מהו דוגמה: מגדילים פי 3?

ריבוע מקורי עם צלע 5 ס"מ. מגדילים פי 3. ריבוע מקורי: צלע 5, שטח 5^ = 25 סמ"ר ריבוע מוגדל: צלע 15, שטח 15^ = 225 סמ"ר שטח חדש / שטח ישן = 225 / 25 = 9 = 3^ השטח גדל פי 9 כי השטח תלוי בריבוע הצלע. כלל: שטח משתנה פי k², נפח משתנה פי k³.

חזקות ושורשים בגיאומטריה

מציאת צלעות, חישוב מרחקים, ושינוי קנה מידה

מתמטיקה פוגשת גיאומטריה

במודול הזה נראה איך חזקות ושורשים באים לידי ביטוי בגיאומטריה. נמצא צלעות של ריבועים וקוביות, נחשב מרחקים עם פיתגורס, נחשב שטחי טבעות (כמו של צינורות או דיסקים), ונגלה מה קורה כשמגדילים צורה.

מהשטח לצלע

שורש ריבועי למציאת צלע

מהנפח לצלע

שורש שלישי למציאת צלע קובייה

פיתגורס בחיים

סולמות, מרחקים, קונסטרוקציה

שטחי טבעת

חישובי שטחים מורכבים

שינוי קנה מידה

מה קורה לשטח ונפח כשמכפילים צלע

מציאת צלע ריבוע מנתון שטח

אם ידוע שטח הריבוע, מוצאים את הצלע באמצעות שורש ריבועי. זה אומר: השטח הוא חזקה (בריבוע), השורש הוא הפעולה ההפוכה.

שטח ריבוע

S = a^{2}

מהשטח לצלע

a = S

מציאת צלע ריבוע

שטח = 144 סמ"ר

צלע = $144 =$ 12 ס"מ

שטח = 225 סמ"ר

צלע = $225 =$ 15 ס"מ

שטח = 81 סמ"ר

צלע = $81 =$ 9 ס"מ

שטח = 196 סמ"ר

צלע = $196 =$ 14 ס"מ

מציאת צלע קובייה מנתון נפח

אם ידוע נפח הקובייה, מוצאים את הצלע באמצעות שורש שלישי (הפעולה ההפוכה לחזקה שלישית).

נפח קובייה

V = a^{3}

מהנפח לצלע

a = 3 V

מציאת צלע קובייה

שלב 1 מתוך 2

a = 3343

ננסה מספרים בחזקה שלישית

5^{3} = 125, 6^{3} = 216, 7^{3} = 343

בונים נפח שכבה אחר שכבה

לפני שמפעילים שורש שלישי, חשוב להבין מאיפה בכלל מגיע הנפח. הכלי הבא ממלא תיבה בקוביות יחידה ומראה איך הנפח נבנה משכבות של אורך × רוחב, שוב ושוב לאורך הגובה.

טוען סימולציה...

משפט פיתגורס - חישוב מרחקים

משפט פיתגורס הוא אחד הכלים החזקים ביותר בגיאומטריה. הוא מאפשר לחשב את הצלע השלישית במשולש ישר-זווית כשידועות שתי צלעות.

משפט פיתגורס

a^{2} + b^{2} = c^{2}

מציאת היתר

c = a^{2} + b^{2}

משולש ישר-זווית כללי

משולש ישר-זווית: a, b ניצבים; c היתר

הסולם והקיר: בעיה מהחיים

שלב 1 מתוך 4

c^{2} = a^{2} + b^{2}

כאשר

c = 5

ו-

a = 3

סולם באורך 5 מ' נשען על קיר. בסיסו 3 מ' מהקיר. נמצא עד איזה גובה הסולם מגיע

b^{2} = c^{2} - a^{2}

שטחי טבעות: צורות מורכבות

טבעת (או בצורת מתמטית: טבעת אנולרית) היא אזור בין שני מעגלים קונצנטריים, או - בגרסה המרובעת - בין שני ריבועים. זה מופיע בהנדסה: חתך של צינורות, דיסקים של מכונות, ואפילו גלגלי אופניים. החישוב פשוט: שטח החיצוני מינוס שטח הפנימי.

שטח טבעת מעגלית

A = π (R^{2} - r^{2})

שטח טבעת ריבועית

A = a^{2} - b^{2}

טבעת ריבועית: חיצוני 10, פנימי 6

שלב 1 מתוך 2

A = 1 0^{2} - 6^{2}

נחשב את שטחי הריבועים

1 0^{2} = 100, 6^{2} = 36

שינוי קנה מידה: חזקה בפעולה

כשמגדילים או מקטינים צורה, השטח והנפח משתנים בצורה דרמטית. זה לא ליניארי - זה חזקתי!

השפעת שינוי צלע על שטח ונפח

שינוי צלע	שינוי שטח	שינוי נפח
$\times 2$	$\times 4 = 2^{2}$	$\times 8 = 2^{3}$
$\times 3$	$\times 9 = 3^{2}$	$\times 27 = 3^{3}$
$\times 4$	$\times 16 = 4^{2}$	$\times 64 = 4^{3}$
$\times 10$	$\times 100 = 1 0^{2}$	$\times 1, 000 = 1 0^{3}$

* כלל: כשמכפילים צלע פי k, השטח גדל פי k² והנפח גדל פי k³.

