גרסת הדפסה | החוברת

מציאת צלעות, חישוב מרחקים, ושינוי קנה מידה

מתמטיקה פוגשת גיאומטריה

במודול הזה נראה איך חזקות ושורשים באים לידי ביטוי בגיאומטריה. נמצא צלעות של ריבועים וקוביות, נחשב מרחקים עם פיתגורס, נחשב שטחי טבעות (כמו של צינורות או דיסקים), ונגלה מה קורה כשמגדילים צורה.

מהשטח לצלע: שורש ריבועי למציאת צלע
מהנפח לצלע: שורש שלישי למציאת צלע קובייה
פיתגורס בחיים: סולמות, מרחקים, קונסטרוקציה
שטחי טבעת: חישובי שטחים מורכבים
שינוי קנה מידה: מה קורה לשטח ונפח כשמכפילים צלע

מציאת צלע ריבוע מנתון שטח

אם ידוע שטח הריבוע, מוצאים את הצלע באמצעות שורש ריבועי. זה אומר: השטח הוא חזקה (בריבוע), השורש הוא הפעולה ההפוכה.

שטח ריבוע

S = a^{2}

מהשטח לצלע

a = S

מציאת צלע ריבוע

שטח = 144 סמ"ר

צלע = $144 =$ 12 ס"מ

שטח = 225 סמ"ר

צלע = $225 =$ 15 ס"מ

שטח = 81 סמ"ר

צלע = $81 =$ 9 ס"מ

שטח = 196 סמ"ר

צלע = $196 =$ 14 ס"מ

מציאת צלע קובייה מנתון נפח

אם ידוע נפח הקובייה, מוצאים את הצלע באמצעות שורש שלישי (הפעולה ההפוכה לחזקה שלישית).

נפח קובייה

V = a^{3}

מהנפח לצלע

a = 3 V

מציאת צלע קובייה

a = 3343

ננסה מספרים בחזקה שלישית
$5^{3} = 125, 6^{3} = 216, 7^{3} = 343$
מצאנו: 7³ = 343
$3343 = 7$

תשובה:

m a = 7 / m ס"מ

בונים נפח שכבה אחר שכבה

לפני שמפעילים שורש שלישי, חשוב להבין מאיפה בכלל מגיע הנפח. הכלי הבא ממלא תיבה בקוביות יחידה ומראה איך הנפח נבנה משכבות של אורך × רוחב, שוב ושוב לאורך הגובה.

משפט פיתגורס - חישוב מרחקים

משפט פיתגורס הוא אחד הכלים החזקים ביותר בגיאומטריה. הוא מאפשר לחשב את הצלע השלישית במשולש ישר-זווית כשידועות שתי צלעות.

משפט פיתגורס

a^{2} + b^{2} = c^{2}

מציאת היתר

c = a^{2} + b^{2}

משולש ישר-זווית כללי

משולש ישר-זווית: a, b ניצבים; c היתר

הסולם והקיר: בעיה מהחיים

m c^{2} = a^{2} + b^{2} / m כאשר m c = 5 / m ו - m a = 3 / m

סולם באורך 5 מ' נשען על קיר. בסיסו 3 מ' מהקיר. נמצא עד איזה גובה הסולם מגיע
$b^{2} = c^{2} - a^{2}$
נציב את הערכים
$b^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9$
נחשב את ההפרש
$b^{2} = 16$
נחשב שורש
$b = 16 = 4$

תשובה:

m b = 4 / m מטר

שטחי טבעות: צורות מורכבות

טבעת (או בצורת מתמטית: טבעת אנולרית) היא אזור בין שני מעגלים קונצנטריים, או - בגרסה המרובעת - בין שני ריבועים. זה מופיע בהנדסה: חתך של צינורות, דיסקים של מכונות, ואפילו גלגלי אופניים. החישוב פשוט: שטח החיצוני מינוס שטח הפנימי.

שטח טבעת מעגלית

A = π (R^{2} - r^{2})

שטח טבעת ריבועית

A = a^{2} - b^{2}

טבעת ריבועית: חיצוני 10, פנימי 6

A = 1 0^{2} - 6^{2}

נחשב את שטחי הריבועים
$1 0^{2} = 100, 6^{2} = 36$
נחסר
$A = 100 - 36 = 64$

תשובה:

m 64 / m סמ"ר

שינוי קנה מידה: חזקה בפעולה

כשמגדילים או מקטינים צורה, השטח והנפח משתנים בצורה דרמטית. זה לא ליניארי - זה חזקתי!

השפעת שינוי צלע על שטח ונפח

שינוי צלע	שינוי שטח	שינוי נפח
$\times 2$	$\times 4 = 2^{2}$	$\times 8 = 2^{3}$
$\times 3$	$\times 9 = 3^{2}$	$\times 27 = 3^{3}$
$\times 4$	$\times 16 = 4^{2}$	$\times 64 = 4^{3}$
$\times 10$	$\times 100 = 1 0^{2}$	$\times 1, 000 = 1 0^{3}$

כלל: כשמכפילים צלע פי k, השטח גדל פי k² והנפח גדל פי k³.

תמונה הממחישה את השפעת שינוי קנה מידה על צלע שטח ונפח — כאשר הצלע מוכפלת פי 2, השטח מוכפל פי 4 והנפח מוכפל פי 8.

חוק שינוי קנה מידה

S^{'} = k^{2} S, V^{'} = k^{3} V

כלי שינוי קנה מידה

כאן אפשר לשנות את הממדים ואת גורם ההגדלה ולראות מיד מה קורה לאורך, לשטח, ולנפח. זה כלי גיאומטרי שאפשר להשתמש בו שוב גם בפרקי תיבות, נפחים, ודמיון.

דוגמה: מגדילים פי 3

ריבוע מקורי עם צלע 5 ס"מ. מגדילים פי 3.

כלל: שטח משתנה פי k², נפח משתנה פי k³.

תרגול

תרגיל

מציאת צלע ריבוע משטח

שטח ריבוע הוא 169 סמ"ר. מה אורך צלעו?

a = S

תרגיל

אלכסון מלבן

מלבן באורך 8 ס"מ וברוחב 6 ס"מ. מה אורך האלכסון?

תרגיל

שטח טבעת

יש לכם דיסק מרובע עם צלע 10 ס"מ, ובאמצע חור מרובע עם צלע 4 ס"מ. מה שטח המתכת?

A = a^{2} - b^{2}

תרגיל

מה קורה לשטח?

ריבוע עם שטח 16 סמ"ר. מכפילים את הצלע פי 5. מה שטח הריבוע החדש?

ריבוע עם שטח 225 סמ"ר. מה אורך צלעו?

אם נכפיל את צלע הריבוע פי 3, בכמה יגדל השטח?

קובייה עם נפח 343 סמ"ק. מה אורך צלעה?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.ריבוע עם שטח 225 סמ"ר. מה אורך צלעו?

15 ס"מ
112.5 ס"מ
225 ס"מ
50 ס"מ

2.קובייה עם נפח 343 סמ"ק. מה אורך צלעה?

7 ס"מ
343 ס"מ
171.5 ס"מ
49 ס"מ

3.משולש ישר-זווית עם ניצבים 7 ו-24. מה אורך היתר?

4.אם נכפיל את צלע הריבוע פי 3, בכמה יגדל השטח?

פי 3
פי 6
פי 9
פי 12

5.ההפרש בין שטח ריבוע 10 ס"מ לשטח ריבוע 6 ס"מ:

4 סמ"ר
64 סמ"ר
100 סמ"ר
40 סמ"ר