חוק הפילוג - חלק א׳

Q: איך מזהים שאפשר לכנס?

מחפשים ביטוי בצורה a \times b + a \times c - כלומר, שני איברים שבשניהם מופיע אותו מספר (או משתנה). המספר המשותף הוא הגורם המשותף, ואותו "מוציאים" לפני הסוגריים. מה שנשאר בפנים - זה הסכום של האיברים האחרים.

Q: חשבו: 7 \times 15 + 7 \times 5 =?

כינוס: 7 \times (15 + 5) = 7 \times 20 = 140. בלי כינוס: 105 + 35 = 140. אותה תוצאה, אבל הכינוס קל יותר!

Q: חשבו: 6 \times 99 =?

פילוג: 6 \times (100 - 1) = 600 - 6 = 594. הרבה יותר קל מלכפול 6 \times 99 ישירות!

הכלי החזק ביותר במתמטיקה: כפל מעל חיבור

מה זה חוק הפילוג?

דמיינו שאתם קונים 7 ארוחות. כל ארוחה כוללת המבורגר ב-30 שקל ושתייה ב-10 שקל. איך תחשבו את הסכום הכולל?

דרך 1: כל ארוחה עולה

30 + 10 = 40

שקל. סה"כ:

7 \times 40 = 280

שקל.
דרך 2: 7 המבורגרים:

7 \times 30 = 210

שקל. 7 משקאות:

7 \times 10 = 70

שקל. סה"כ:

210 + 70 = 280

שקל.

שתי הדרכים נותנות אותה תוצאה - וזה חוק הפילוג!

הנוסחה

חוק הפילוג של הכפל על החיבור

כאשר מכפילים מספר בסכום, אפשר לכפול אותו בכל חלק בנפרד ולחבר את התוצאות.

הנוסחה:
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

בכיוון ההפוך (כינוס):
$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

הכפל "מתפלג" על כל חלק של הסכום שבסוגריים.

$a (b + c) = ab + a c$

חוק הפילוג עובד בשני הכיוונים: פתיחת סוגריים וכינוס (הוצאה מסוגריים).

חוק הפילוג של הכפל על החיבור

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

(1)

חוק הפילוג של הכפל על החיסור

a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c

(2)

המחשה: מודל השטח

אפשר להבין את חוק הפילוג בעזרת שטח מלבן. מלבן ברוחב $a$ ואורך $(b + c)$ שווה בשטחו לשני מלבנים קטנים: אחד ברוחב $a$ ואורך $b$ , והשני ברוחב $a$ ואורך $c$ .

איור של מלבן המתפלג לשני תת-מלבנים בצבעים שונים, סמל חזותי לחוק הפילוג — חוק הפילוג הוא תיאור גיאומטרי של כפל - מלבן יכול להתפלג לשני חלקים, והשטח הכולל שווה לסכום השטחיםAI-generated

מלבן גדול

רוחב: $a$
אורך: $b + c$
שטח: $a \cdot (b + c)$

=

שווה ל...

שני מלבנים

מלבן 1: $a \cdot b$
מלבן 2: $a \cdot c$
סה"כ: $ab + a c$

טוען סימולציה...

מהעבר: מחלקים שטח כדי לחשב

כבר בעת העתיקה מודדי שטח ובונים נעזרו ברעיון פשוט: במקום לחשב צורה ארוכה בבת אחת, מחלקים אותה לשני חלקים קלים יותר, מחשבים כל חלק בנפרד ואז מחברים. אותו רעיון בדיוק מופיע בחוק הפילוג: $a (b + c) = ab + a c$ . לפני שהשתמשו באותיות ובנוסחאות, כבר השתמשו בדרך החשיבה הזו.

הוכחה גיאומטרית: מלבן $5 \times 13$

הדרך הוויזואלית ביותר להבין את חוק הפילוג היא דרך שטח מלבן. מלבן בגובה 5 ורוחב 13 ניתן לחלק לשני חלקים: $5 \times 10$ ו- $5 \times 3$ .

מלבן 5×13 = 5×10 + 5×3

מלבן 5×13: החלק השמאלי (5×10=50) והחלק הימני (5×3=15) ביחד נותנים 65

דוגמאות פתורות: פתיחת סוגריים

לפני שנכנס לאלגברה עם משתנים, נראה איך חוק הפילוג הופך חישובים "קשים" לקלים בראש. הרעיון: כשצריך לכפול מספר דו-ספרתי, מפרקים אותו לעשרות ואחדות. את כל אחד מהחלקים קל לכפול בנפרד, ואת התוצאות מחברים בסוף.

