גרסת הדפסה | החוברת

הטבלה שכדאי לדעת בעל-פה, ואיך לפשט שורשים

ריבועים מושלמים - החברים הטובים שלכם

מספר ריבוע מושלם הוא מספר שיש לו שורש ריבועי שלם. למשל, 25 הוא ריבוע מושלם כי √25 = 5. הטבלה של ריבועים מושלמים עד 144 היא כלי עבודה שתשתמשו בו כל הזמן - במשפט פיתגורס, בפישוט ביטויים, ובחישובים מהירים.

הטבלה: 12 ריבועים מושלמים שכדאי לשנן
שורשים בביטויים: חיבור, חיסור וכפל עם שורשים
פישוט שורשים: הוצאת גורם ריבועי מתחת לשורש
משפט פיתגורס: יישום מרכזי של שורש ריבועי

טבלת הריבועים המושלמים

ריבועים מושלמים עד 144

מספר (n²)	שורש (n)	בדיקה
1	1	1 * 1 = 1
4	2	2 * 2 = 4
9	3	3 * 3 = 9
16	4	4 * 4 = 16
25	5	5 * 5 = 25
36	6	6 * 6 = 36
49	7	7 * 7 = 49
64	8	8 * 8 = 64
81	9	9 * 9 = 81
100	10	10 * 10 = 100
121	11	11 * 11 = 121
144	12	12 * 12 = 144

כדאי לשנן את הטבלה הזו! היא תעזור לכם בחישובים מהירים.

ריבועים מושלמים על ציר המספרים

תמונה הממחישה את הריבועים המושלמים בעזרת מערכי נקודות גדלים — ריבועים מושלמים נוצרים כמערכים ריבועיים, וההפרשים ביניהם הם מספרים אי-זוגיים עוקבים.

קיר הריבועים המושלמים

במקום לזכור רשימה בעל-פה בלבד, אפשר לראות את הריבועים המושלמים כמשפחה אחת. הכלי הבא מחבר בין שטח ריבוע, אורך צלע, והערכה של שורשים שנמצאים בין שני ריבועים מושלמים.

הצהרת ההפרשים האי-זוגיים

(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1

שורשים בביטויים

אפשר לחבר, לחסר ולכפול ביטויים שיש בהם שורשים. הכלל: קודם חשבו את השורש, ואז בצעו את הפעולה.

פישוט ביטוי עם שורשים

316 - 9 = ?

נחשב כל שורש בנפרד
$16 = 4, 9 = 3$
נציב בחזרה
$3 \cdot 4 - 3$
נכפול ואז נחסר
$12 - 3 = 9$

תשובה:

9

חישובים מהירים עם שורשים

√49 + √64

$= 7 + 8 =$ 15

2√25

$= 2 \cdot 5 =$ 10

√100 - √36

$= 10 - 6 =$ 4

√121 + √144

$= 11 + 12 =$ 23

פישוט שורשים

כשהמספר תחת השורש אינו ריבוע מושלם, אפשר לפשט אותו על ידי הוצאת גורם ריבועי.

כלל הכפל של שורשים

a \cdot b = a \cdot b (a, b \geq 0)

פישוט √50

50 = ?

נפרק את 50 לגורם ריבועי וגורם אחר
$50 = 25 \cdot 2$
נשתמש בכלל הכפל של שורשים
$50 = 25 \cdot 2 = 25 \cdot 2$
נחשב את השורש של 25
$= 52$

תשובה:

52

עוד דוגמאות לפישוט

√8

$8 = 4 \cdot 2$
$8 = 22$

√12

$12 = 4 \cdot 3$
$12 = 23$

√18

$18 = 9 \cdot 2$
$18 = 32$

√75

$75 = 25 \cdot 3$
$75 = 53$

משפט פיתגורס: שורשים בפעולה

משפט פיתגורס אומר שבמשולש ישר-זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. שורש ריבועי עוזר לנו למצוא את אורך היתר - ואפילו להוכיח שלשות שלמות יפות.

משפט פיתגורס

a^{2} + b^{2} = c^{2}

מציאת היתר

c = a^{2} + b^{2}

המשולש הקלאסי 3-4-5

משולש ישר-זווית 3-4-5: הניצבים 3 ו-4, היתר 5

מציאת יתר במשולש 5-12-?

c = 5^{2} + 1 2^{2}

נחשב את ריבועי הניצבים
$5^{2} = 25, 1 2^{2} = 144$
נחבר
$25 + 144 = 169$
נחשב את השורש של 169
$c = 169 = 13$

תשובה:

c = 13

המשולש 5-12-13

שלשה פיתגורית (5, 12, 13): 25 + 144 = 169 = 13²

תרגול

תרגיל

זיהוי ריבועים מושלמים

האם 169 הוא ריבוע מושלם? אם כן, מה השורש שלו?

תרגיל

מציאת הניצב החסר

במשולש ישר-זווית היתר הוא 13 וניצב אחד הוא 5. מה אורך הניצב השני?

b = c^{2} - a^{2}

תרגיל

שלשה פיתגורית וכפולותיה

הראו שגם (6, 8, 10) וגם (9, 12, 15) הן שלשות פיתגוריות. מה הקשר ביניהן לבין (3, 4, 5)?

האם 50 הוא ריבוע מושלם?

במשולש ישר-זווית הניצבים הם 6 ו-8 ס"מ. מה אורך היתר?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה √121?

10
11
121
60.5

2.פשטו את √18:

2√2
3√2
6√3
9

3.מה √100 + √49?

4.איזה מהמספרים הבאים אינו ריבוע מושלם?

5.במשולש ישר-זווית עם ניצבים 5 ו-12, מה אורך היתר?

17
13
13.5
169