חוק שינוי קנה מידה

S^{'} = k^{2} S, V^{'} = k^{3} V

כלי שינוי קנה מידה

כאן אפשר לשנות את הממדים ואת גורם ההגדלה ולראות מיד מה קורה לאורך, לשטח, ולנפח. זה כלי גיאומטרי שאפשר להשתמש בו שוב גם בפרקי תיבות, נפחים, ודמיון.

טוען סימולציה...

דוגמה: מגדילים פי 3

ריבוע מקורי עם צלע 5 ס"מ. מגדילים פי 3.

ריבוע מקורי: צלע 5, שטח $5^{2} = 25$ סמ"ר
ריבוע מוגדל: צלע 15, שטח $1 5^{2} = 225$ סמ"ר

שטח חדש / שטח ישן = $225/25 = 9 = 3^{2}$

השטח גדל פי 9 כי השטח תלוי בריבוע הצלע.

כלל: שטח משתנה פי k², נפח משתנה פי k³.

תרגול

מציאת צלע ריבוע משטח

בסיסי

שטח ריבוע הוא 169 סמ"ר. מה אורך צלעו?

a = S

אלכסון מלבן

בינוני

מלבן באורך 8 ס"מ וברוחב 6 ס"מ. מה אורך האלכסון?

שטח טבעת

מאתגר

יש לכם דיסק מרובע עם צלע 10 ס"מ, ובאמצע חור מרובע עם צלע 4 ס"מ. מה שטח המתכת?

A = a^{2} - b^{2}

מה קורה לשטח?

בינוני

ריבוע עם שטח 16 סמ"ר. מכפילים את הצלע פי 5. מה שטח הריבוע החדש?

שאלה לחשיבה

ריבוע עם שטח 225 סמ"ר. מה אורך צלעו?

צלע = √225 = 15 ס"מ. בדיקה: 15² = 225.

שאלה לחשיבה

אם נכפיל את צלע הריבוע פי 3, בכמה יגדל השטח?

השטח יגדל פי 9 (= 3²). אם הצלע מ-a ל-3a, השטח מ-a² ל-9a².

שאלה לחשיבה

קובייה עם נפח 343 סמ"ק. מה אורך צלעה?

צלע = ∛343 = 7 ס"מ. כי 7³ = 343.

זכרו מהמודול הקודם: משפט פיתגורס

את רוב התרגילים כאן אפשר לפתור בזכות משפט פיתגורס והשורש הריבועי שלמדנו. שני הכלים האלה - חזקה בריבוע ושורש ריבועי - הם הבסיס של רוב החישובים הגיאומטריים בכיתה ז.

כלל שינוי קנה המידה מסביר הרבה תופעות בטבע: נמלים יכולות לשאת משקל פי 50 מגופן כי שטח החתך של השרירים (שטח = חזקה 2) גדל לאט יחסית למסה (נפח = חזקה 3). פיל לא יכול לעשות את אותו הדבר כי המסה שלו גדלה מהר יותר מכוח השרירים - הנפח גדל פי k³ בעוד כוח השרירים גדל רק פי k².

זה מסביר גם למה ציפורים גדולות צריכות כנפיים ענקיות יחסית לגוף - נפח הגוף (ומשקלו) גדל פי k³, אבל שטח הכנפיים (ויכולת הנשיאה) גדל רק פי k².

לוויין שצופה על פני כדור הארץ מצלם כיכר עיר שאורך צלעה 100 מ'. אם מצלמים את הכיכר ממרחק גדול יותר פי 4 (ולכן הדמות מוקטנת פי 4 בכל ממד) - מה שטח הדמות במצלמה?

שטח הדמות הוא (100/4)² = 25² = 625 סמ"ר במצלמה. או בניסוח אחר: 100² / 4² = 10,000/16 = 625. לפי חוק שינוי קנה מידה, שטח קטן פי k² = 16, לא פי 4.

שאלה 1 מתוך 5

אם נכפיל את צלע הריבוע פי 3, בכמה יגדל השטח?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של יישום חזקות ושורשים בגיאומטריה כבר מוכן.

פתחו תרגול

חזקות ושורשים בגיאומטריה

מתמטיקה פוגשת גיאומטריה

מציאת צלע ריבוע מנתון שטח

מציאת צלע ריבוע

שטח = 144 סמ"ר

שטח = 225 סמ"ר

שטח = 81 סמ"ר

שטח = 196 סמ"ר

מציאת צלע קובייה מנתון נפח

מציאת צלע קובייה

בונים נפח שכבה אחר שכבה

משפט פיתגורס - חישוב מרחקים

הסולם והקיר: בעיה מהחיים

שטחי טבעות: צורות מורכבות

טבעת ריבועית: חיצוני 10, פנימי 6

שינוי קנה מידה: חזקה בפעולה

השפעת שינוי צלע על שטח ונפח

כלי שינוי קנה מידה

דוגמה: מגדילים פי 3

תרגול

מציאת צלע ריבוע משטח

אלכסון מלבן

שטח טבעת

מה קורה לשטח?

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

זכרו מהמודול הקודם: משפט פיתגורס

יחסי שטח בטבע: למה נמלים חזקות?

אתגר הרחבה: שטח כיכר הלוויין

אם נכפיל את צלע הריבוע פי 3, בכמה יגדל השטח?

יישום חזקות ושורשים בגיאומטריה

מעבר לדף התרגול של המודול