גרסת הדפסה | החוברת

הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע - מהשטח לצלע

שאלה הפוכה, פעולה הפוכה

אם שטח ריבוע הוא 25 סמ"ר, מה אורך הצלע? אנחנו יודעים שצלע² = שטח, אז צריך למצוא מספר שכשמעלים אותו בריבוע מקבלים 25. המספר הוא 5, כי 5² = 25. הפעולה הזו נקראת שורש ריבועי.

שורש ריבועי זו פעולה יסודית בגיאומטריה ובפיזיקה. היא מופיעה בחישוב אלכסונים, במשפט פיתגורס, בחישוב מרחקים במערכת צירים - ואפילו בגדלי טלוויזיות (שמתוארים באלכסון).

מהו שורש ריבועי?: הפעולה ההפוכה לחזקה שנייה
יישום מרכזי: מציאת צלע ריבוע כשנתון השטח
שורשים מיוחדים: שורשים שלמים ושורשים אי-רציונליים

ההגדרה הפורמלית

הגדרת שורש ריבועי

a = b ⟺ b^{2} = a, b \geq 0

זהות יסוד של חזקה ושורש

(a)^{2} = a, a^{2} = ∣ a ∣

חזקה ושורש: פעולות הפוכות

כמו חיבור וחיסור, או כפל וחילוק - גם חזקה ושורש הן פעולות הפוכות.

כל ריבוע מושלם שקיים - יש לו שורש שלם. אם ה'מושלמות' נעדרת, מקבלים מספר עשרוני אינסופי.

שורשים בסיסיים

חישוב √144 באמצעות פירוק

144 = ?

נבדוק אילו מספרים בריבוע יכולים לתת 144
$1 0^{2} = 100, 1 1^{2} = 121, 1 2^{2} = 144$
מצאנו. 12 בריבוע שווה 144
$12 \cdot 12 = 144$
לכן
$144 = 12$

תשובה:

144 = 12

שורשים מוכרים

√9 = ?

$9 =$ 3
כי $3^{2} = 9$

√25 = ?

$25 =$ 5
כי $5^{2} = 25$

√100 = ?

$100 =$ 10
כי $1 0^{2} = 100$

√0 = ? ו-√1 = ?

$0 =$ 0 (כי $0^{2} = 0)$
$1 =$ 1 (כי $1^{2} = 1)$

ציר המספרים: היכן נמצאים השורשים?

בואו נראה איפה נמצאים שורשים שונים על ציר המספרים. חלק מהם יושבים על מספרים שלמים (כמו √4 = 2), אך רובם נמצאים בין מספרים שלמים:

שורשים מ-√1 עד √9

שימו לב: כל השורשים שאינם של ריבועים מושלמים יושבים בין מספרים שלמים. √2 נמצא בין 1 ל-2, √5 בין 2 ל-3, וכו'.

שורשים של שברים

גם לשברים יש שורש ריבועי. הרעיון זהה - מחפשים מספר שבריבוע נותן את השבר.

כלל שורש של שבר

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

שורשים של שברים

√(1/4) = ?

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
כי $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$

√(9/16) = ?

$\frac{9}{16} = \frac{3}{4}$
כי $(\frac{3}{4})^{2} = \frac{9}{16}$

√(1/9) = ?

$\frac{1}{9} = \frac{1}{3}$
כי $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$

√(9/25) = ?

$\frac{9}{25} = \frac{3}{5}$
כי $(\frac{3}{5})^{2} = \frac{9}{25}$

שורשים שאינם מספרים שלמים

לא כל מספר הוא ריבוע מושלם. כשהשורש אינו מספר שלם, מקבלים שבר עשרוני אינסופי - מספר אי-רציונלי.

שורשים אי-רציונליים

מספר	שורש (בקירוב)	הערה
√2	1.414...	לא מספר שלם ולא שבר רגיל
√3	1.732...	הספרות לא חוזרות לעולם
√5	2.236...	בין 2 ל-3
√7	2.646...	בין 2 ל-3
√10	3.162...	בין 3 ל-4

מספרים אי-רציונליים הם מספרים שלא ניתן לכתוב אותם כשבר של שני מספרים שלמים.

קירוב √50 בלי מחשבון

50 \approx ?

נמצא ריבועים מושלמים מסביב
$7^{2} = 49, 8^{2} = 64$
50 קרוב הרבה יותר ל-49. לכן √50 קרוב ל-7
$49 < 50 < 64$
ההפרש בין 50 ל-49 קטן, אז הקירוב טוב
$50 \approx 7.07$

תשובה:

50 \approx 7.07

יישום גיאומטרי: מהשטח לצלע

השימוש הנפוץ ביותר של שורש ריבועי הוא מציאת צלע ריבוע כשנתון השטח:

מהשטח לצלע

S = a^{2} ⟹ a = S

ריבוע עם שטח 36

ריבוע עם שטח 36 סמ"ר: צלע = √36 = 6 ס"מ

תמונה הממחישה את השורש הריבועי כמציאת צלע ריבוע לפי שטחו — כאשר שטח הריבוע הוא 36 סמ"ר, השורש √36 מחזיר את אורך הצלע: 6 ס"מ.

כללים חשובים

תרגול

תרגיל

שורשים שלמים

חשבו: √81 + √16

81 + 16 = ?

תרגיל

איזה מספר קרוב לשורש?

בלי מחשבון, מצאו איזה מספר שלם הכי קרוב ל-√70

תרגיל

פתירת משוואה עם ריבוע

פתרו: x² = 49. כמה פתרונות יש?

שטח ריבוע הוא 49 סמ"ר. מהו אורך צלעו?

האם √(-4) מוגדר?

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה √64?

8
32
4,096
256

2.מה √(1/9)?

1/81
1/3
3
9

3.האם √(-4) מוגדר בתוך המספרים הממשיים?

-2
2
לא מוגדר
4

4.אם שטח ריבוע = 49 סמ"ר, מה אורך צלעו?

7 ס"מ
49 ס"מ
24.5 ס"מ
14 ס"מ

5.מה √(9/25)?

3/5
9/25
3/25
9/5

6.שטח ריבוע הוא 49 סמ"ר. מהו היקפו?

28 ס"מ
14 ס"מ
49 ס"מ
7 ס"מ