוגות: $1+100=101$, $2+99=101,\dots$ סך הכל $50$ זוגות: $50\cdot 101=5050$.

שאלה 1 מתוך 5

בסדרה 2, 5, 10, 17, 26... מהי הנוסחה?

א

$2n^2-2n+1$

ב

$n^2+1$

ג

$n^2+n+1$

ד

$2n+1$

פוסטר סיכום

חוקיות וסדרות - חלק ב׳

משתנים וביטויים אלגבריים

הכללת תופעות מספריות מורכבות, סדרות ריבועיות, הפרשים שניים, וכתיבת ביטוי אלגברי לתבניות חזותיות.