גרסת הדפסה | החוברת

מהשפה הגאומטרית ועד בעיות אמת - מסכמים, משווים ובודקים

כך חושבים על הפרק

הפרק הזה לא עסק רק בנוסחאות. למדנו לזהות יחסים גאומטריים, לסווג צורות, לבחור בין היקף לשטח, ולהחליט מתי צריך לחבר, לחסר, להמיר יחידות או לחשוב על שינוי קנה מידה.

שפת הצורות: ניצבות, הקבלה, מרחק מנקודה לישר וחפיפה
משפחת המרובעים: מלבן, ריבוע, תכונות, אלכסונים ויחסי הכלה
מדידה ויישום: היקף, שטח, יחידות שטח, שטחים מורכבים ושינויי ממדים

תמונה המסכמת את פרק המלבן והריבוע בעזרת מפת מושגים חזותית — מפת הסיכום מחברת בין ישרים, מלבן, ריבוע, היקף, שטח ויחידות כדי לארגן את כל רעיונות הפרק במקום אחד.

1. שפת הצורות והישרים

מה חייבים לזהות קודם?

ניצבות

אם שני ישרים נפגשים בזווית של $9 0^{\circ}$ , הם ניצבים. זווית ישרה אחת מספיקה כדי לדעת שכל הצומת ישר-זוויתי.

הקבלה

ישרים מקבילים נשארים במרחק קבוע ולעולם לא נפגשים באותו מישור. אם שני ישרים ניצבים לאותו ישר, הם מקבילים זה לזה.

מרחק מנקודה לישר

מרחק נמדד רק לאורך ניצב. קטע אלכסוני יכול להגיע לישר, אבל אינו מייצג את המרחק.

חפיפה

אותו גודל ואותה צורה בדיוק. סיבוב, הזזה ושיקוף שומרים חפיפה, אבל שטח שווה לבדו לא מבטיח חפיפה.

ניצבות מול הקבלה

ניצבות $⊥$

ישרים שנפגשים בזווית ישרה של $9 0^{\circ}$ . זה הקשר שמגדיר פינות של מלבן, רגלי ניצב ומרחק מנקודה לישר.

$A B ⊥ B C$ במלבן

הקבלה $∥$

ישרים באותו מישור שלא נפגשים ושומרים על מרחק קבוע. זה הקשר שמסביר למה לצלעות נגדיות במלבן יש אותו כיוון.

$A B ∥ C D$ במלבן

כלל מחבר: אם ישר ניצב לאחד משני ישרים מקבילים, הוא ניצב גם לשני.

2. מלבן, ריבוע וקשרי משפחה

השוואת תכונות מרכזיות

תכונה	מלבן	ריבוע
זוויות	4 זוויות ישרות של $9 0^{\circ}$	4 זוויות ישרות של $9 0^{\circ}$
צלעות נגדיות	שוות ומקבילות	שוות ומקבילות
כל הצלעות	לא בהכרח שוות	כולן שוות
אלכסונים	שווים וחוצים זה את זה	שווים, חוצים זה את זה וגם ניצבים
יחסי הכלה	כל מלבן הוא מקבילית	כל ריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין

טעות נפוצה 1

ריבוע כן נחשב מלבן. יש לו 4 זוויות ישרות, ולכן הוא עומד בהגדרת מלבן וגם מוסיף תנאי של 4 צלעות שוות.

טעות נפוצה 2

שתי צורות עם אותו שטח אינן בהכרח חופפות. למשל, מלבן

4 \times 6

ומלבן

3 \times 8

שניהם בעלי שטח

24

, אבל צלעותיהם שונות.

טעות נפוצה 3

כשמבקשים לזהות מלבן, לא מספיק לראות צלעות נגדיות שוות. צריך לבדוק גם את הזוויות או להשתמש בתכונות מתאימות של המלבן עצמו.

3. היקף, שטח ויחידות

מתי בוחרים היקף ומתי שטח?

היקף

מודד את הגבול של הצורה. מתאים לגדר, סרט, מסגרת, חוט או קו צבע סביב הצורה.

כמה מטר גדר צריך סביב מגרש?

שטח

מודד את כמות הכיסוי בתוך הצורה. מתאים לריצוף, צביעה, דשא, שטיח או אריחים.