דוגמה מודרכת: הדרך החכמה ל- $7 \times 13$

שלב 1 מתוך 3

7 \times 13

איך כדאי לפרק את 13 כדי לפשט את החישוב?

עכשיו שראינו את השיטה, בואו נראה אותה בעבודה על כמה מספרים נוספים. שימו לב שבכל דוגמה מפרקים את אחד המספרים לעשרות ואחדות.

עוד דוגמאות לחישוב בעל פה

$12 \times 25$

מפרקים את 25 ל- $20 + 5$ :
$12 \times (20 + 5)$
$= (12 \times 20) + (12 \times 5)$
$= 240 + 60$
$= 300$

כפל ב-20 קל (פי 2 ופי 10), וגם כפל ב-5 קל.

$6 \times 17$

מפרקים את 17 ל- $10 + 7$ :
$6 \times (10 + 7)$
$= 60 + (6 \times 7)$
$= 60 + 42$
$= 102$

אחרי הפירוק, נשאר רק לוח הכפל הקטן.

$9 \times 14$

מפרקים את 14 ל- $10 + 4$ :
$9 \times (10 + 4)$
$= 90 + (9 \times 4)$
$= 90 + 36$
$= 126$

בעל פה: 90 ועוד 36.

דוגמה פתורה: פתיחת סוגריים

3 (2 x + 5)

תרגיל - פתיחת סוגריים

בסיסי

פתחו את הסוגריים:

4 (x + 7)

הכיוון ההפוך: כינוס (הוצאה מסוגריים)

עד עכשיו השתמשנו בחוק הפילוג כדי לפתוח סוגריים: מביטוי כמו $3 (x + 2)$ הגענו ל- $3 x + 6$ . אבל הכיוון ההפוך שימושי באותה מידה: כשרואים שני מכפלות שמחלקות גורם משותף, אפשר להוציא אותו מחוץ לסוגריים. זה נקרא כינוס או הוצאת גורם משותף, והוא הופך סכום מורכב למכפלה פשוטה.

איך מזהים שאפשר לכנס?

מחפשים ביטוי בצורה $a \times b + a \times c$ - כלומר, שני איברים שבשניהם מופיע אותו מספר (או משתנה). המספר המשותף הוא הגורם המשותף, ואותו "מוציאים" לפני הסוגריים. מה שנשאר בפנים - זה הסכום של האיברים האחרים.

דוגמה מודרכת: כינוס של $5 \times 7 + 5 \times 3$

שלב 1 מתוך 4

5 \times 7 + 5 \times 3

מה הגורם המשותף לשתי המכפלות?

אותה שיטה עובדת גם עם משתנים. אם רואים $8 x + 8 y$ , מוציאים את 8 ומקבלים $8 (x + y)$ . זה יהיה שימושי מאוד כשנלמד לפתור משוואות.

מבט קדימה - חוק הפילוג עם חיסור

חוק הפילוג לא עובד רק על חיבור - הוא עובד גם על חיסור. ניגע בזה כאן בקצרה, ונחזור אליו שוב בהמשך. הנוסחה היא $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ . זה שימושי במיוחד כשצריך לכפול מספר קרוב למספר עגול (כמו 19, 98, 49), כי אפשר לפרק אותו ל"מספר עגול פחות משהו קטן".

דוגמה מודרכת: חישוב $8 \times 19$ בראש

שלב 1 מתוך 4

8 \times 19

איך כדאי לפרק את 19 כדי להקל על הכפל?

השיטה הזו עוצמתית במיוחד עם מספרים כמו 99, 98, 49 - מספרים שקרובים למספרים עגולים. הנה עוד דוגמאות:

עוד דוגמאות - חיסור מעשרת עגולה

$7 \times 99$

99 קרוב ל-100. במקום להתמודד ישירות:
$7 \times (100 - 1)$
$= 700 - 7$
$= 693$

בראש! לא צריך עיפרון.

$6 \times 48$

48 קרוב ל-50. פי 50 זה "פי 100 חלקי 2":
$6 \times (50 - 2)$
$= 300 - 12$
$= 288$

$5 \times (9 - 2)$

לפעמים החיסור כבר נתון - פשוט מפלגים:
$5 \times 9 - 5 \times 2$
$= 45 - 10$
$= 35$

בדיקה: $5 \times 7 = 35$ . מצוין.

בעיות מעשיות

בעיה מהחיים

בעיה: בכיתה יש 6 שולחנות זהים. על כל שולחן 8 ספרים ו-2 מחברות. כמה פריטים יש בסך הכל?

