גרסת הדפסה | החוברת

לא כל שלושה אורכים מצליחים להיפגש ולהפוך לצורה סגורה

מתי בכלל אפשר לבנות משולש?

אם ניקח שלושה מקלות באורכים שונים, לא תמיד נוכל לסגור מהם משולש. לפעמים מקל אחד ארוך מדי, ושני האחרים פשוט לא מצליחים “להגיע” אליו.

הכלל שמתאר את זה נקרא אי-שוויון המשולש. הוא בודק האם סכום שתי צלעות גדול מן הצלע השלישית.

אי-שוויון המשולש

a + b > c, a + c > b, b + c > a

כדי לוודא שאפשר לבנות משולש, צריך לבדוק את שלושת התנאים, לא רק אחד מהם.

תמונה הממחישה את אי שוויון המשולש בעזרת מקלות שאפשר או אי אפשר לסגור למשולש — אי-שוויון המשולש קובע ששתי צלעות קצרות יחד חייבות להיות ארוכות מן הצלע השלישית.

דוגמה 1 - משולש אפשרי

האםאפשרלבנותמשולשעםצלעות m 3, 4, 5 / m ?

נבדוק את שלושת התנאים
$3 + 4 > 5, 3 + 5 > 4, 4 + 5 > 3$
נחשב
$7 > 5, 8 > 4, 9 > 3$

תשובה:

כן.כלשלושתהתנאיםמתקיימים, ולכןאפשרלבנותמשולש.

דוגמה 2 - משולש לא אפשרי

האםאפשרלבנותמשולשעםצלעות m 1, 2, 5 / m ?

נבדוק את התנאי החשוב ביותר כאן
$1 + 2 > 5 ?$
נחשב
$3 > 5 זה לא נכון$

תשובה:

לא.שתיהצלעותהקצרותיחדאינןמספיקותכדילהגיעלצלעהארוכה.

דוגמה 3 - טווח אפשרי

במשולשעםצלעות m 5, 7, x / m, אילוערכיםשל m x / m אפשריים ?

נכתוב את שני התנאים המשמעותיים
$x + 5 > 7 וגם 5 + 7 > x$
נפשט
$x > 2 וגם x < 12$

תשובה:

צריךלהתקיים m 2 < x < 12 / m .

צלעות מול זוויות

הצלע הארוכה מול הזווית הגדולה

הצלע

a

נמצאת מול הזווית הגדולה ביותר, ולכן היא גם הארוכה ביותר. במשולש, סדר הגדלים של הצלעות והזוויות מתאים זה לזה.

צלעות מול זוויות

הצלע הארוכה ביותר

נמצאת מול הזווית הגדולה ביותר.

אם הזווית C היא הגדולה ביותר, אז הצלע מולה - $c$ - תהיה הארוכה ביותר.

הצלע הקצרה ביותר

נמצאת מול הזווית הקטנה ביותר.

אם הזווית A קטנה, גם הצלע $a$ תהיה קצרה יותר.

אימון ובדיקת טווחים

תרגיל

תרגיל 1 - כן או לא

האם אפשר לבנות משולש עם צלעות $5, 7, 10$ ?

תרגיל

תרגיל 2 - לא מספיק קרוב

האם אפשר לבנות משולש עם צלעות $2, 3, 6$ ?

תרגיל

תרגיל 3 - מי גדולה יותר?

במשולש, הזווית B גדולה מן הזווית A. מה אפשר לומר על הצלעות $b$ ו- $a$ ?

תרגיל

תרגיל 4 - טווח

במשולש עם צלעות $4, 9, x$ , מצאו את כל הערכים האפשריים של $x$ .

תרגיל

תרגיל 5 - קוראים מן הציור

במשולש נתון שהזווית $∠ C$ היא הגדולה ביותר. איזו צלע חייבת להיות הארוכה ביותר?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.איזה כלל בודק אם שלוש צלעות יכולות ליצור משולש?

חוק פיתגורס
אי-שוויון המשולש
סכום זוויות
כפל וחילוק

2.האם הצלעות 3, 4, 5 יוצרות משולש?

כן
לא
רק אם הוא שווה-שוקיים
רק אם מסובבים אותו

3.האם הצלעות 2, 3, 6 יוצרות משולש?

כן
לא
רק אם הוא ישר-זווית
רק אם שתי הזוויות שוות

4.הצלע הארוכה ביותר נמצאת מול:

הזווית הקטנה ביותר
הזווית הגדולה ביותר
כל זווית
הזווית הישרה בלבד

5.במשולש עם צלעות 5, 7, x, איזה תנאי חייב להתקיים?

x > 12
2 < x < 12
x < 2
x = 12

6.אם הזווית C היא הגדולה ביותר במשולש, איזו צלע חייבת להיות הארוכה ביותר?

a
b
c
אי אפשר לדעת

7.איזו שלישיית אורכים היא מקרה גבולי שאינו יוצר משולש?

3, 4, 5
4, 4, 7
2, 5, 7
6, 7, 8