חילוק באפס

Q: ומה לגבי 0 ÷ 0?

אם 12 \div 0 לא מוגדר כי אין מספר שמקיים 0 \times? = 12, מה עם 0 \div 0? הבעיה הפוכה: 0 \times? = 0 מתקיים עבור כל מספר. זה יכול להיות 1, 7, 1000, או כל מספר אחר. תוצאה שיכולה להיות הרבה תשובות שונות אינה תשובה ברורה, ולכן גם 0 \div 0 לא מוגדר.

Q: חלוקה ל-0 אנשים?

בעיה: יש 20 שקלים ורוצים לחלק אותם ל-0 אנשים. כמה כל אחד מקבל? תשובה: השאלה חסרת משמעות. אם אין אנשים, אין למי לחלק. לכן חלוקה באפס אינה הגיונית בהקשר הזה.

Q: מדוע 5 \div 0 לא מוגדר?

כי אין מספר שמקיים 0 \times? = 5. 0 \times (\text) = 0, ולא 5.

Q: עבור אילו ערכי x הביטוי \frac לא מוגדר?

כאשר x = 5, המכנה הופך ל-0: 5 - 5 = 0. לכן הביטוי מוגדר עבור x \neq 5.

Q: האם 0 \div 0 = 1? הסבירו.

לא. אם 0 \div 0 = 1, אז מתקבל 0 \times 1 = 0. זה נכון, אבל גם 0 \times 7 = 0, ולכן באותו היגיון היה אפשר לטעון ש-0 \div 0 = 7. אין תשובה יחידה, ולכן הביטוי לא מוגדר.

Q: חושבים רגע: האם אפשר לחלק פיצה לאפס אנשים?

אם יש פיצה ואין אף אחד - למי היא שייכת? זו לא שאלה של 0 עוגיות לכל אחד. זו שאלה של חלוקה בלי קבוצה שמקבלת את החלקים. זו בדיוק הבעיה של 5 \div 0: אי אפשר לחלק משהו בלא כלום.

Q: מהו 0 ÷ 0 - גם לא מוגדר, אבל אחרת?

0 \div 0 הוא מקרה מיוחד - גם הוא לא מוגדר, אבל מסיבה אחרת. \frac לא מוגדר כי אין מספר שמקיים 0 \cdot x = 5. אבל \frac לא מוגדר כי כל מספר מקיים 0 \cdot x = 0. אם היינו אומרים ש-0 \div 0 = 1, זה היה מתאים. אבל גם 0 \div 0 = 7 היה מתאים, וגם 0 \div 0 = 100. כשאין תשובה יחידה, הביטוי לא מוגדר. בשני המקרים הביטוי לא מוגדר - אבל ב-\frac אין פתרון, וב-\frac יש יותר מדי אפשרויות.

למה זה אחד הכללים הכי מוכרים במתמטיקה?

השאלה הגדולה

מה זה

12 \div 0

? נראה כמו שאלה פשוטה, אבל התשובה מפתיעה: אין תשובה. החילוק הזה פשוט לא מוגדר.

זה לא שהתשובה היא 0, ולא שהתשובה היא אינסוף. הביטוי

12 \div 0

חסר משמעות מתמטית, כמו לשאול "מה הצבע של המספר 5?" - השאלה עצמה לא מתאימה למתמטיקה.

הכלל הבסיסי - חילוק באפס לא מוגדר

\frac{a}{0} לא מוגדר עבור כל a

(1)

אבל: אפס חלקי מספר = אפס

\frac{0}{a} = 0 (a \neq = 0)

(2)

רעיון חשוב - זה לא אינסוף

כשמחלקים במספרים שמתקרבים ל-0, התוצאה יכולה לגדול מאוד בערך מוחלט. אבל גם אם הערכים נהיים ענקיים, עדיין אי אפשר להציב ממש $0$ במכנה. לכן לא אומרים שהתשובה היא אינסוף, אלא שהביטוי לא מוגדר.

שלוש דרכים להסביר

דרך 1: חילוק כהיפוך של כפל

חילוק הוא הפעולה ההפוכה של כפל. כשאומרים $12 \div 3 = 4$ , הכוונה ש- $3 \times 4 = 12$ .

חילוק = היפוך כפל

$12 \div 3 = ?$

שואלים: איזה מספר, כשמכפילים אותו ב- $3$ , מקבלים $12$ ?
תשובה: 4, כי $3 \times 4 = 12$ .

$12 \div 0 = ?$

שואלים: איזה מספר, כשמכפילים אותו ב- $0$ , מקבלים $12$ ?
אבל $0 \times (כל מספר) = 0$ , ולא $12$ .
אין מספר כזה, ולכן הביטוי לא מוגדר.

ומה לגבי 0 ÷ 0?

אם $12 \div 0$ לא מוגדר כי אין מספר שמקיים $0 \times ? = 12$ , מה עם $0 \div 0$ ?

הבעיה הפוכה: $0 \times ? = 0$ מתקיים עבור כל מספר. זה יכול להיות $1$ , $7$ , $1000$ , או כל מספר אחר.

