גרסת הדפסה | החוברת

משתנים וביטויים אלגבריים - כל מה שלמדנו במבט אחד

מה למדנו בפרק הזה?

בפרק הזה עשינו את הצעד הראשון מחשבון לאלגברה. למדנו להשתמש במשתנים וביטויים אלגבריים כדי לתאר חוקיות כלליות, לפשט ביטויים, ולפתור בעיות מהחיים.

בואו נעשה סדר בכל מה שלמדנו ונוודא שאנחנו מוכנים למבחן!

מושגי מפתח

משתנה

סימן (אות) המייצג ערך מספרי. ארבעה תפקידים: נעלם, קבוע, כללי, פרמטר.

ביטוי אלגברי

צירוף של מספרים, משתנים ופעולות. מורכב מאיברים, מקדמים וקבועים.

סדרה חשבונית

הפרש קבוע בין איברים עוקבים.
נוסחה:

a_{n} = d n + c

הצבה

החלפת משתנה בערך מספרי. מספרים שליליים - תמיד בסוגריים!

שוויון ערך

ביטויים שערכם זהה לכל הצבה. הצבה אחת מספיקה להפריך.

כינוס איברים

חיבור/חיסור מקדמים של איברים עם אותו משתנה באותה חזקה.

a x + b x = (a + b) x

נוסחאות חשובות

נוסחאות לזכור

נושא	נוסחה	דוגמה
איבר כללי בסדרה חשבונית	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$	$2, 5, 8, 11 : a_{n} = 3 n - 1$
כינוס חיבור	$a x + b x = (a + b) x$	$3 x + 5 x = 8 x$
כינוס חיסור	$a x - b x = (a - b) x$	$7 x - 3 x = 4 x$
חוק הפילוג	$a (b + c) = ab + a c$	$2 (x + 3) = 2 x + 6$
פיצול שבר	$\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$	$\frac{2 x + 6}{2} = x + 3$
היקף ריבוע	$P = 4 a$	$a = 5 : P = 20$
שטח ריבוע	$S = a^{2}$	$a = 6 : S = 36$
היקף מלבן	$P = 2 (a + b)$	$a = 5, b = 3 : P = 16$
שטח מלבן	$S = a \cdot b$	$a = 5, b = 3 : S = 15$
היקף משולש שווה צלעות	$P = 3 a$	$a = 4 : P = 12$

כללים חשובים

כללי זהב

כפל מרומז

לא כותבים סימן כפל: $3 \cdot x = 3 x$ , $x \cdot y = x y$

מקדם $1$

כש- $x$ לבד, המקדם הוא $1$ : $x = 1 \cdot x$

סימן = חלק מהמקדם

ב- $(- 3 x)$ המקדם הוא $- 3$ , לא $3$

שליליים בסוגריים

בהצבת מספר שלילי: $3 \cdot (- 2)^{2} = 12$ , לא $- 12$

טעויות נפוצות

תרגול כולל

בנק תרגילים לסיכום

הנה מבחר תרגילים אינטראקטיביים שמכסים את הנושאים המרכזיים של הפרק. נסו לפתור לבד לפני שלוחצים על הרמזים!

תרגיל

תרגיל 1 - תרגום מילולי לביטוי

רינת קנתה $n$ מחברות במחיר $7$ שקלים כל אחת, ושילמה דמי משלוח של $15$ שקלים. כתבו ביטוי אלגברי לסכום הכולל ששילמה.

תרגיל

תרגיל 2 - סדרה חשבונית

נתונה סדרה חשבונית: $3, 7, 11, 15, \dots$ . מצאו את הנוסחה לאיבר הכללי $a_{n}$ ואת ערך האיבר ה- $20$ .

תרגיל

תרגיל 3 - הצבה עם מספר שלילי

הציבו $x = - 3$ בביטוי:

2 x^{2} - 5 x + 4

תרגיל

תרגיל 4 - פישוט ביטוי מורכב

פשטו את הביטוי:

4 (a + 2) - (2 a - 5) + 3 a

תרגיל

תרגיל 5 - גאומטריה ומשתנים

ריבוע ומלבן בעלי היקף זהה. צלע הריבוע היא $a$ , והמלבן בעל אורך $2 a$ . מהו רוחב המלבן?

מפת הפרק

הנה תמונה כוללת של כל מה שלמדנו, מהפשוט למורכב:

תמונה המציגה את מפת המושגים של פרק משתנים וביטויים אלגבריים — מפת הפרק מחברת בין משתנים, ביטויים, הצבה, כינוס וחוקיות כדי לראות את השפה האלגברית כתמונה אחת.