דרך 1: על כל שולחן יש $8 + 2 = 10$ פריטים. סה"כ: $6 \times 10 = 60$
דרך 2: ספרים: $6 \times 8 = 48$ . מחברות: $6 \times 2 = 12$ . סה"כ: $48 + 12 = 60$

שתי הדרכים הן חוק הפילוג!

שגיאות נפוצות

חוק הפילוג פשוט - אבל יש שתי טעויות שחוזרות אצל כמעט כולם. כדאי להכיר אותן מראש, ולהבין למה הן קורות - כי אז קל יותר להימנע מהן.

טעות #1: לכפול רק את האיבר הראשון

נניח שיש לנו את הביטוי $4 (x + 2)$ . הרבה תלמידים כותבים בטעות $4 x + 2$ - הם זוכרים לכפול את 4 ב-x, אבל שוכחים לכפול גם ב-2.

למה זו טעות? כי הסוגריים אומרים: "תחילה מחברים את x עם 2, ואז כופלים את הכל ב-4". אם נכפול רק את x, לא באמת פעלנו על כל הסכום.

מה קורה בפועל

הצורה הלא נכונה

$4 (x + 2) \neq = 4 x + 2$

כאן הכפלנו רק את x. ה-2 נשאר בלי להיכפל - כאילו הסוגריים לא קיימים.

דוגמה: אם $x = 3$ : $4 \cdot (3 + 2) = 20$ , אבל $4 \cdot 3 + 2 = 14$ . תוצאות שונות!

הצורה הנכונה

$4 (x + 2) = 4 x + 8$

הכפלנו גם את x וגם את 2 ב-4 - זה חוק הפילוג במלואו.

דוגמה: אם $x = 3$ : $4 \cdot 3 + 4 \cdot 2 = 12 + 8 = 20$ . מתאים!

תרגיל חשיבה: דרך אחת לזכור - דמיינו שהמספר מחוץ לסוגריים "נוגע" בכל איבר בתוך הסוגריים. אם לא נגעתם בכולם, לא פילגתם נכון.

טעות #2: איבוד סימן המינוס בפילוג

כשכופלים מספר שלילי בסוגריים שמכילים חיסור, סימני התוצאה מתבלבלים בקלות. נסתכל על $- 2 (3 x - 5)$ :

הרבה תלמידים כותבים $- 6 x - 10$ , אבל התשובה הנכונה היא $- 6 x + 10$ . ההבדל קריטי.

נפרק את זה צעד אחר צעד

שלב 1 מתוך 3

- 2 \cdot (3 x - 5)

ראשית, נבודד את הפעולה הראשונה: כופלים את $- 2$ ב- $3 x$ . מינוס כפול פלוס = מינוס

- 2 \cdot 3 x = - 6 x

שאלה לחשיבה

חשבו: $7 \times 15 + 7 \times 5 = ?$

כינוס: $7 \times (15 + 5) = 7 \times 20 = 140$ .
בלי כינוס: $105 + 35 = 140$ . אותה תוצאה, אבל הכינוס קל יותר!

שאלה לחשיבה

חשבו: $6 \times 99 = ?$

פילוג: $6 \times (100 - 1) = 600 - 6 = 594$ .
הרבה יותר קל מלכפול $6 \times 99$ ישירות!

תרגול עצמי

זה הזמן ליישם את מה שלמדנו. התחילו בשני הסשנים האינטראקטיביים, ואז עברו לתרגילים הכתובים. כך תתרגלו גם תשובה מהירה, גם פירוק שלבים וגם בדיקה עצמית.

תרגול אינטראקטיבי - מצב רב-שאלות

בסשן הראשון משלימים ביטויים ותוצאות. בסשן השני פותרים צעד אחר צעד. ביחד הם בודקים פתיחת סוגריים, כינוס ומקרים עם חיסור.

טוען סימולציה...

תרגיל 1 - פתיחת סוגריים פשוטה

בסיסי

פתחו את הסוגריים:

6 \cdot (10 + 3)

תרגיל 2 - שימוש בחוק הפילוג לחישוב בעל פה

בינוני

חשבו בעל פה באמצעות פירוק:

9 \times 14

תרגיל 3 - כינוס (הוצאת גורם משותף)

בינוני

השתמשו בכינוס כדי לחשב:

3 \times 5 + 3 \times 4

מתי חוק הפילוג לא עובד?

כדי להשתמש בחוק הפילוג, צריך להיות כפל מחוץ לסוגריים.

בביטוי $2 (3 + 4)$ אפשר להפעיל את חוק הפילוג, כי ה-2 כופל את כל מה שבסוגריים:
$2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 6 + 8 = 14$ .

