גרסת הדפסה | החוברת

איך לשנות סדר או סוגריים כדי לחשב חכם יותר

תכונות של פעולות

אם קניתם גלידה ב-5 שקלים ואחר כך עוגייה ב-3 שקלים, שילמתם $8$ שקלים. אם תחליפו את סדר הקנייה, עדיין תשלמו $8$ שקלים.

זה קורה מפני שבחיבור ובכפל יש חוקים קבועים שמאפשרים לשנות סדר או קיבוץ בלי לשנות את הערך.

חוקי החילוף והקיבוץ

חוק החילוף

אותם מספרים, סדר חדש

חיבור:

a + b = b + a

כפל:

a \cdot b = b \cdot a

דוגמה:

5 + 3 = 3 + 5 = 8

חוק הקיבוץ

אותם מספרים, סוגריים חדשים

חיבור:

(a + b) + c = a + (b + c)

כפל:

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

דוגמה:

(8 + 5) + 5 = 8 + (5 + 5) = 18

חוק החילוף בחיבור

a + b = b + a

חוק החילוף בכפל

a \cdot b = b \cdot a

חוק הקיבוץ בחיבור

(a + b) + c = a + (b + c)

חוק הקיבוץ בכפל

(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

בחיבור אפשר לדמיין שסופרים את אותם עצמים בסדר אחר. בכפל אפשר לראות זאת דרך צורה: אם מסובבים מלבן,

5 \cdot 3

ו-

3 \cdot 5

מתארים אותו שטח בדיוק.

מלבן $5 \times 3$ הוא גם מלבן $3 \times 5$

אפשר לתאר את אותו מלבן כ-

5 \cdot 3

או כ-

3 \cdot 5

. השטח נשאר

15

יחידות ריבועיות.

הכוח האמיתי - מסדרים כדי לחשב חכם

החוקים נעשים שימושיים במיוחד כשמחפשים דרך קצרה לחשב. לפעמים משנים סדר, לפעמים מעבירים סוגריים, ולפעמים משתמשים בשני החוקים יחד.

תמונה הממחישה את חוקי החילוף והקיבוץ בעזרת קיבוץ מספרים לזוג נוח — חוקי החילוף והקיבוץ מאפשרים לבחור זוג נוח לחישוב בלי לשנות את הערך של הביטוי.

סידור חכם של $17 + 23 + 7$

חשבובדרךנוחה :

מזהים זוג שנוח לחשב יחד
$(17 + 23) + 7$
מחשבים את הזוג הנוח
$40 + 7$
מסיימים את החיבור
$47$

תשובה:

47

משתמשים בחילוף ובקיבוץ ב- $25 \cdot 7 \cdot 4$

חשבובדרךחכמה :

קודם מפעילים חילוף כדי לקרב את $4$ אל $25$
$25 \cdot 4 \cdot 7$
עכשיו מפעילים קיבוץ
$(25 \cdot 4) \cdot 7 = 100 \cdot 7$
כפל פשוט
$700$

תשובה:

700

מתי זה לא עובד?

חיסור וחילוק הם נגד-דוגמה

בחיסור ובחילוק החלפת הסדר משנה את המשמעות של הפעולה.

a - b \neq = b - a, a \div b \neq = b \div a

כשרואים חיסור או חילוק, לא מחליפים סדר אוטומטית.

תחנת אימון

תרגיל

תרגיל 1 - מחשבים בעזרת זוג נוח

חשבו בדרך החכמה:

4 \cdot 13 \cdot 25

תרגיל

תרגיל 2 - איזה חוק בכל צעד?

איזה חוק מצדיק כל מעבר?

5 \cdot 13 \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 13 = (5 \cdot 2) \cdot 13 = 130

תרגיל

תרגיל 3 - גם בביטוי אלגברי

פשטו בעזרת קיבוץ נוח:

x + 8 + 2

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.האם $3 + 5 = 5 + 3$ ?

לא
רק במספרים חיוביים
רק אם הסכום קטן מ-10
כן, לפי חוק החילוף בחיבור

2.האם חוק החילוף תקף בחיסור? כלומר, האם $7 - 3 = 3 - 7$ ?

כן
רק אם שני המספרים זוגיים
לא, כי התוצאות שונות
רק אם מחסרים מספר קטן

3.איזו פעולה מקיימת חוק חילוף?

כל ארבע הפעולות
חיבור וחיסור
חיבור וכפל
כפל וחילוק

4.חשבו בדרך קצרה: $25 \cdot 7 \cdot 4$

5.חשבו בדרך קצרה: $17 + 48 + 83$

6.איזה חוק מצדיק את המעבר מ- $(5 + 17) + 3$ ל- $5 + (17 + 3)$ ?

סדר פעולות
חוק החילוף בחיבור
חוק הפילוג
חוק הקיבוץ בחיבור

7.מה מסביר טוב את העובדה ש- $3 \cdot 5 = 5 \cdot 3$ ?

כי כל מכפלה שווה תמיד ל-15
אם מסובבים מלבן 3×5, השטח נשאר אותו שטח
כי בכפל תמיד מחסרים קודם
כי 3 ו-5 הם מספרים עוקבים

8.איזה ביטוי שקול ל- $x + 8 + 2$ בעזרת קיבוץ נוח?

$x^{2} + 10$
$10 x$
$x + 82$
$x + 10$

תכונות של פעולות

חוקי החילוף והקיבוץ

חוק החילוף

חוק הקיבוץ

מלבן 5×3 הוא גם מלבן 3×5

הכוח האמיתי - מסדרים כדי לחשב חכם

סידור חכם של 17+23+7

משתמשים בחילוף ובקיבוץ ב-25⋅7⋅4

מתי זה לא עובד?

חיסור וחילוק הם נגד-דוגמה

תחנת אימון

תרגיל 1 - מחשבים בעזרת זוג נוח

תרגיל 2 - איזה חוק בכל צעד?

תרגיל 3 - גם בביטוי אלגברי

מלבן $5 \times 3$ הוא גם מלבן $3 \times 5$

סידור חכם של $17 + 23 + 7$

משתמשים בחילוף ובקיבוץ ב- $25 \cdot 7 \cdot 4$