תוצאה שיכולה להיות הרבה תשובות שונות אינה תשובה ברורה, ולכן גם $0 \div 0$ לא מוגדר.

דרך 2: מה קורה כשמתקרבים לאפס?

בואו נראה מה קורה כשמחלקים $10$ במספרים שמתקרבים ל- $0$ מימין ומשמאל:

מה קורה כשהמחלק מתקרב ל-0 משני הכיוונים?

ביטוי	ערך המחלק	תוצאה
$10 \div 1$	$1$	$10$
$10 \div 0.1$	$0.1$	$100$
$10 \div 0.01$	$0.01$	$1, 000$
$10 \div (- 0.1)$	$- 0.1$	$- 100$
$10 \div (- 0.01)$	$- 0.01$	$- 1, 000$
$10 \div 0$	$0$	לא מוגדר

* כשמתקרבים ל-0 מימין התוצאה גדלה לכיוון $+ \infty$ , וכשמתקרבים ל-0 משמאל היא קטנה לכיוון $- \infty$ .

התוצאה יכולה לגדול מאוד או לקטון מאוד, אבל לעולם לא מקבלים ערך עבור $10 \div 0$ . אינסוף אינו מספר, ולכן אי אפשר לומר שהחילוק שווה אינסוף. הוא פשוט לא מוגדר.

הוכחה בסתירה: למה 5 ÷ 0 לא יכול להיות מספר

נניח בשלילה שקיים מספר

k

כך ש-

\frac{5}{0} = k

טוען סימולציה...

גרף y = 10/x - האסימפטוטה ב-x=0

דרך 3: למה ל-0 אין הופכי?

לכל מספר, חוץ מ- $0$ , יש מספר הופכי: מספר שכאשר מכפילים אותו במספר המקורי מקבלים $1$ . למשל, ההופכי של $5$ הוא $\frac{1}{5}$ , כי $5 \times \frac{1}{5} = 1$ .

אם ל- $0$ היה הופכי, היינו צריכים מספר $x$ כך ש- $0 \times x = 1$ . אבל $0$ כפול כל מספר הוא תמיד $0$ , ולא $1$ . לכן ל-0 אין הופכי, ואי אפשר לחלק בו.

0 חלקי מספר - זה כן מוגדר!

אל תבלבלו!

$0 \div 5 = 0$ - זה בסדר גמור. אם מחלקים $0$ עוגיות ל- $5$ ילדים, כל ילד מקבל $0$ .

בדיקה: $5 \times 0 = 0$ .

הכלל: $\frac{0}{a} = 0$ לכל $a \neq = 0$ .

אבל $\frac{a}{0}$ לא מוגדר.

מגבלות בביטויים אלגבריים

כשיש משתנה במכנה, חייבים לבדוק אילו ערכים אסורים - אלה שהופכים את המכנה לאפס.

מציאת ערכים אסורים

$\frac{5}{x - 3}$

המכנה שווה ל- $0$ כאשר $x = 3$ .
הביטוי מוגדר עבור $x \neq = 3$ .

$\frac{10}{2 x - 6}$

המכנה שווה ל- $0$ כאשר $2 x = 6$ , כלומר $x = 3$ .
הביטוי מוגדר עבור $x \neq = 3$ .

$\frac{x}{x + 1}$

המכנה שווה ל- $0$ כאשר $x = - 1$ .
הביטוי מוגדר עבור $x \neq = - 1$ .

$\frac{100}{x}$

המכנה שווה ל- $0$ כאשר $x = 0$ .
הביטוי מוגדר עבור $x \neq = 0$ .

$math/020-math book$ בעיות מעשיות

חלוקה ל-0 אנשים?

בעיה: יש $20$ שקלים ורוצים לחלק אותם ל- $0$ אנשים. כמה כל אחד מקבל?

תשובה: השאלה חסרת משמעות. אם אין אנשים, אין למי לחלק. לכן חלוקה באפס אינה הגיונית בהקשר הזה.

תמונה הממחישה את העובדה שחילוק באפס אינו מוגדר בעזרת חלוקה לשום משתתף — חלוקה באפס אינה שאלה בעלת משמעות, אבל אפס שמחולק למספר שאינו אפס שווה לאפס.

שאלה לחשיבה

מדוע $5 \div 0$ לא מוגדר?

כי אין מספר שמקיים $0 \times ? = 5$ .
$0 \times (כל מספר) = 0$ , ולא $5$ .

שאלה לחשיבה

עבור אילו ערכי $x$ הביטוי $\frac{10}{x - 5}$ לא מוגדר?

כאשר $x = 5$ , המכנה הופך ל- $0$ : $5 - 5 = 0$ .
לכן הביטוי מוגדר עבור $x \neq = 5$ .

שאלה לחשיבה

האם $0 \div 0 = 1$ ? הסבירו.

לא. אם $0 \div 0 = 1$ , אז מתקבל $0 \times 1 = 0$ . זה נכון, אבל גם $0 \times 7 = 0$ , ולכן באותו היגיון היה אפשר לטעון ש- $0 \div 0 = 7$ . אין תשובה יחידה, ולכן הביטוי לא מוגדר.

