חזקות בביטויים אלגבריים

כשהחזקות פוגשות את האלגברה - שטח ריבוע, נפח קובייה ועוד

חזקות עם אותיות

עד עכשיו חישבנו חזקות של מספרים. עכשיו נשלב חזקות גם עם משתנים. a² פירושו a כפול a, ו-a³ פירושו a כפול a כפול a. אבל מה ההבדל בין 2a² ל-(2a)²?

גיאומטריה

a² = שטח ריבוע, a³ = נפח קובייה

הצבה

חישוב ערך ביטוי עם חזקות

זהירות!

ההבדל הקריטי בין 2a² ל-(2a)²

שטח ריבוע ונפח קובייה

חזקות מקבלות משמעות גיאומטרית ברורה כשמשתמשים במשתנים:

שטח ריבוע

S = a^{2}

נפח קובייה

V = a^{3}

ריבוע עם צלע a

ריבוע עם צלע a: שטחו a²

שטח ריבוע = a²

אם צלע הריבוע היא a, אז:
שטח $= a \cdot a = a^{2}$

דוגמה: a = 5 ס"מ
שטח $= 5^{2} = 25$ סמ"ר

נפח קובייה = a³

אם צלע הקובייה היא a, אז:
נפח $= a \cdot a \cdot a = a^{3}$

דוגמה: a = 3 ס"מ
נפח $= 3^{3} = 27$ סמ"ק

ביטויים אלגבריים עם חזקות

ביטוי אלגברי עם חזקות כולל משתנה בחזקה. אפשר להציב ערכים ולחשב את הביטוי.

הצבה בביטויים עם חזקות

2a² כאשר a = 4

$2 a^{2} = 2 \cdot a^{2}$
$= 2 \cdot 4^{2}$
$= 2 \cdot 16$
$=$ 32

3x² + 1 כאשר x = 3

$3 x^{2} + 1 = 3 \cdot 3^{2} + 1$
$= 3 \cdot 9 + 1$
$= 27 + 1$
$=$ 28

a² + b² כאשר a = 3, b = 4

$a^{2} + b^{2} = 3^{2} + 4^{2}$
$= 9 + 16$
$=$ 25

a³ - a כאשר a = 2

$a^{3} - a = 2^{3} - 2$
$= 8 - 2$
$=$ 6

בודקים הצבה בטבלה

לפני שעוברים לכללים כלליים, כדאי לראות איך ערך של משתנה משנה את כל הביטוי. בטבלה אפשר לבדוק כמה ערכים שונים של x ולזהות דפוס.

טוען סימולציה...

ההבדל הקריטי: 2a² מול (2a)²

זו אחת הטעויות הנפוצות ביותר באלגברה. חייבים להבין את ההבדל:

2a² מול (2a)² - שני ביטויים שונים לגמרי!

2a² = 2 * a * a

רק a בחזקה, ואז כופלים ב-2.
חזקה קודם לכפל!

אם a = 4:
$2 a^{2} = 2 \cdot 16 =$ 32

דוגמה: $2 a^{2} = 2 \cdot a^{2}$

(2a)² = 2a * 2a = 4a²

כל הביטוי 2a בחזקה.
סוגריים קודם!

אם a = 4:
$(2 a)^{2} = 8^{2} =$ 64

דוגמה: $(2 a)^{2} = 4 a^{2}$

עם a = 4: $2 a^{2} = 32$ אבל $(2 a)^{2} = 64$ . התוצאה כפולה! הסוגריים משנים הכל.

כלל חשוב

$(na)^{2} = n^{2} \cdot a^{2}$

למשל: $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ ולא $3 x^{2}$ .
$(5 a)^{2} = 25 a^{2}$ ולא $5 a^{2}$ .

כשמעלים ביטוי בסוגריים בחזקה, מעלים כל גורם בחזקה.

האם שני הביטויים באמת שקולים?

כאן בודקים אם שני ביטויים נותנים תמיד את אותה תוצאה, או שרק לפעמים הם נראים דומים. זה בדיוק המקום שבו הטעות בין 2a² לבין (2a)² מתגלה.

טוען סימולציה...