יסודות (מודולים 1-2)

מהו משתנה? ביטויים אלגבריים - איברים, מקדמים, קבועים, תרגום מילולי.

חוקיות (מודולים 3-4)

סדרות חשבוניות, הפרש קבוע, סדרות ריבועיות, תבניות חזותיות.

חישוב (מודולים 5-6)

הצבה בביטויים, שוויון ערך - מתי שני ביטויים שקולים.

פישוט (מודולים 7-9)

כינוס חיבור/חיסור, שברים אלגבריים. פישוט ביטויים מורכבים.

חוקי פעולה שילוו אותנו גם הלאה

בפרק הזה פגשנו כמה חוקים שכדאי לזכור לא רק למבחן, אלא ככלי חשיבה קבועים. הם עוזרים לבדוק שקילות, לפשט ביטויים, ולהיזהר מטעויות.

איברים ניטרליים

x + 0 = x

וגם

1 \cdot x = x

. יש פעולות שלא משנות את הערך.

חוק החילוף

a + b = b + a

, אבל בחיסור לא תמיד מותר להחליף. לכן תמיד בודקים איזו פעולה נמצאת בתוך הביטוי.

חוק הפילוג

2 (x + 3) = 2 x + 6

. הכפל מגיע לכל איבר בתוך הסוגריים, לא רק לראשון.

גבול חשוב

אסור לחלק ב-0. זה לא עוד תרגיל קשה, אלא פעולה לא מוגדרת.

משחק חזרה לפרק

בואו נבדוק את הידע שלכם במשחק חזרה מהנה! ענו על שאלות ממגוון הנושאים שלמדנו בפרק.

חידון סיכום

החידון הבא כולל שאלות מכל המודולים בפרק. הכינו עצמכם!

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.בבעיה "אגד פרחים כולל 12 ורדים ו- $x$ חרציות", איזה סוג משתנה הוא $x$ ?

נעלם
קבוע
אמצעי לניסוח כללי
פרמטר

2.בביטוי $3 x^{2} + 4 x - 7$ , מה המקדם של x?

3.בסדרה 2, 5, 8, 11... מהו ההפרש הקבוע?

4.הציבו $a = 4$ בביטוי $2 a^{2} - 5$ וחשבו

5.האם $2 (x + 3)$ ו- $2 x + 3$ שווים?

לא, כי $2 (x + 3) = 2 x + 6$
כן, תמיד שווים
שווים רק כש $x = 0$
שווים רק כש $x = 3$

6.פשטו: $5 x + 3 - 2 x + 7 + x$

$4 x + 10$
$6 x + 10$
$8 x + 10$
$4 x + 3$

7. $x /4$ ו- $0.25 x$ הם ביטויים:

שווי ערך
לא שווים
שווים רק כש $x = 4$
שווים רק כשx חיובי

8.אורך מלבן פי 3 מרוחבו $x$ . מהו ההיקף?

8x
6x
4x
$3 x^{2}$

9.כתבו ביטוי: $x$ ק"ג עגבניות ב- $6$ שקל ו- $y$ ק"ג מלפפונים ב- $4$ שקל

$6 x + 4 y$
10xy
$x + y + 10$
$6 + 4 + x + y$

10.בסדרה 2, 5, 10, 17, 26... מהו סוג הסדרה?

ריבועית $- a (n) = n^{2} + 1$
חשבונית עם הפרש 3
חזקתית
פיבונאצ'י

מה למדנו בפרק הזה?

מושגי מפתח

משתנה

ביטוי אלגברי

סדרה חשבונית

הצבה

שוויון ערך

כינוס איברים

נוסחאות חשובות

נוסחאות לזכור

כללים חשובים

כללי זהב

כפל מרומז

מקדם 1

סימן = חלק מהמקדם

שליליים בסוגריים

טעויות נפוצות

תרגול כולל

בנק תרגילים לסיכום

תרגיל 1 - תרגום מילולי לביטוי

תרגיל 2 - סדרה חשבונית

תרגיל 3 - הצבה עם מספר שלילי

תרגיל 4 - פישוט ביטוי מורכב

תרגיל 5 - גאומטריה ומשתנים

מפת הפרק

יסודות (מודולים 1-2)

חוקיות (מודולים 3-4)

חישוב (מודולים 5-6)

פישוט (מודולים 7-9)

חוקי פעולה שילוו אותנו גם הלאה

איברים ניטרליים

חוק החילוף

חוק הפילוג

גבול חשוב

משחק חזרה לפרק

חידון סיכום

מקדם $1$