סיכום: מה מוגדר ומה לא?

ביטוי	מוגדר?	תוצאה
$0 \div 5$	כן	$0$
$5 \div 0$	לא	לא מוגדר
$0 \div 0$	לא	לא מוגדר
$5 \div 1$	כן	$5$
$0 \times 5$	כן	$0$
$\frac{10}{x - 3}$ כאשר $x = 3$	לא	המכנה שווה ל- $0$

* הכלל: חילוק באפס לעולם לא מוגדר. חלוקה של $0$ במספר שאינו $0$ שווה ל- $0$ .

תרגילים כתובים

תרגיל 1 - בסיסי

בסיסי

החליטו: איזה מהביטויים מוגדר ואיזה לא? כתבו את התוצאה או 'לא מוגדר'.

\frac{0}{7}, \frac{7}{0}, \frac{0}{0}

תרגיל 2 - ביניים (מציאת ערכים אסורים)

בינוני

מצאו עבור אילו ערכי $x$ הביטוי לא מוגדר:

\frac{8}{2 x - 10}

תרגיל 3 - אתגר (שני ערכים אסורים)

מאתגר

מצאו את כל ערכי $x$ שאסורים בביטוי:

\frac{10}{x ^{2} - 9}

תרגול אינטראקטיבי

עכשיו מתרגלים עם משוב מיידי: קודם מחליטים מה מוגדר ומה לא, ואז פותרים משוואות קצרות כדי למצוא ערכים אסורים.

טוען סימולציה...

חושבים רגע: האם אפשר לחלק פיצה לאפס אנשים?

אם יש פיצה ואין אף אחד - למי היא שייכת? זו לא שאלה של $0$ עוגיות לכל אחד. זו שאלה של חלוקה בלי קבוצה שמקבלת את החלקים. זו בדיוק הבעיה של $5 \div 0$ : אי אפשר לחלק משהו בלא כלום.

0 ÷ 0 - גם לא מוגדר, אבל אחרת

$0 \div 0$ הוא מקרה מיוחד - גם הוא לא מוגדר, אבל מסיבה אחרת.

$\frac{5}{0}$ לא מוגדר כי אין מספר שמקיים $0 \cdot x = 5$ .

אבל $\frac{0}{0}$ לא מוגדר כי כל מספר מקיים $0 \cdot x = 0$ .

אם היינו אומרים ש- $0 \div 0 = 1$ , זה היה מתאים. אבל גם $0 \div 0 = 7$ היה מתאים, וגם $0 \div 0 = 100$ . כשאין תשובה יחידה, הביטוי לא מוגדר.

\frac{5}{0} = לא מוגדר \frac{0}{0} = לא מוגדר

בשני המקרים הביטוי לא מוגדר - אבל ב- $\frac{5}{0}$ אין פתרון, וב- $\frac{0}{0}$ יש יותר מדי אפשרויות.

התקרבות לאפס משני הכיוונים

אינסוף (הסימן: ∞) הוא לא מספר - הוא מושג. אי אפשר לחבר אותו, לחסר אותו, או לכפול בו כמו מספר רגיל. הוא מתאר "גדול ללא גבול".

במתמטיקה מתקדמת (חשבון אינפיניטסימלי), לומדים לעבוד עם "גבולות" - מה קורה כשמתקרבים לאינסוף. אבל זה לא אותו דבר כמו להגיד "התשובה היא אינסוף".

שאלה 1 מתוך 8

מדוע $\frac{5}{0}$ אינו מוגדר?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקחילוק המחלק בפרקאיברים נייטרליים והופכיים קשורכינוס איברים דומים - חיסור קשורסדר פעולות עם מכוונים כיתה ח׳מספר רציונלי ואי-רציונאלי

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של חילוק באפס כבר מוכן.

פתחו תרגול

חילוק באפס

השאלה הגדולה

רעיון חשוב - זה לא אינסוף

שלוש דרכים להסביר

דרך 1: חילוק כהיפוך של כפל

חילוק = היפוך כפל

12÷3=?

12÷0=?

ומה לגבי 0 ÷ 0?

דרך 2: מה קורה כשמתקרבים לאפס?

מה קורה כשהמחלק מתקרב ל-0 משני הכיוונים?

הוכחה בסתירה: למה 5 ÷ 0 לא יכול להיות מספר

דרך 3: למה ל-0 אין הופכי?

0 חלקי מספר - זה כן מוגדר!

אל תבלבלו!

מגבלות בביטויים אלגבריים

מציאת ערכים אסורים

x−35​

2x−610​

x+1x​

x100​

בעיות מעשיות

חלוקה ל-0 אנשים?

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

סיכום: מה מוגדר ומה לא?

תרגילים כתובים

תרגיל 1 - בסיסי

תרגיל 2 - ביניים (מציאת ערכים אסורים)

תרגיל 3 - אתגר (שני ערכים אסורים)

תרגול אינטראקטיבי

חושבים רגע: האם אפשר לחלק פיצה לאפס אנשים?

0 ÷ 0 - גם לא מוגדר, אבל אחרת

מה "אינסוף" באמת?

מדוע 05​ אינו מוגדר?