גרסת הדפסה | החוברת

כשהחזקות פוגשות את האלגברה - שטח ריבוע, נפח קובייה ועוד

חזקות עם אותיות

עד עכשיו חישבנו חזקות של מספרים. עכשיו נשלב חזקות גם עם משתנים. a² פירושו a כפול a, ו-a³ פירושו a כפול a כפול a. אבל מה ההבדל בין 2a² ל-(2a)²?

גיאומטריה: a² = שטח ריבוע, a³ = נפח קובייה
הצבה: חישוב ערך ביטוי עם חזקות
זהירות!: ההבדל הקריטי בין 2a² ל-(2a)²

שטח ריבוע ונפח קובייה

חזקות מקבלות משמעות גיאומטרית ברורה כשמשתמשים במשתנים:

שטח ריבוע

S = a^{2}

נפח קובייה

V = a^{3}

ריבוע עם צלע a

ריבוע עם צלע a: שטחו a²

שטח ריבוע = a²

אם צלע הריבוע היא a, אז:
שטח

= a \cdot a = a^{2}

דוגמה: a = 5 ס"מ
שטח

= 5^{2} = 25

סמ"ר

נפח קובייה = a³

אם צלע הקובייה היא a, אז:
נפח

= a \cdot a \cdot a = a^{3}

דוגמה: a = 3 ס"מ
נפח

= 3^{3} = 27

סמ"ק

ביטויים אלגבריים עם חזקות

ביטוי אלגברי עם חזקות כולל משתנה בחזקה. אפשר להציב ערכים ולחשב את הביטוי.

הצבה בביטויים עם חזקות

2a² כאשר a = 4

$2 a^{2} = 2 \cdot a^{2}$
$= 2 \cdot 4^{2}$
$= 2 \cdot 16$
$=$ 32

3x² + 1 כאשר x = 3

$3 x^{2} + 1 = 3 \cdot 3^{2} + 1$
$= 3 \cdot 9 + 1$
$= 27 + 1$
$=$ 28

a² + b² כאשר a = 3, b = 4

$a^{2} + b^{2} = 3^{2} + 4^{2}$
$= 9 + 16$
$=$ 25

a³ - a כאשר a = 2

$a^{3} - a = 2^{3} - 2$
$= 8 - 2$
$=$ 6

בודקים הצבה בטבלה

לפני שעוברים לכללים כלליים, כדאי לראות איך ערך של משתנה משנה את כל הביטוי. בטבלה אפשר לבדוק כמה ערכים שונים של x ולזהות דפוס.

ההבדל הקריטי: 2a² מול (2a)²

זו אחת הטעויות הנפוצות ביותר באלגברה. חייבים להבין את ההבדל:

2a² מול (2a)² - שני ביטויים שונים לגמרי!

2a² = 2 * a * a

רק a בחזקה, ואז כופלים ב-2.
חזקה קודם לכפל!

אם a = 4:
$2 a^{2} = 2 \cdot 16 =$ 32

$2 a^{2} = 2 \cdot a^{2}$

(2a)² = 2a * 2a = 4a²

כל הביטוי 2a בחזקה.
סוגריים קודם!

אם a = 4:
$(2 a)^{2} = 8^{2} =$ 64

$(2 a)^{2} = 4 a^{2}$

עם a = 4: $2 a^{2} = 32$ אבל $(2 a)^{2} = 64$ . התוצאה כפולה! הסוגריים משנים הכל.

תמונה הממחישה את ההבדל בין 2a² לבין (2a)² בעזרת מודל שטח — בביטוי 2a² יש שני ריבועים בגודל a², אבל בביטוי (2a)² כל הצלע מוכפלת ולכן מתקבלים ארבעה ריבועים כאלה.

האם שני הביטויים באמת שקולים?

כאן בודקים אם שני ביטויים נותנים תמיד את אותה תוצאה, או שרק לפעמים הם נראים דומים. זה בדיוק המקום שבו הטעות בין 2a² לבין (2a)² מתגלה.

כלל חזקה של מכפלה

(na)^{2} = n^{2} \cdot a^{2}

פתרון מודרך: 2a² כאשר a = 5

חשבו m 2 a^{2} / m כאשר m a = 5 / m

לפי סדר הפעולות: חזקה קודמת לכפל
$2 a^{2} = 2 \cdot a^{2}$
נציב a = 5
$= 2 \cdot 5^{2}$
נחשב החזקה
$= 2 \cdot 25$
נכפיל
$= 50$

תשובה:

50

שטחים ונפחים עם משתנים

חזקות עם משתנים מאפשרות לכתוב נוסחאות כלליות לשטח ונפח:

נוסחאות גיאומטריות עם חזקות

צורה	נוסחה	דוגמה (a = 5)
שטח ריבוע	S = a²	S = 25 סמ"ר
נפח קובייה	V = a³	V = 125 סמ"ק
שטח ריבוע עם צלע 2a	S = (2a)² = 4a²	S = 100 סמ"ר
הפרש שטחים	S = a² - b²	אם a=5, b=3: S = 16 סמ"ר

אם נכפיל את צלע הריבוע פי 2, בכמה יגדל השטח?

אם נכפיל את צלע הקובייה פי 3, בכמה יגדל הנפח?

טעויות נפוצות נוספות

תרגול

תרגיל

הצבה בביטוי

חשבו את ערך הביטוי x² + 2x כאשר x = 4

x^{2} + 2 x, x = 4

תרגיל

מה קורה כשהצלע מוכפלת?

ריבוע עם צלע a. מכפילים את הצלע פי 2. פי כמה יגדל השטח?

\frac{( 2 a ) ^{2}}{a ^{2}} = ?

תרגיל

חזקה עם שני משתנים

חשבו: a² + b² כאשר a = 3 ו-b = 4

a^{2} + b^{2}, a = 3, b = 4

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה שטחו של ריבוע שצלעו 7 ס"מ?

14 סמ"ר
49 סמ"ר
28 סמ"ר
7 סמ"ר

2.מה נפחה של קובייה שצלעה 2 ס"מ?

4 סמ"ק
6 סמ"ק
8 סמ"ק
12 סמ"ק

3.אם a = 3, כמה שווה 2a²?

4.מה (2a)² שווה?

2a²
4a²
2a
4a

5.אם נכפיל את צלע הריבוע פי 2, בכמה יגדל השטח?

פי 2
פי 4
פי 3
פי 8