ריבועים מושלמים ופישוט שורשים
הטבלה שכדאי לדעת בעל-פה, ואיך לפשט שורשים
ריבועים מושלמים - החברים הטובים שלכם
טבלת הריבועים המושלמים
ריבועים מושלמים עד 144
| מספר (n²) | שורש (n) | בדיקה |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 * 1 = 1 |
| 4 | 2 | 2 * 2 = 4 |
| 9 | 3 | 3 * 3 = 9 |
| 16 | 4 | 4 * 4 = 16 |
| 25 | 5 | 5 * 5 = 25 |
| 36 | 6 | 6 * 6 = 36 |
| 49 | 7 | 7 * 7 = 49 |
| 64 | 8 | 8 * 8 = 64 |
| 81 | 9 | 9 * 9 = 81 |
| 100 | 10 | 10 * 10 = 100 |
| 121 | 11 | 11 * 11 = 121 |
| 144 | 12 | 12 * 12 = 144 |
* כדאי לשנן את הטבלה הזו! היא תעזור לכם בחישובים מהירים.
ריבועים מושלמים על ציר המספרים
טיפ לשינון: ההפרשים אי-זוגיים
שימו לב לדפוס: ההפרשים בין ריבועים מושלמים עוקבים הם מספרים אי-זוגיים עוקבים!
4-1=3, 9-4=5, 16-9=7, 25-16=9, 36-25=11...
ההפרשים הם: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23
קיר הריבועים המושלמים
במקום לזכור רשימה בעל-פה בלבד, אפשר לראות את הריבועים המושלמים כמשפחה אחת. הכלי הבא מחבר בין שטח ריבוע, אורך צלע, והערכה של שורשים שנמצאים בין שני ריבועים מושלמים.
הצהרת ההפרשים האי-זוגיים
שורשים בביטויים
אפשר לחבר, לחסר ולכפול ביטויים שיש בהם שורשים. הכלל: קודם חשבו את השורש, ואז בצעו את הפעולה.
פישוט ביטוי עם שורשים
שלב 1 מתוך 3נחשב כל שורש בנפרד
חישובים מהירים עם שורשים
√49 + √64
15
2√25
10
√100 - √36
4
√121 + √144
23
פישוט שורשים
כשהמספר תחת השורש אינו ריבוע מושלם, אפשר לפשט אותו על ידי הוצאת גורם ריבועי.
כלל הכפל של שורשים
פישוט √50
שלב 1 מתוך 3נפרק את 50 לגורם ריבועי וגורם אחר
עוד דוגמאות לפישוט
√8
√12
√18
√75
משפט פיתגורס: שורשים בפעולה
משפט פיתגורס אומר שבמשולש ישר-זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. שורש ריבועי עוזר לנו למצוא את אורך היתר - ואפילו להוכיח שלשות שלמות יפות.
משפט פיתגורס
מציאת היתר
המשולש הקלאסי 3-4-5
משולש ישר-זווית 3-4-5: הניצבים 3 ו-4, היתר 5
מציאת יתר במשולש 5-12-?
שלב 1 מתוך 3נחשב את ריבועי הניצבים
המשולש 5-12-13
שלשה פיתגורית (5, 12, 13): 25 + 144 = 169 = 13²
טעות נפוצה: לשכוח את השורש
פיתגורס נותן לכם c² - לא c. אם מצאתם c² = 100, התשובה אינה 100, אלא √100 = 10.
עוד טעות: √(a² + b²) אינו a + b. הדוגמה הכי פשוטה: √(9 + 16) = √25 = 5, אבל 3 + 4 = 7. שונה!
תרגול
זיהוי ריבועים מושלמים
האם 169 הוא ריבוע מושלם? אם כן, מה השורש שלו?
מציאת הניצב החסר
במשולש ישר-זווית היתר הוא 13 וניצב אחד הוא 5. מה אורך הניצב השני?
שלשה פיתגורית וכפולותיה
הראו שגם (6, 8, 10) וגם (9, 12, 15) הן שלשות פיתגוריות. מה הקשר ביניהן לבין (3, 4, 5)?
שאלה לחשיבה
האם 50 הוא ריבוע מושלם?
לא. √50 = 5√2 - זה לא מספר שלם. המספרים הריבועיים הקרובים הם 49 (= 7²) ו-64 (= 8²).
שאלה לחשיבה
במשולש ישר-זווית הניצבים הם 6 ו-8 ס"מ. מה אורך היתר?
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. לכן c = √100 = 10 ס"מ. זוהי הכפלת השלשה 3-4-5 פי 2.
בונה הבתים: 3-4-5 ככלי עבודה
בונים משתמשים בשלשה 3-4-5 כדי ליצור זווית ישרה מדויקת: מסמנים על חבל 3 יחידות, 4 יחידות, ו-5 יחידות. אם החבל מרכיב משולש עם צלעות אלה - הזווית בין 3 ל-4 היא 90° בדיוק. שיטה שמוכרת עוד ממצרים העתיקה.
שלשה של מספרים שלמים שמקיימים a² + b² = c² נקראת שלשה פיתגורית. כמה שלשות נפוצות שכדאי להכיר:
- (3, 4, 5) - השלשה הקלאסית
- (5, 12, 13) - שלשה שימושית מאוד
- (8, 15, 17) - פחות מוכרת
- (7, 24, 25) - עם מספרים גדולים יותר
- (20, 21, 29) - שתי ניצבים קרובים
- כל כפולה של שלשה היא גם שלשה: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (10, 24, 26)...
האם יש אינסוף שלשות פיתגוריות? התשובה כן. הוכחה קצרה: אם (a, b, c) היא שלשה, אז גם (2a, 2b, 2c) היא שלשה - כפי שראינו בתרגיל. ומכאן (3a, 3b, 3c) וגם (4a, 4b, 4c), וכך הלאה אינסוף פעמים.
יש גם אינסוף שלשות שאינן כפולות אחת של השנייה (נקראות 'שלשות פרימיטיביות'). למשל (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25) - כל אחת עצמאית. הוכחה שיש אינסוף כאלה היא מעניינת יותר ונלמדת בכיתות גבוהות.
