גרסת הדפסה | החוברת

למה חזקות גדלות כל כך מהר - ומה זה אומר בחיים האמיתיים

הכוח המפתיע של חזקות

יש אגדה על ממציא השחמט שביקש מהמלך גמול: גרגיר חיטה אחד במשבצת הראשונה, שניים בשנייה, ארבעה בשלישית, ושמונה ברביעית - כפול בכל משבצת. המלך הסכים בשמחה, כי זה נשמע מעט. אבל בלוח שחמט יש 64 משבצות, ובמשבצת האחרונה: 2⁶³ = כ-9.2 קווינטיליון גרגירי חיטה - יותר מכל יבול החיטה של כדור הארץ.

סיפור השחמט ממחיש כלל יסודי: כשכופלים במקום לחבר, המספרים נעשים עצומים בקצב מסחרר. זה הכוח של הגידול החזקתי.

מה נבין: למה חזקות גדלות הרבה יותר מהר מכפל
דוגמאות מהחיים: חיידקים, מגפות, ריבית דריבית, קיפולי נייר
תחושה: איך מספרים עצומים נוצרים ממספרים קטנים

ליניארי מול חזקתי: שתי צורות של גידול

מה ההבדל בין גידול ליניארי (קבוע) לגידול חזקתי (מכפיל)? בגידול ליניארי מוסיפים אותו מספר בכל שלב. בגידול חזקתי כופלים בכל שלב. זה הבדל קטן במילים - אבל עצום בתוצאה.

גידול ליניארי

f (n) = a \cdot n + b

גידול חזקתי

f (n) = a \cdot r^{n}

השוואה: +10 בכל שלב מול כפול 2 בכל שלב

שלב	ליניארי (+10)	חזקתי (2ⁿ)
1	10	2
2	20	4
3	30	8
4	40	16
5	50	32
6	60	64
7	70	128
8	80	256
9	90	512
10	100	1,024

אחרי 10 שלבים: ליניארי הגיע ל-100, חזקתי ל-1,024. ההפרש רק גדל!

מירוץ: ליניארי נגד חזקתי

שימו לב: בהתחלה הגידול הליניארי נראה גדול יותר (10 מול 2), אבל מהר מאוד הגידול החזקתי עוקף אותו. אחרי 20 שלבים הליניארי יהיה 200, אבל החזקתי יהיה 2²⁰ = 1,048,576 - יותר ממיליון!

כפל תאים: גידול חזקתי בביולוגיה

תא אחד הופך למיליון

חיידקים מתרבים בחלוקה - כל תא מתחלק לשניים.

זו הסיבה שזיהום חיידקי יכול להתפשט מהר מאוד - וגם למה הגוף שלנו צריך מערכת חיסון חזקה.

כמה חלוקות עד שיש יותר ממיליון חיידקים?

2^{n} > 1, 000, 000 ?

ננסה n = 10
$2^{10} = 1, 024$
עדיין רחוק ממיליון. ננסה n = 15
$2^{15} = 32, 768$
קרוב יותר, אך עדיין לא. ננסה n = 20
$2^{20} = 1, 048, 576$
עברנו את המיליון! נבדוק אם n = 19 מספיק
$2^{19} = 524, 288 < 1, 000, 000$

תשובה:

n = 20

התפשטות מגפה: כוח R

במגפות משתמשים במספר שנקרא R0 - כמה אנשים בממוצע מדביק כל חולה. אם R0 = 3, דמיינו מחלה שבה כל חולה מדביק 3 אנשים בכל יום:

יום 0

1 חולה

יום 3

3^{3} =

27 חולים

יום 10

3¹⁰ = 59,049 חולים!

מאדם אחד - כמעט 60,000 חולים תוך 10 ימים בלבד. זו הסיבה שבמגפות חשוב לפעול מהר: הגידול מעריכי הופך כל יום של עיכוב לקריטי.

ריבית דריבית: חזקות בכלכלה

כשמשקיעים כסף בבנק עם ריבית שנתית, בשנה השנייה הריבית חלה גם על הריבית של השנה הראשונה. זה מה שנקרא ריבית דריבית - וזה גידול חזקתי.

נוסחת ריבית דריבית

A = P \cdot (1 + r)^{n}

כאשר P הוא הסכום ההתחלתי, r הוא שיעור הריבית (כשבר), ו-n הוא מספר השנים.

1,000 שקלים ב-10% ריבית שנתית, אחרי 5 שנים

A = 1000 \cdot (1 + 0.1)^{5}

נציב: 1 + 0.1 = 1.1
$A = 1000 \cdot 1. 1^{5}$
נחשב 1.1² = 1.21
$1. 1^{2} = 1.21$
נחשב 1.1⁴ = 1.21²
$1. 1^{4} = 1.2 1^{2} = 1.4641$
נכפול ב-1.1 לקבל 1.1⁵
$1. 1^{5} = 1.4641 \cdot 1.1 \approx 1.6105$
נכפול ב-1000
$A = 1000 \cdot 1.6105 \approx 1610.5$

תשובה:

m A \approx 1, 610.5 / m ש"ח

גידול השקעה ב-10% ריבית שנתית

תרגול: גידול חזקתי

תרגיל

חיידק מתחלק כל שעה

חיידק אחד מתחלק לשניים כל שעה. כמה חיידקים יהיו אחרי 6 שעות?

N (t) = 2^{t}

תרגיל

סכום גרגירי חיטה על 10 משבצות

כמה גרגירי חיטה יש בסך הכל על 10 המשבצות הראשונות של לוח השחמט (1, 2, 4, ..., 2⁹)?

S = 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{9}

תרגיל

אחרי כמה שנים ההשקעה מוכפלת?

השקעת 500 שקלים בריבית שנתית של 20%. אחרי כמה שנים תהיה לך יותר מ-1,000 שקלים?

500 \cdot 1. 2^{n} > 1000

מספרים גדולים מאוד

סדרי גודל מעריכיים

10⁶ = מיליון

שש ספרות

10⁹ = מיליארד

תשע ספרות

10¹² = טריליון

שתים-עשרה ספרות

סכום חזקות השחמט

k = 0 \sum 63 2^{k} = 2^{64} - 1

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.אם חיידק מתחלק כל שעה, כמה חיידקים יהיו אחרי 5 שעות מחיידק אחד?

2.איזה מהבאים גדל מהר יותר כשהמספרים גדלים - 2n או 2ⁿ?

2n תמיד גדול יותר
2ⁿ עוקף את 2n בסופו של דבר
הם שווים
2n תמיד עוקף

3.בתנובה שמכפילה כל 5 שנים, כמה עצים אחרי 15 שנים מעץ אחד?

6 עצים
8 עצים
15 עצים
30 עצים

4.השקעה של 1,000 שקלים עם ריבית דריבית 100% בשנה. כמה כסף אחרי 3 שנים?

3,000 שקלים
4,000 שקלים
8,000 שקלים
6,000 שקלים

5.מהו הגידול שמתקבל אחרי 10 שלבים של הכפלה שמתחילה מ-1?

10
100
512
1,024