שורש ריבועי

הפעולה ההפוכה להעלאה בריבוע - מהשטח לצלע

שאלה הפוכה, פעולה הפוכה

אם שטח ריבוע הוא 25 סמ"ר, מה אורך הצלע? אנחנו יודעים שצלע² = שטח, אז צריך למצוא מספר שכשמעלים אותו בריבוע מקבלים 25. המספר הוא 5, כי 5² = 25. הפעולה הזו נקראת שורש ריבועי.

שורש ריבועי זו פעולה יסודית בגיאומטריה ובפיזיקה. היא מופיעה בחישוב אלכסונים, במשפט פיתגורס, בחישוב מרחקים במערכת צירים - ואפילו בגדלי טלוויזיות (שמתוארים באלכסון).

מהו שורש ריבועי?

הפעולה ההפוכה לחזקה שנייה

יישום מרכזי

מציאת צלע ריבוע כשנתון השטח

שורשים מיוחדים

שורשים שלמים ושורשים אי-רציונליים

ההגדרה הפורמלית

הגדרת שורש ריבועי

a = b ⟺ b^{2} = a, b \geq 0

הגדרה: שורש ריבועי של a, מסומן √a, הוא המספר b הלא-שלילי כך ש-b² = a.

כאשר:
- √a נקרא שורש ריבועי של a או שורש של a
- a נקרא הרדיקנד - המספר שתחת השורש
- b הוא התוצאה - המספר שבריבוע נותן a

זהות יסוד של חזקה ושורש

(a)^{2} = a, a^{2} = ∣ a ∣

חזקה ושורש: פעולות הפוכות

כמו חיבור וחיסור, או כפל וחילוק - גם חזקה ושורש הן פעולות הפוכות.

אם 5² = 25, אז √25 = 5
אם 8² = 64, אז √64 = 8
אם 12² = 144, אז √144 = 12

החזקה הופכת מספר קטן לגדול, והשורש מחזיר אותו.

כל ריבוע מושלם שקיים - יש לו שורש שלם. אם ה'מושלמות' נעדרת, מקבלים מספר עשרוני אינסופי.

שורשים בסיסיים

חישוב √144 באמצעות פירוק

שלב 1 מתוך 3

144 = ?

נבדוק אילו מספרים בריבוע יכולים לתת 144

1 0^{2} = 100, 1 1^{2} = 121, 1 2^{2} = 144

שורשים מוכרים

√9 = ?

$9 =$ 3
כי $3^{2} = 9$

√25 = ?

$25 =$ 5
כי $5^{2} = 25$

√100 = ?

$100 =$ 10
כי $1 0^{2} = 100$

√0 = ? ו-√1 = ?

$0 =$ 0 (כי $0^{2} = 0)$
$1 =$ 1 (כי $1^{2} = 1)$

ציר המספרים: היכן נמצאים השורשים?

בואו נראה איפה נמצאים שורשים שונים על ציר המספרים. חלק מהם יושבים על מספרים שלמים (כמו √4 = 2), אך רובם נמצאים בין מספרים שלמים:

שורשים מ-√1 עד √9

שימו לב: כל השורשים שאינם של ריבועים מושלמים יושבים בין מספרים שלמים. √2 נמצא בין 1 ל-2, √5 בין 2 ל-3, וכו'.

שורשים של שברים

גם לשברים יש שורש ריבועי. הרעיון זהה - מחפשים מספר שבריבוע נותן את השבר.

כלל שורש של שבר

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}

שורשים של שברים

√(1/4) = ?

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
כי $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$

√(9/16) = ?

$\frac{9}{16} = \frac{3}{4}$
כי $(\frac{3}{4})^{2} = \frac{9}{16}$

√(1/9) = ?

$\frac{1}{9} = \frac{1}{3}$
כי $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$

√(9/25) = ?

$\frac{9}{25} = \frac{3}{5}$
כי $(\frac{3}{5})^{2} = \frac{9}{25}$

שורשים שאינם מספרים שלמים

לא כל מספר הוא ריבוע מושלם. כשהשורש אינו מספר שלם, מקבלים שבר עשרוני אינסופי - מספר אי-רציונלי.

שורשים אי-רציונליים

מספר	שורש (בקירוב)	הערה
√2	1.414...	לא מספר שלם ולא שבר רגיל
√3	1.732...	הספרות לא חוזרות לעולם
√5	2.236...	בין 2 ל-3
√7	2.646...	בין 2 ל-3
√10	3.162...	בין 3 ל-4

* מספרים אי-רציונליים הם מספרים שלא ניתן לכתוב אותם כשבר של שני מספרים שלמים.

קירוב √50 בלי מחשבון

שלב 1 מתוך 3

50 \approx ?

