גרסת הדפסה | החוברת

הכלי החזק ביותר במתמטיקה: כפל מעל חיבור

מה זה חוק הפילוג?

דמיינו שאתם קונים 7 ארוחות. כל ארוחה כוללת המבורגר ב-30 שקל ושתייה ב-10 שקל. איך תחשבו את הסכום הכולל?

דרך 1: כל ארוחה עולה $30 + 10 = 40$ שקל. סה"כ: $7 \times 40 = 280$ שקל.
דרך 2: 7 המבורגרים: $7 \times 30 = 210$ שקל. 7 משקאות: $7 \times 10 = 70$ שקל. סה"כ: $210 + 70 = 280$ שקל.

שתי הדרכים נותנות אותה תוצאה - וזה חוק הפילוג!

הנוסחה

חוק הפילוג של הכפל על החיבור

כאשר מכפילים מספר בסכום, אפשר לכפול אותו בכל חלק בנפרד ולחבר את התוצאות.

a (b + c) = ab + a c

חוק הפילוג עובד בשני הכיוונים: פתיחת סוגריים וכינוס (הוצאה מסוגריים).

חוק הפילוג של הכפל על החיבור

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

חוק הפילוג של הכפל על החיסור

a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c

המחשה: מודל השטח

אפשר להבין את חוק הפילוג בעזרת שטח מלבן. מלבן ברוחב

a

ואורך

(b + c)

שווה בשטחו לשני מלבנים קטנים: אחד ברוחב

a

ואורך

b

, והשני ברוחב

a

ואורך

c

מלבן גדול

רוחב:

a

אורך:

b + c

שטח:

a \cdot (b + c)

=

שווה ל...

שני מלבנים

מלבן 1:

a \cdot b

מלבן 2:

a \cdot c

סה"כ:

ab + a c

הוכחה גיאומטרית: מלבן $5 \times 13$

הדרך הוויזואלית ביותר להבין את חוק הפילוג היא דרך שטח מלבן. מלבן בגובה 5 ורוחב 13 ניתן לחלק לשני חלקים:

5 \times 10

ו-

5 \times 3

מלבן 5×13 = 5×10 + 5×3

מלבן 5×13: החלק השמאלי (5×10=50) והחלק הימני (5×3=15) ביחד נותנים 65

דוגמאות פתורות: פתיחת סוגריים

לפני שנכנס לאלגברה עם משתנים, נראה איך חוק הפילוג הופך חישובים "קשים" לקלים בראש. הרעיון: כשצריך לכפול מספר דו-ספרתי, מפרקים אותו לעשרות ואחדות. את כל אחד מהחלקים קל לכפול בנפרד, ואת התוצאות מחברים בסוף.

דוגמה מודרכת: הדרך החכמה ל- $7 \times 13$

7 \times 13

משתמשים בחוק הפילוג כדי לפצל את 13 ל-10 ו-3, ביחד
$7 \times (10 + 3)$
חוק הפילוג: כופלים את 7 פעם ב-10 ופעם ב-3
$(7 \times 10) + (7 \times 3)$
חישוב הכפולות קל מאוד בראש
$70 + 21$

תשובה:

91

עכשיו שראינו את השיטה, בואו נראה אותה בעבודה על כמה מספרים נוספים. שימו לב שבכל דוגמה מפרקים את אחד המספרים לעשרות ואחדות.

עוד דוגמאות לחישוב בעל פה

$12 \times 25$

מפרקים את 25 ל- $20 + 5$ :
$12 \times (20 + 5)$
$= (12 \times 20) + (12 \times 5)$
$= 240 + 60$
$= 300$

כפל ב-20 קל (פי 2 ופי 10), וגם כפל ב-5 קל.

$6 \times 17$

מפרקים את 17 ל- $10 + 7$ :
$6 \times (10 + 7)$
$= 60 + (6 \times 7)$
$= 60 + 42$
$= 102$

אחרי הפירוק, נשאר רק לוח הכפל הקטן.

$9 \times 14$

מפרקים את 14 ל- $10 + 4$ :
$9 \times (10 + 4)$
$= 90 + (9 \times 4)$
$= 90 + 36$
$= 126$

בעל פה: 90 ועוד 36.

דוגמה פתורה: פתיחת סוגריים

3 (2 x + 5)

נכפול את 3 בכל איבר שבתוך הסוגריים
$3 \cdot 2 x + 3 \cdot 5$
נחשב את המכפלות
$6 x + 15$

תשובה:

6 x + 15

תרגיל

תרגיל - פתיחת סוגריים

פתחו את הסוגריים:

4 (x + 7)

הכיוון ההפוך: כינוס (הוצאה מסוגריים)

עד עכשיו השתמשנו בחוק הפילוג כדי לפתוח סוגריים: מביטוי כמו

3 (x + 2)

הגענו ל-

3 x + 6

. אבל הכיוון ההפוך שימושי באותה מידה: כשרואים שני מכפלות שמחלקות גורם משותף, אפשר להוציא אותו מחוץ לסוגריים. זה נקרא כינוס או הוצאת גורם משותף, והוא הופך סכום מורכב למכפלה פשוטה.

