גרסת הדפסה | החוברת

כפתור הביטול של המתמטיקה

איברים שלא משנים ואיברים שמבטלים

דמיינו תוכנת עריכה. לכל פעולה יש כפתור ביטול שמחזיר את המצב הקודם. במתמטיקה יש רעיון דומה: לכל פעולה יש פעולה שיכולה לבטל אותה, וזה הרעיון של איבר הופכי.

איבר נייטרלי: 0 הוא הנייטרלי בחיבור, ו-1 הוא הנייטרלי בכפל.
הופכי חיבורי: המספר שכשמחברים אותו עם מספר אחר מקבלים 0.
הופכי כפלי: המספר שכשכופלים אותו במספר אחר מקבלים 1.

האיבר הנייטרלי

0 - נייטרלי בחיבור

a + 0 = a

0 + a = a

חיבור 0 לא משנה את המספר.

דוגמה:

17 + 0 = 17

1 - נייטרלי בכפל

a \cdot 1 = a

1 \cdot a = a

כפל ב-1 לא משנה את המספר.

דוגמה:

25 \cdot 1 = 25

איבר נייטרלי בחיבור

a + 0 = a

איבר נייטרלי בכפל

a \cdot 1 = a

האיבר ההופכי

הופכי חיבורי (נגדי)

a + (- a) = 0

הנגדי של

a

הוא

- a

.

דוגמאות:

5 + (- 5) = 0

(- 3) + 3 = 0

הופכי כפלי

a \cdot \frac{1}{a} = 1 (a \neq = 0)

דוגמאות:

5 \cdot \frac{1}{5} = 1

\frac{1}{3} \cdot 3 = 1

הופכי חיבורי (נגדי)

a + (- a) = 0

הופכי כפלי

a \cdot \frac{1}{a} = 1 (a \neq = 0)

דוגמה פתורה - מציאת הופכיים

מצאו את הנגדי וההופכי הכפלי של כל אחד

מצאונגדיוהופכישל : m 3, - 5, \frac{1}{2}, 0 / m

הנגדי של 3: נחפש $x$ כך ש- $3 + x = 0$
$x = - 3 \Rightarrow 3 + (- 3) = 0$
הנגדי של $- 5$ : נחפש $y$ כך ש- $(- 5) + y = 0$
$y = 5 \Rightarrow (- 5) + 5 = 0$
הנגדי של $\frac{1}{2}$ : נחפש $t$ כך ש- $\frac{1}{2} + t = 0$
$t = - \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} + (- \frac{1}{2}) = 0$
ההופכי הכפלי של 3: נחפש $z$ כך ש- $3 \cdot z = 1$
$z = \frac{1}{3} \Rightarrow 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$
ההופכי הכפלי של $- 5$ : נחפש $u$ כך ש- $(- 5) \cdot u = 1$
$u = - \frac{1}{5} \Rightarrow (- 5) \cdot (- \frac{1}{5}) = 1$
ההופכי הכפלי של $\frac{1}{2}$ : מחפשים מספר שכאשר כופלים בו חוזרים ל-1
$\frac{1}{2} \cdot 2 = 1$
ל-0 אין הופכי כפלי - אין $x$ כך ש- $0 \cdot x = 1$
$0 \cdot x = 0 \neq = 1 לכל x$

תשובה:

נגדישל3 : - 3; נגדישל - 5 : 5; נגדישל1/2 : - 1/2; נגדישל0 : 0; הופכישל3 : 1/3; הופכישל - 5 : - 1/5; הופכישל1/2 : 2; ל - 0איןהופכיכפלי

נגדיים על ציר המספרים

למה ל-0 אין הופכי כפלי?

השאלה שמסבירה למה ל-0 אין הופכי כפלי.

חלוקה ב-0 לא מוגדרת כי ל-0 אין הופכי כפלי.

בחיים: כפתור הביטול בתוכנה

הופכיים הם הבסיס של פעולת הביטול בתוכנות.

הופכיים הם הכלי שמאפשר לבטל פעולה ולחזור לנקודת ההתחלה.

תחנת אימון אינטראקטיבית

כאן מתרגלים בשלושה מסלולים: זיהוי מהיר של האיבר המתאים, עבודה על ציר המספרים, ופתרון משוואות בעזרת איברים הופכיים.

תרגילים כתובים

תרגיל

תרגיל 1

מצאו את הנגדי (הופכי חיבורי) ואת ההופכי הכפלי של $7$ .

תרגיל

תרגיל 2

מצאו את ההופכי הכפלי של $\frac{3}{4}$ .

תרגיל

תרגיל 3 - פתרון משוואה בעזרת הופכיים

פתרו בעזרת הנגדי החיבורי:

x + 7 = 0

תרגיל

תרגיל 4 - שאלת הבנה

מדוע $0$ לא יכול לקבל הופכי כפלי? הביאו הוכחה קצרה.

מהו הנגדי וההופכי הכפלי של $1$ ?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהו האיבר הנייטרלי בחיבור?

0
1
2
-1

2.מהו האיבר הנייטרלי בכפל?

2
-1
1
0

3.מהו ההופכי הכפלי של 5?

0
-5
$\frac{1}{5}$
5

4.מהו הנגדי (ההופכי החיבורי) של 7?

-7
0
7
$\frac{1}{7}$

5. $a \times 0 = ?$

0
a
1
לא מוגדר

6.מדוע ל-0 אין הופכי כפלי?

כי 0 שלילי
כי ההופכי הוא אינסוף
כי $0 \times x = 1$ אין לה פתרון
ל-0 יש הופכי כפלי

7.מי מהבאים הוא זוג הופכיים חיבוריים?

$3$ ו- $3$
$3$ ו- $- 3$
$3$ ו- $\frac{1}{3}$
$3$ ו- $0$

8.פתרו: $x + 7 = 0$ . איזה עקרון השתמשתם?

$x = \frac{1}{7}$ - ההופכי הכפלי
$x = 7$ - הנגדי הוא חיובי
$x = - 7$ - הנגדי החיבורי של 7
$x = 0$ - אפס הנגדי