גרסת הדפסה | החוברת

למה זה אחד הכללים הכי מוכרים במתמטיקה?

השאלה הגדולה

מה זה $12 \div 0$ ? נראה כמו שאלה פשוטה, אבל התשובה מפתיעה: אין תשובה. החילוק הזה פשוט לא מוגדר.

זה לא שהתשובה היא 0, ולא שהתשובה היא אינסוף. הביטוי $12 \div 0$ חסר משמעות מתמטית, כמו לשאול "מה הצבע של המספר 5?" - השאלה עצמה לא מתאימה למתמטיקה.

הכלל הבסיסי - חילוק באפס לא מוגדר

\frac{a}{0} לא מוגדר עבור כל a

אבל: אפס חלקי מספר = אפס

\frac{0}{a} = 0 (a \neq = 0)

שלוש דרכים להסביר

דרך 1: חילוק כהיפוך של כפל

חילוק הוא הפעולה ההפוכה של כפל. כשאומרים

12 \div 3 = 4

, הכוונה ש-

3 \times 4 = 12

חילוק = היפוך כפל

$12 \div 3 = ?$

שואלים: איזה מספר, כשמכפילים אותו ב- $3$ , מקבלים $12$ ?
תשובה: 4, כי $3 \times 4 = 12$ .

$12 \div 0 = ?$

שואלים: איזה מספר, כשמכפילים אותו ב- $0$ , מקבלים $12$ ?
אבל $0 \times (כל מספר) = 0$ , ולא $12$ .
אין מספר כזה, ולכן הביטוי לא מוגדר.

דרך 2: מה קורה כשמתקרבים לאפס?

בואו נראה מה קורה כשמחלקים

10

במספרים שמתקרבים ל-

0

מימין ומשמאל:

מה קורה כשהמחלק מתקרב ל-0 משני הכיוונים?

ביטוי	ערך המחלק	תוצאה
$10 \div 1$	$1$	$10$
$10 \div 0.1$	$0.1$	$100$
$10 \div 0.01$	$0.01$	$1, 000$
$10 \div (- 0.1)$	$- 0.1$	$- 100$
$10 \div (- 0.01)$	$- 0.01$	$- 1, 000$
$10 \div 0$	$0$	לא מוגדר

כשמתקרבים ל-0 מימין התוצאה גדלה לכיוון $+ \infty$ , וכשמתקרבים ל-0 משמאל היא קטנה לכיוון $- \infty$ .

התוצאה יכולה לגדול מאוד או לקטון מאוד, אבל לעולם לא מקבלים ערך עבור

10 \div 0

. אינסוף אינו מספר, ולכן אי אפשר לומר שהחילוק שווה אינסוף. הוא פשוט לא מוגדר.

הוכחה בסתירה: למה 5 ÷ 0 לא יכול להיות מספר

נניחבשלילהשקייםמספר m k / m כךש - m \frac{5}{0} = k / m .

לפי הגדרת חילוק: אם $5 \div 0 = k$ , אז $0 \times k = 5$
$0 \cdot k = 5$
אבל $0$ כפול כל מספר שווה ל- $0$
$0 \cdot k = 0$
קיבלנו סתירה: איך ייתכן ש- $0 = 5$ ?
$0 = 5 \Rightarrow שקר$
לכן אין מספר $k$ כזה, והביטוי $\frac{5}{0}$ לא מוגדר
$\frac{5}{0} לא מוגדר$

תשובה:

לאמוגדר

גרף y = 10/x - האסימפטוטה ב-x=0

דרך 3: למה ל-0 אין הופכי?

לכל מספר, חוץ מ-

0

, יש מספר הופכי: מספר שכאשר מכפילים אותו במספר המקורי מקבלים

1

. למשל, ההופכי של

5

הוא

\frac{1}{5}

, כי

5 \times \frac{1}{5} = 1

אם ל-

0

היה הופכי, היינו צריכים מספר

x

כך ש-

0 \times x = 1

. אבל

0

כפול כל מספר הוא תמיד

0

, ולא

1

. לכן ל-0 אין הופכי, ואי אפשר לחלק בו.

0 חלקי מספר - זה כן מוגדר!

מגבלות בביטויים אלגבריים

כשיש משתנה במכנה, חייבים לבדוק אילו ערכים אסורים - אלה שהופכים את המכנה לאפס.

מציאת ערכים אסורים

$\frac{5}{x - 3}$

המכנה שווה ל- $0$ כאשר $x = 3$ .
הביטוי מוגדר עבור $x \neq = 3$ .

$\frac{10}{2 x - 6}$

המכנה שווה ל- $0$ כאשר $2 x = 6$ , כלומר $x = 3$ .
הביטוי מוגדר עבור $x \neq = 3$ .

$\frac{x}{x + 1}$

המכנה שווה ל- $0$ כאשר $x = - 1$ .
הביטוי מוגדר עבור $x \neq = - 1$ .

$\frac{100}{x}$

המכנה שווה ל- $0$ כאשר $x = 0$ .
הביטוי מוגדר עבור $x \neq = 0$ .

בעיות מעשיות

תמונה הממחישה את העובדה שחילוק באפס אינו מוגדר בעזרת חלוקה לשום משתתף — חלוקה באפס אינה שאלה בעלת משמעות, אבל אפס שמחולק למספר שאינו אפס שווה לאפס.