דוגמה מודרכת: כינוס של $5 \times 7 + 5 \times 3$

5 \times 7 + 5 \times 3

קודם כל, מחפשים את המספר שמופיע בשתי המכפלות
$5 \times 7 + 5 \times 3$
מוציאים את ה-5 החוצה, ומכניסים לסוגריים את מה שנשאר: 7 ו-3
$5 \times (7 + 3)$
עכשיו הסוגריים נותנים מספר פשוט
$5 \times 10$
הכפל הסופי קל
$50$

תשובה:

50

אותה שיטה עובדת גם עם משתנים. אם רואים

8 x + 8 y

, מוציאים את 8 ומקבלים

8 (x + y)

. זה יהיה שימושי מאוד כשנלמד לפתור משוואות.

מבט קדימה - חוק הפילוג עם חיסור

חוק הפילוג לא עובד רק על חיבור - הוא עובד גם על חיסור. ניגע בזה כאן בקצרה, ונחזור אליו שוב בהמשך. הנוסחה היא

a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c

. זה שימושי במיוחד כשצריך לכפול מספר קרוב למספר עגול (כמו 19, 98, 49), כי אפשר לפרק אותו ל"מספר עגול פחות משהו קטן".

דוגמה מודרכת: חישוב $8 \times 19$ בראש

8 \times 19

19 זה 1 פחות מ-20. במקום להתמודד עם 19, נכפול ב-20 ונוריד את החלק העודף
$8 \times (20 - 1)$
מפעילים את חוק הפילוג על החיסור. שימו לב: הסימן מינוס עובר גם לתוצאה
$(8 \times 20) - (8 \times 1)$
מחשבים כל חלק בנפרד - בראש
$160 - 8$
חיסור פשוט
$152$

תשובה:

152

השיטה הזו עוצמתית במיוחד עם מספרים כמו 99, 98, 49 - מספרים שקרובים למספרים עגולים. הנה עוד דוגמאות:

עוד דוגמאות - חיסור מעשרת עגולה

$7 \times 99$

99 קרוב ל-100. במקום להתמודד ישירות:
$7 \times (100 - 1)$
$= 700 - 7$
$= 693$

בראש! לא צריך עיפרון.

$6 \times 48$

48 קרוב ל-50. פי 50 זה "פי 100 חלקי 2":
$6 \times (50 - 2)$
$= 300 - 12$
$= 288$

$5 \times (9 - 2)$

לפעמים החיסור כבר נתון - פשוט מפלגים:
$5 \times 9 - 5 \times 2$
$= 45 - 10$
$= 35$

בדיקה: $5 \times 7 = 35$ . מצוין.

בעיות מעשיות

תמונה הממחישה את חוק הפילוג בעזרת שישה שולחנות עם ספרים ומחברות — אותם פריטים נספרים בשתי דרכים, ולכן חוק הפילוג מחבר בין כפל בסכום לבין סכום של מכפלות.

שגיאות נפוצות

חוק הפילוג פשוט - אבל יש שתי טעויות שחוזרות אצל כמעט כולם. כדאי להכיר אותן מראש, ולהבין למה הן קורות - כי אז קל יותר להימנע מהן.

טעות #1: לכפול רק את האיבר הראשון

נניח שיש לנו את הביטוי

4 (x + 2)

. הרבה תלמידים כותבים בטעות

4 x + 2

- הם זוכרים לכפול את 4 ב-x, אבל שוכחים לכפול גם ב-2.

למה זו טעות? כי הסוגריים אומרים: "תחילה מחברים את x עם 2, ואז כופלים את הכל ב-4". אם נכפול רק את x, לא באמת פעלנו על כל הסכום.

מה קורה בפועל

הצורה הלא נכונה

$4 (x + 2) \neq = 4 x + 2$

כאן הכפלנו רק את x. ה-2 נשאר בלי להיכפל - כאילו הסוגריים לא קיימים.

אם $x = 3$ : $4 \cdot (3 + 2) = 20$ , אבל $4 \cdot 3 + 2 = 14$ . תוצאות שונות!

הצורה הנכונה

$4 (x + 2) = 4 x + 8$

הכפלנו גם את x וגם את 2 ב-4 - זה חוק הפילוג במלואו.

אם $x = 3$ : $4 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 12 + 8 = 20$ . מתאים!

תרגיל חשיבה: דרך אחת לזכור - דמיינו שהמספר מחוץ לסוגריים "נוגע" בכל איבר בתוך הסוגריים. אם לא נגעתם בכולם, לא פילגתם נכון.

חשבו: $7 \times 15 + 7 \times 5 = ?$

חשבו: $6 \times 99 = ?$

תרגול עצמי

זה הזמן ליישם את מה שלמדנו. התחילו בשני הסשנים האינטראקטיביים, ואז עברו לתרגילים הכתובים. כך תתרגלו גם תשובה מהירה, גם פירוק שלבים וגם בדיקה עצמית.

