גרסת הדפסה | החוברת

המרחק האמיתי הוא תמיד הניצב, לא האלכסון

מה הדרך הקצרה ביותר?

דמיינו שאתם עומדים ליד כביש ישר ורוצים להגיע אליו. אפשר ללכת באלכסון, אפשר בעקומה, ואפשר בקו ישר ישר כלפי הכביש. איזו דרך היא הקצרה ביותר? תמיד הדרך הניצבת לכביש.

כאן נלמד למה מרחק נקודה מישר נמדד תמיד בניצב, ואיך משתמשים בזה כדי לחשב מרחקים בפועל.

נקודה, ישר וניצב

PH הוא המרחק של P מן הישר BA, כי PH ניצב לישר

המרחק מישר

d (P, ℓ) = P H כאשר P H ⊥ ℓ

למה דווקא הניצב?

כל קטע אחר מהנקודה לישר יוצר משולש ישר-זווית עם הניצב.

הניצב הוא לא רק נכון גאומטרית, הוא גם הדרך הקצרה ביותר להגיע מ-נקודה לישר.

תמונה הממחישה את המרחק הקצר ביותר מנקודה לישר כקטע ניצב — המרחק מנקודה לישר נמדד בקטע ניצב, מפני שזהו הקטע הקצר ביותר שמחבר את הנקודה אל הישר.

חישוב המרחק AH

נתון : m P H = 6 / m ס"מ, m P A = 10 / m ס"מ.מצאאת m A H / m .

במשולש ישר-זווית PAH נשתמש בפיתגורס
$P A^{2} = P H^{2} + A H^{2}$
נציב את הנתונים
$1 0^{2} = 6^{2} + A H^{2}$
נפשט
$100 = 36 + A H^{2}$
נבודד את AH²
$A H^{2} = 64$
נוציא שורש
$A H = 8$

תשובה:

A H = 8 cm

נקודה A נמצאת על הישר l. מה המרחק של A מן הישר l?

איזה קטע באמת מודד מרחק?

הניצב PH

זהו המרחק של הנקודה P מהישר. הוא הקצר ביותר ומוגדר כמרחק.

גובה של עץ מול הקרקע

האלכסון PA

זהו קטע ארוך יותר שאינו מודד מרחק גאומטרי. הוא שימושי לחישובים, אבל לא להגדרת המרחק.

דרך עקומה או אלכסונית לכביש

מרחק גאומטרי נמדד בניצב בלבד.

תרגיל

תרגול מרחק נקודה מישר

מנקודה P הורד ניצב לישר l וקיבלנו PH = 7 ס"מ. מתחנו גם קטע PA = 25 ס"מ לנקודה A על הישר. מהו AH?

P A^{2} = P H^{2} + A H^{2}

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהו המרחק של נקודה מישר?

אורך הקטע הניצב מהנקודה לישר
אורך הקטע הארוך ביותר מהנקודה לישר
אורך הקטע באלכסון מהנקודה לישר
אורך הישר עצמו

2.למה הניצב הוא הקטע הקצר ביותר מנקודה לישר?

כי הוא מצייר קו ישר
כי כל קטע אחר הוא יתר במשולש ישר-זווית, והיתר ארוך מכל ניצב
כי הוא מחלק את הישר לשני חלקים שווים
כי הוא עובר במרכז

3.נקודה A נמצאת על ישר l. מה המרחק של A מהישר l?

0
1
לא ניתן לקבוע
אינסוף

4.מנקודה P הורדנו ניצב PH = 6 ס"מ לישר l, ומתחנו קטע PA = 10 ס"מ לנקודה A על הישר. מהו AH?

4 ס"מ
8 ס"מ
16 ס"מ
12 ס"מ

5.שני ישרים מקבילים נמצאים במרחק 12 ס"מ זה מזה. מה המרחק של נקודה שעל אחד מהם מהישר השני?

6 ס"מ
12 ס"מ
24 ס"מ
תלוי בנקודה

6.איזו מהדוגמאות הבאות מתארת מרחק נקודה מישר?

גובה של עץ מהקרקע
אורך כביש
היקף מגרש
שטח חדר