אבל בביטוי $2 + 3 \cdot 4$ אין כפל מחוץ לסוגריים. ה-2 רק מתווסף לתוצאה של $3 \cdot 4$ , ולכן אי אפשר "לפתוח" כאן שום סוגריים.

כלל הזהב: לפני שמפעילים חוק הפילוג, בודקים שיש צורה של $a \cdot (b + c)$ או $a \cdot (b - c)$ .

$a \cdot (b + c) = ab + a c$

זוכרים: $a (b + c) = ab + a c$ , אבל $a + b c$ הוא ביטוי אחר. חוק הפילוג שייך למצבים שבהם כפל פועל על סוגריים שלמים. אם אין כפל מחוץ לסוגריים, לא מפלגים.

בחנות: מחירון עם קנייה כפולה

חוק הפילוג עוזר לנו לחשב בראש כשאנחנו קונים כמה פריטים.

ביקרנו בחנות ספרים: קנינו $6$ חבילות. כל חבילה מכילה $8$ ספרים ו- $2$ עיתונים.

שיטה 1 (ישירה): כל חבילה = $8 + 2 = 10$ פריטים. סה"כ: $6 \cdot 10 = 60$

שיטה 2 (חוק הפילוג): $6 \cdot (8 + 2) = 6 \cdot 8 + 6 \cdot 2 = 48 + 12 = 60$

אותה תוצאה! שיטה 2 שימושית כשאנחנו רוצים לדעת נפרד את מספר הספרים ( $6 \cdot 8 = 48$ ) ואת מספר העיתונים ( $6 \cdot 2 = 12) .$

בחיים, חוק הפילוג מאפשר לנו לחשב כל קטגוריה בנפרד ואז לחבר.

תרגיל 4 - אתגר

מאתגר

כנסו לגורם משותף:

5 \cdot 8 - 5 \cdot 3

חוק הפילוג משמש אותנו בלי שנשים לב. כשאנחנו מחשבים כמה עולה 3 מוצרים שמחירם 9.90 שקל, אנחנו בעצם מחשבים: $3 \times (10 - 0.10) = 30 - 0.30 = 29.70$ שקל.

גם בבנייה: אם רוצים לרצף חדר ברוחב $4$ מטר ואורך $(6 + 3)$ מטר, השטח הוא $4 \times 9 = 36$ מטר מרובע, או $4 \times 6 + 4 \times 3 = 24 + 12 = 36$ .

שאלה 1 מתוך 8

האם חוק הפילוג תקף לחיבור מחוץ לסוגריים? כלומר, $2 + (3 \times 4) = (2 + 3) (2 + 4)$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של חוק הפילוג - חלק א׳ כבר מוכן.

פתחו תרגול

חוק הפילוג - חלק א׳

מה זה חוק הפילוג?

הנוסחה

חוק הפילוג של הכפל על החיבור

המחשה: מודל השטח

מלבן גדול

=

שני מלבנים

מהעבר: מחלקים שטח כדי לחשב

הוכחה גיאומטרית: מלבן 5×13

דוגמאות פתורות: פתיחת סוגריים

דוגמה מודרכת: הדרך החכמה ל-7×13

עוד דוגמאות לחישוב בעל פה

12×25

6×17

9×14

דוגמה פתורה: פתיחת סוגריים

תרגיל - פתיחת סוגריים

הכיוון ההפוך: כינוס (הוצאה מסוגריים)

איך מזהים שאפשר לכנס?

דוגמה מודרכת: כינוס של 5×7+5×3

מבט קדימה - חוק הפילוג עם חיסור

דוגמה מודרכת: חישוב 8×19 בראש

עוד דוגמאות - חיסור מעשרת עגולה

7×99

6×48

5×(9−2)

בעיות מעשיות

בעיה מהחיים

שגיאות נפוצות

טעות #1: לכפול רק את האיבר הראשון

מה קורה בפועל

הצורה הלא נכונה

הצורה הנכונה

טעות #2: איבוד סימן המינוס בפילוג

נפרק את זה צעד אחר צעד

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

תרגול עצמי

תרגול אינטראקטיבי - מצב רב-שאלות

תרגיל 1 - פתיחת סוגריים פשוטה

תרגיל 2 - שימוש בחוק הפילוג לחישוב בעל פה

תרגיל 3 - כינוס (הוצאת גורם משותף)

מתי חוק הפילוג לא עובד?

בחנות: מחירון עם קנייה כפולה

תרגיל 4 - אתגר

חוק הפילוג בחיים האמיתיים

האם חוק הפילוג תקף לחיבור מחוץ לסוגריים? כלומר, 2+(3×4)=(2+3)(2+4)?