תרגול אינטראקטיבי - מצב רב-שאלות

בסשן הראשון משלימים ביטויים ותוצאות. בסשן השני פותרים צעד אחר צעד. ביחד הם בודקים פתיחת סוגריים, כינוס ומקרים עם חיסור.

תרגיל

תרגיל 1 - פתיחת סוגריים פשוטה

פתחו את הסוגריים:

6 \cdot (10 + 3)

תרגיל

תרגיל 2 - שימוש בחוק הפילוג לחישוב בעל פה

חשבו בעל פה באמצעות פירוק:

9 \times 14

תרגיל

תרגיל 3 - כינוס (הוצאת גורם משותף)

השתמשו בכינוס כדי לחשב:

3 \times 5 + 3 \times 4

מתי חוק הפילוג לא עובד?

כדי להשתמש בחוק הפילוג, צריך להיות כפל מחוץ לסוגריים.

a \cdot (b + c) = ab + a c

זוכרים: $a (b + c) = ab + a c$ , אבל $a + b c$ הוא ביטוי אחר. חוק הפילוג שייך למצבים שבהם כפל פועל על סוגריים שלמים. אם אין כפל מחוץ לסוגריים, לא מפלגים.

בחנות: מחירון עם קנייה כפולה

חוק הפילוג עוזר לנו לחשב בראש כשאנחנו קונים כמה פריטים.

בחיים, חוק הפילוג מאפשר לנו לחשב כל קטגוריה בנפרד ואז לחבר.

תרגיל

תרגיל 4 - אתגר

כנסו לגורם משותף:

5 \cdot 8 - 5 \cdot 3

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.פתחו סוגריים: $3 (x + 4)$

$3 x + 7$
$x + 12$
$3 x + 4$
$3 x + 12$

2.חשבו בדרך קצרה: $17 \times 101$

1700
1617
1717
1817

3.האם $4 (x - 2) = 4 x - 2$ ?

לא, צריך $4 x - 8$
כן
רק כש- $x > 0$
רק כש- $x = 0$

4.חשבו: $8 \times 99$

5.איזה חוק מצדיק: $5 \times 8 + 5 \times 3 = 5 \times (8 + 3)$ ?

חוק הפילוג בכיוון ההפוך (כינוס)
חוק הקיבוץ
חוק החילוף
סדר פעולות

6.מדוע חוק הפילוג עובד? באיזה מודל ניתן לראות זאת בבירור?

טבלת כפל
מודל שטח מלבן: שטח שלם = סכום חלקיו
ניסוי וטעייה
ספירת נקודות על קו מספרים

7.תלמיד קנה 6 חבילות שכל אחת כוללת 8 עוגיות ו-2 ממתקים. כמה פריטים בסך הכל?

12 פריטים
60 פריטים
48 פריטים
10 פריטים

8.האם חוק הפילוג תקף לחיבור מחוץ לסוגריים? כלומר, $2 + (3 \times 4) = (2 + 3) (2 + 4)$ ?

לא, הצד שמאל הוא 14 והצד ימין הוא 30
רק עם מספרים גדולים
כן, תמיד
כן, חוק הפילוג עובד עם כפל וחיבור

מה זה חוק הפילוג?

הנוסחה

חוק הפילוג של הכפל על החיבור

המחשה: מודל השטח

מלבן גדול

=

שני מלבנים

הוכחה גיאומטרית: מלבן 5×13

מלבן 5×13 = 5×10 + 5×3

דוגמאות פתורות: פתיחת סוגריים

דוגמה מודרכת: הדרך החכמה ל-7×13

עוד דוגמאות לחישוב בעל פה

12×25

6×17

9×14

דוגמה פתורה: פתיחת סוגריים

תרגיל - פתיחת סוגריים

הכיוון ההפוך: כינוס (הוצאה מסוגריים)

דוגמה מודרכת: כינוס של 5×7+5×3

מבט קדימה - חוק הפילוג עם חיסור

דוגמה מודרכת: חישוב 8×19 בראש

עוד דוגמאות - חיסור מעשרת עגולה

7×99

6×48

5×(9−2)

בעיות מעשיות

שגיאות נפוצות

תרגול עצמי

תרגול אינטראקטיבי - מצב רב-שאלות

תרגיל 1 - פתיחת סוגריים פשוטה

תרגיל 2 - שימוש בחוק הפילוג לחישוב בעל פה

תרגיל 3 - כינוס (הוצאת גורם משותף)

מתי חוק הפילוג לא עובד?

בחנות: מחירון עם קנייה כפולה

תרגיל 4 - אתגר

הוכחה גיאומטרית: מלבן $5 \times 13$

דוגמה מודרכת: הדרך החכמה ל- $7 \times 13$

$12 \times 25$

$6 \times 17$

$9 \times 14$

דוגמה מודרכת: כינוס של $5 \times 7 + 5 \times 3$

דוגמה מודרכת: חישוב $8 \times 19$ בראש

$7 \times 99$

$6 \times 48$

$5 \times (9 - 2)$