נמצא ריבועים מושלמים מסביב

7^{2} = 49, 8^{2} = 64

יישום גיאומטרי: מהשטח לצלע

השימוש הנפוץ ביותר של שורש ריבועי הוא מציאת צלע ריבוע כשנתון השטח:

מהשטח לצלע

S = a^{2} ⟹ a = S

ריבוע עם שטח 36

ריבוע עם שטח 36 סמ"ר: צלע = √36 = 6 ס"מ

דוגמה: מציאת צלע ריבוע

שטח ריבוע = 36 סמ"ר
צלע = √שטח = √36 = 6 ס"מ

בדיקה: 6² = 36 סמ"ר

כללים חשובים

טעות נפוצה: האם √49 = ±7?

לא! לפי ההגדרה, √49 = 7 בלבד (לא -7). סימן השורש מחזיר רק את הפתרון החיובי.

אבל אם המשוואה היא x² = 49, אז יש שני פתרונות: x = 7 או x = -7, כי גם 7² = 49 וגם (-7)² = 49. ההבדל: פעולת השורש vs פתרון משוואה.

כללים שחייבים לזכור

שורש ריבועי מוגדר רק למספרים אי-שליליים:

√a מוגדר רק כאשר a חיובי או אפס
√a תמיד חיובי (או אפס). √4 = 2 ולא -2
כדי לתאר את שני הפתרונות של x² = a: כותבים x = ±√a
אי אפשר לחשב √(-4) במספרים הממשיים - אין מספר ממשי שבריבוע נותן מספר שלילי

טוען סימולציה...

תרגול

שורשים שלמים

בסיסי

חשבו: √81 + √16

81 + 16 = ?

איזה מספר קרוב לשורש?

בינוני

בלי מחשבון, מצאו איזה מספר שלם הכי קרוב ל-√70

פתירת משוואה עם ריבוע

בינוני

פתרו: x² = 49. כמה פתרונות יש?

שאלה לחשיבה

שטח ריבוע הוא 49 סמ"ר. מהו אורך צלעו?

צלע = √49 = 7 ס"מ. כי 7² = 49.

שאלה לחשיבה

האם √(-4) מוגדר?

לא. אין מספר ממשי שכשמעלים אותו בריבוע מקבלים -4. חיובי בריבוע = חיובי, שלילי בריבוע = חיובי. אי אפשר לקבל שלילי!

בקרוב: משפט פיתגורס

במודול ריבועים מושלמים נלמד משפט מפורסם: משפט פיתגורס. הוא מאפשר למצוא את האלכסון של משולש ישר-זווית - והוא משתמש בשורש ריבועי. זכרו את מה שלמדנו כאן - נשתמש בזה.

הפיתגוראים, חסידי המתמטיקאי פיתגורס ביוון העתיקה, האמינו שכל דבר בעולם אפשר לבטא כיחס של מספרים שלמים (שבר). כשגילו ש-√2 הוא מספר אי-רציונלי - שלא ניתן לכתוב כשבר - זה זעזע את כל האמונות שלהם. לפי האגדה, הפיתגוראי שגילה את העובדה הזו, היפסוס, הוטבע בים על ידי חבריו - הם לא יכלו לסבול את הגילוי.

פורמטי הנייר הסטנדרטיים (A4, A3, A5) מבוססים על יחס √2 ≈ 1.414 בין האורך לרוחב. זה בחירה מתמטית יפה: כשמקפלים A4 בחצי, מקבלים A5 עם אותו יחס של צלעות.

אתגר: מדדו דף A4 רגיל. האם היחס בין צד ארוך לצד קצר באמת קרוב ל-1.414?

שאלה 1 מתוך 6

שטח ריבוע הוא 49 סמ"ר. מהו היקפו?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של שורש ריבועי כבר מוכן.

פתחו תרגול

שורש ריבועי

שאלה הפוכה, פעולה הפוכה

ההגדרה הפורמלית

חזקה ושורש: פעולות הפוכות

שורשים בסיסיים

חישוב √144 באמצעות פירוק

שורשים מוכרים

√9 = ?

√25 = ?

√100 = ?

√0 = ? ו-√1 = ?

ציר המספרים: היכן נמצאים השורשים?

שורשים של שברים

שורשים של שברים

√(1/4) = ?

√(9/16) = ?

√(1/9) = ?

√(9/25) = ?

שורשים שאינם מספרים שלמים

שורשים אי-רציונליים

קירוב √50 בלי מחשבון

יישום גיאומטרי: מהשטח לצלע

דוגמה: מציאת צלע ריבוע

כללים חשובים

טעות נפוצה: האם √49 = ±7?

כללים שחייבים לזכור

תרגול

שורשים שלמים

איזה מספר קרוב לשורש?

פתירת משוואה עם ריבוע

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

בקרוב: משפט פיתגורס

√2: המספר שזעזע את יוון

שורשים בגדלי נייר

שטח ריבוע הוא 49 סמ"ר. מהו היקפו?

שורש ריבועי

מעבר לדף התרגול של המודול