מדוע $5 \div 0$ לא מוגדר?

עבור אילו ערכי $x$ הביטוי $\frac{10}{x - 5}$ לא מוגדר?

האם $0 \div 0 = 1$ ? הסבירו.

סיכום: מה מוגדר ומה לא?

ביטוי	מוגדר?	תוצאה
$0 \div 5$	כן	$0$
$5 \div 0$	לא	לא מוגדר
$0 \div 0$	לא	לא מוגדר
$5 \div 1$	כן	$5$
$0 \times 5$	כן	$0$
$\frac{10}{x - 3}$ כאשר $x = 3$	לא	המכנה שווה ל- $0$

הכלל: חילוק באפס לעולם לא מוגדר. חלוקה של $0$ במספר שאינו $0$ שווה ל- $0$ .

תרגילים כתובים

תרגיל

תרגיל 1 - בסיסי

החליטו: איזה מהביטויים מוגדר ואיזה לא? כתבו את התוצאה או 'לא מוגדר'.

\frac{0}{7}, \frac{7}{0}, \frac{0}{0}

תרגיל

תרגיל 2 - ביניים (מציאת ערכים אסורים)

מצאו עבור אילו ערכי $x$ הביטוי לא מוגדר:

\frac{8}{2 x - 10}

תרגיל

תרגיל 3 - אתגר (שני ערכים אסורים)

מצאו את כל ערכי $x$ שאסורים בביטוי:

\frac{10}{x ^{2} - 9}

תרגול אינטראקטיבי

עכשיו מתרגלים עם משוב מיידי: קודם מחליטים מה מוגדר ומה לא, ואז פותרים משוואות קצרות כדי למצוא ערכים אסורים.

0 ÷ 0 - גם לא מוגדר, אבל אחרת

$0 \div 0$ הוא מקרה מיוחד - גם הוא לא מוגדר, אבל מסיבה אחרת.

\frac{5}{0} = לא מוגדר \frac{0}{0} = לא מוגדר

בשני המקרים הביטוי לא מוגדר - אבל ב- $\frac{5}{0}$ אין פתרון, וב- $\frac{0}{0}$ יש יותר מדי אפשרויות.

התקרבות לאפס משני הכיוונים

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהו $\frac{0}{5}$ ?

0
לא מוגדר
1
5

2.מדוע $\frac{5}{0}$ אינו מוגדר?

כי התוצאה שלילית
כי 0 זוגי
כי 0 קטן מדי
כי אין מספר שכפול 0 נותן 5

3.מהו $\frac{0}{0}$ ?

1
לא מוגדר (בלתי קבוע)
אינסוף
0

4.מה מהבאים מוגדר?

$\frac{7}{0}$
כולם מוגדרים
$\frac{0}{0}$
$\frac{0}{7}$

5.מה קורה לביטוי $\frac{10}{x}$ כאשר x מתקרב ל-0?

הביטוי מתקרב ל-10
הביטוי מתקרב ל-0
הביטוי נשאר קבוע
הביטוי גדל ללא הגבלה

6.עבור אילו ערכי x הביטוי $\frac{5}{x - 3}$ אינו מוגדר?

$x = 0$
$x = - 3$
$x = 3$
$x = 5$

7.בתכנות, קוד מבצע $a \div b$ . מה חייב לבדוק לפני?

שהתוצאה שלמה
שהמחלק b אינו אפס
שום דבר, תוכנות מטפלות בזה אוטומטית
שהמונה a חיובי

8.האם $\frac{0}{0} = 1$ כי 'כל מספר חלקי עצמו שווה 1'?

לא, הכלל $\frac{a}{a} = 1$ תקף רק כאשר $a \neq = 0$
לא, $\frac{0}{0} = 0$
כן, $\frac{0}{0} = 1$
כן, כי אפס חלקי אפס זה אחד

השאלה הגדולה

שלוש דרכים להסביר

דרך 1: חילוק כהיפוך של כפל

חילוק = היפוך כפל

12÷3=?

12÷0=?

דרך 2: מה קורה כשמתקרבים לאפס?

מה קורה כשהמחלק מתקרב ל-0 משני הכיוונים?

הוכחה בסתירה: למה 5 ÷ 0 לא יכול להיות מספר

גרף y = 10/x - האסימפטוטה ב-x=0

דרך 3: למה ל-0 אין הופכי?

0 חלקי מספר - זה כן מוגדר!

מגבלות בביטויים אלגבריים

מציאת ערכים אסורים

x−35​

2x−610​

x+1x​

x100​

בעיות מעשיות

סיכום: מה מוגדר ומה לא?

תרגילים כתובים

תרגיל 1 - בסיסי

תרגיל 2 - ביניים (מציאת ערכים אסורים)

תרגיל 3 - אתגר (שני ערכים אסורים)

תרגול אינטראקטיבי

0 ÷ 0 - גם לא מוגדר, אבל אחרת

התקרבות לאפס משני הכיוונים

$12 \div 3 = ?$

$12 \div 0 = ?$

$\frac{5}{x - 3}$

$\frac{10}{2 x - 6}$

$\frac{x}{x + 1}$

$\frac{100}{x}$