כלל חזקה של מכפלה

(na)^{2} = n^{2} \cdot a^{2}

פתרון מודרך: 2a² כאשר a = 5

שלב 1 מתוך 4

חשבו

2 a^{2}

כאשר

a = 5

לפי סדר הפעולות: חזקה קודמת לכפל

2 a^{2} = 2 \cdot a^{2}

שטחים ונפחים עם משתנים

חזקות עם משתנים מאפשרות לכתוב נוסחאות כלליות לשטח ונפח:

נוסחאות גיאומטריות עם חזקות

צורה	נוסחה	דוגמה (a = 5)
שטח ריבוע	S = a²	S = 25 סמ"ר
נפח קובייה	V = a³	V = 125 סמ"ק
שטח ריבוע עם צלע 2a	S = (2a)² = 4a²	S = 100 סמ"ר
הפרש שטחים	S = a² - b²	אם a=5, b=3: S = 16 סמ"ר

שאלה לחשיבה

אם נכפיל את צלע הריבוע פי 2, בכמה יגדל השטח?

אם הצלע המקורית a, השטח הוא a². אם הצלע 2a, השטח (2a)² = 4a². השטח גדל פי 4! הכלל: כשמכפילים צלע פי k, השטח גדל פי k².

שאלה לחשיבה

אם נכפיל את צלע הקובייה פי 3, בכמה יגדל הנפח?

אם הצלע המקורית a, הנפח הוא a³. אם הצלע 3a, הנפח (3a)³ = 27a³. הנפח גדל פי 27! הכלל: כשמכפילים צלע פי k, הנפח גדל פי k³.

טעויות נפוצות נוספות

שלוש טעויות שכדאי להימנע מהן

ביטויים עם חזקות ומשתנים מלאים במלכודות:

a² + b² אינו שווה ל-(a + b)². למשל: 3² + 4² = 25 אבל (3+4)² = 49
2a² אינו שווה ל-(2a)². למשל: 2*3² = 18 אבל (2*3)² = 36
-a² אינו שווה ל-(-a)². למשל: -3² = -9 אבל (-3)² = 9

תרגול

הצבה בביטוי

בסיסי

חשבו את ערך הביטוי x² + 2x כאשר x = 4

x^{2} + 2 x, x = 4

מה קורה כשהצלע מוכפלת?

בינוני

ריבוע עם צלע a. מכפילים את הצלע פי 2. פי כמה יגדל השטח?

\frac{( 2 a ) ^{2}}{a ^{2}} = ?

חזקה עם שני משתנים

בינוני

חשבו: a² + b² כאשר a = 3 ו-b = 4

a^{2} + b^{2}, a = 3, b = 4

אחת הנוסחאות החשובות במתמטיקה היא:
(a + b)² = a² + 2ab + b²

למשל: (3 + 4)² = 9 + 24 + 16 = 49 = 7²

זו נוסחה שתלמדו לעומק בהמשך, אבל כבר עכשיו אפשר להבין למה a² + b² הוא לא (a + b)² - חסר ה-2ab!

שאלה 1 מתוך 5

מה שטחו של ריבוע שצלעו 7 ס"מ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של חזקות בביטויים אלגבריים כבר מוכן.

פתחו תרגול

חזקות בביטויים אלגבריים

חזקות עם אותיות

שטח ריבוע ונפח קובייה

שטח ריבוע = a²

נפח קובייה = a³

ביטויים אלגבריים עם חזקות

הצבה בביטויים עם חזקות

2a² כאשר a = 4

3x² + 1 כאשר x = 3

a² + b² כאשר a = 3, b = 4

a³ - a כאשר a = 2

בודקים הצבה בטבלה

ההבדל הקריטי: 2a² מול (2a)²

2a² מול (2a)² - שני ביטויים שונים לגמרי!

2a² = 2 * a * a

(2a)² = 2a * 2a = 4a²

כלל חשוב

האם שני הביטויים באמת שקולים?

פתרון מודרך: 2a² כאשר a = 5

שטחים ונפחים עם משתנים

נוסחאות גיאומטריות עם חזקות

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

טעויות נפוצות נוספות

שלוש טעויות שכדאי להימנע מהן

תרגול

הצבה בביטוי

מה קורה כשהצלע מוכפלת?

חזקה עם שני משתנים

הנוסחה המפורסמת (a+b)²

מה שטחו של ריבוע שצלעו 7 ס"מ?

חזקות בביטויים אלגבריים

מעבר לדף התרגול של המודול