הגידול החזקתי
למה חזקות גדלות כל כך מהר - ומה זה אומר בחיים האמיתיים
הכוח המפתיע של חזקות
ליניארי מול חזקתי: שתי צורות של גידול
מה ההבדל בין גידול ליניארי (קבוע) לגידול חזקתי (מכפיל)? בגידול ליניארי מוסיפים אותו מספר בכל שלב. בגידול חזקתי כופלים בכל שלב. זה הבדל קטן במילים - אבל עצום בתוצאה.
גידול ליניארי
גידול חזקתי
השוואה: +10 בכל שלב מול כפול 2 בכל שלב
| שלב | ליניארי (+10) | חזקתי (2ⁿ) |
|---|---|---|
| 1 | 10 | 2 |
| 2 | 20 | 4 |
| 3 | 30 | 8 |
| 4 | 40 | 16 |
| 5 | 50 | 32 |
| 6 | 60 | 64 |
| 7 | 70 | 128 |
| 8 | 80 | 256 |
| 9 | 90 | 512 |
| 10 | 100 | 1,024 |
* אחרי 10 שלבים: ליניארי הגיע ל-100, חזקתי ל-1,024. ההפרש רק גדל!
מירוץ: ליניארי נגד חזקתי
שימו לב: בהתחלה הגידול הליניארי נראה גדול יותר (10 מול 2), אבל מהר מאוד הגידול החזקתי עוקף אותו. אחרי 20 שלבים הליניארי יהיה 200, אבל החזקתי יהיה 2²⁰ = 1,048,576 - יותר ממיליון!
טעות נפוצה: לזלזל בחזקות
הרבה אנשים רואים 2ⁿ ומעריכים מספר לא גדול. זה כי בתחילה 2¹ = 2 הוא קטן. אבל המעריך מזנק במהירות. זכרו: גידול חזקתי מאיץ בכל שלב, גידול ליניארי נוסע באותה מהירות.
כפל תאים: גידול חזקתי בביולוגיה
תא אחד הופך למיליון
חיידקים מתרבים בחלוקה - כל תא מתחלק לשניים.
מתחילים מתא אחד, וכל תא מתחלק בכל שלב. אחרי n חלוקות יש 2ⁿ תאים.
זו הסיבה שזיהום חיידקי יכול להתפשט מהר מאוד - וגם למה הגוף שלנו צריך מערכת חיסון חזקה.
כמה חלוקות עד שיש יותר ממיליון חיידקים?
שלב 1 מתוך 4ננסה n = 10
התפשטות מגפה: כוח R
במגפות משתמשים במספר שנקרא R0 - כמה אנשים בממוצע מדביק כל חולה. אם R0 = 3, דמיינו מחלה שבה כל חולה מדביק 3 אנשים בכל יום:
יום 0
1 חולה
יום 3
27 חולים
יום 10
3¹⁰ = 59,049 חולים!
מאדם אחד - כמעט 60,000 חולים תוך 10 ימים בלבד. זו הסיבה שבמגפות חשוב לפעול מהר: הגידול מעריכי הופך כל יום של עיכוב לקריטי.
ריבית דריבית: חזקות בכלכלה
כשמשקיעים כסף בבנק עם ריבית שנתית, בשנה השנייה הריבית חלה גם על הריבית של השנה הראשונה. זה מה שנקרא ריבית דריבית - וזה גידול חזקתי.
נוסחת ריבית דריבית
כאשר P הוא הסכום ההתחלתי, r הוא שיעור הריבית (כשבר), ו-n הוא מספר השנים.
1,000 שקלים ב-10% ריבית שנתית, אחרי 5 שנים
שלב 1 מתוך 5נציב: 1 + 0.1 = 1.1
גידול השקעה ב-10% ריבית שנתית
איינשטיין על ריבית דריבית
לפי האגדה, אלברט איינשטיין כינה את ריבית הדריבית "הפלא השמיני של העולם". הוא הוסיף: "מי שמבין אותה, מרוויח אותה. מי שלא - משלם אותה". הסוד? זמן - ככל שמשקיעים יותר זמן, הגידול מואץ.
תרגול: גידול חזקתי
חיידק מתחלק כל שעה
חיידק אחד מתחלק לשניים כל שעה. כמה חיידקים יהיו אחרי 6 שעות?
סכום גרגירי חיטה על 10 משבצות
כמה גרגירי חיטה יש בסך הכל על 10 המשבצות הראשונות של לוח השחמט (1, 2, 4, ..., 2⁹)?
אחרי כמה שנים ההשקעה מוכפלת?
השקעת 500 שקלים בריבית שנתית של 20%. אחרי כמה שנים תהיה לך יותר מ-1,000 שקלים?
מספרים גדולים מאוד
סדרי גודל מעריכיים
10⁶ = מיליון
שש ספרות
10⁹ = מיליארד
תשע ספרות
10¹² = טריליון
שתים-עשרה ספרות
סכום חזקות השחמט
כמה גדול 2⁶⁴?
(כ-18.4 קווינטיליון). אם כל גרגיר חיטה שוקל גרם אחד, סך הכל ישקול כ-18 מיליארד טון - יותר מכל היבול השנתי של העולם כולו. המלך ההודי הבין שהבטיח יותר ממה שיש בממלכה, וגם ביותר ממה שיש בעולם כולו.
שאלה מפורסמת: אם מקפלים נייר עבה 0.1 מ"מ בחצי שוב ושוב, אחרי כמה קיפולים העובי יגיע לירח? המרחק ממנו כ-384,400 ק"מ = 384,400,000,000 מ"מ.
בכל קיפול העובי מוכפל. אחרי n קיפולים העובי הוא 0.1 * 2ⁿ מ"מ. צריך למצוא את n הקטן ביותר שעבורו 0.1 * 2ⁿ > 384,400,000,000.
פתרון: 2ⁿ > 3.844 * 10¹². נחשב: 2⁴⁰ ≈ 10¹², 2⁴² ≈ 4.4 * 10¹². לכן רק 42 קיפולים מספיקים כדי להגיע לירח. המציאות? אי אפשר לקפל נייר יותר מ-8-10 פעמים - אבל המתמטיקה מרשימה.
לפי האגדה, ממציא משחק השחמט ביקש מהמלך ההודי שכר שנראה צנוע: גרגיר חיטה אחד במשבצת הראשונה, שניים בשנייה, ארבעה בשלישית - כפול בכל משבצת. הסכום הכולל של כל 64 המשבצות הוא 2⁰ + 2¹ + 2² + ... + 2⁶³ = 2⁶⁴ - 1. זה מספר בעל 20 ספרות. המלך הבין שאין לו מספיק חיטה בכל הממלכה - ויש גרסאות בהן הוא ציווה להוציא את הממציא להורג על חוצפתו.