כמה אריחים צריך כדי לרצף חדר?

בבעיות מורכבות לפעמים צריך את שניהם, אבל לכל שאלה יש תפקיד אחר.

היקף מלבן

P_{מלבן} = 2 (a + b)

שטח מלבן

S_{מלבן} = a \cdot b

היקף ושטח ריבוע

P_{ריבוע} = 4 a, S_{ריבוע} = a^{2}

שינוי קנה מידה

P_{חדש} = k \cdot P, S_{חדש} = k^{2} \cdot S

יחידות שטח שצריך לזכור

מעבר	שוויון	מה לזכור
מ"ר לסמ"ר	$1 m^{2} = 10, 000 cm^{2}$	בשטח גורם ההמרה בריבוע
דמ"ר לסמ"ר	$1 dm^{2} = 100 cm^{2}$	כי $1 0^{2} = 100$
דונם למ"ר	$1 דונם = 1, 000 m^{2}$	שימושי בשדות ובמגרשים
קמ"ר למ"ר	$1 km^{2} = 1, 000, 000 m^{2}$	כי $1, 00 0^{2} = 1, 000, 000$

4. בעיה מסכמת

חצר עם ערוגה ריבועית

חצרמלבנית m 12 \times 8 / m מ^{'}, ובמרכזהערוגהריבועיתשצלעה m 4 / m מ^{'} .מצאואתשטחהדשאשנשארואתאורךהגדרהחיצוניתשלהחצר.

נחשב קודם את שטח החצר כמלבן:
$S_{חצר} = 12 \cdot 8 = 96 m^{2}$
נחשב את שטח הערוגה כריבוע:
$S_{ערוגה} = 4^{2} = 16 m^{2}$
שטח הדשא הוא השטח הכולל פחות השטח שתופסת הערוגה:
$S_{דשא} = 96 - 16 = 80 m^{2}$
הגדר החיצונית מקיפה רק את גבול החצר, ולכן צריך היקף מלבן:
$P_{חיצוני} = 2 (12 + 8) = 2 \cdot 20 = 40 m$

תשובה:

S_{דשא} = 80 m^{2}, P_{חיצוני} = 40 m

תרגיל

מלבן, שטח ושינוי קנה מידה

למגרש מלבני היקף $36$ מ' ואורך $11$ מ'. מצאו את הרוחב ואת השטח. אחר כך בדקו מה יקרה להיקף ולשטח אם יגדילו את כל הצלעות פי $2$ .

P = 36, a = 11, b = ?, S = ?, k = 2

5. בודקים הבנה לפני החידון

סביב

אם מדובר בגדר, סרט, מסגרת או גבול חיצוני, שאלו את עצמכם מיד: האם זו בעיית היקף?

מילוי

אם מדובר בריצוף, צביעה, שטיח, דשא או אריחים, זו בדרך כלל בעיית שטח.

שינוי

אם מגדילים או מקטינים את המידות, אל תזכרו רק כלל. בדקו מה קורה לאורך אחד, לשני אורכים, ואז לשטח כולו.

משחק חזרה לפרק

עכשיו הזמן לעבור למצב קפסטון: קודם חשבו לבד, אחר כך שחקו בג'פרדי ונסו להסביר למה בחרתם בכל תשובה, לא רק מהי התשובה הנכונה.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.איזו טענה תמיד נכונה?

כל מלבן הוא ריבוע
כל ריבוע הוא מלבן
כל מעוין הוא ריבוע
כל שתי צורות עם שטח שווה חופפות

2.במרובע יש שלוש זוויות ישרות. מה אפשר להסיק?

הזווית הרביעית חדה
הזווית הרביעית קהה
הזווית הרביעית גם היא $9 0^{\circ}$ , ולכן זה מלבן
אי אפשר לדעת בלי למדוד

3.מהו המרחק של נקודה מישר?

כל קטע שמחבר את הנקודה לישר
הקטע הארוך ביותר מהנקודה לישר
אורך הניצב מהנקודה לישר
ההפרש בין שתי נקודות כלשהן על הישר

4.נתון $m ⊥ l_{1}$ וגם $l_{1} ∥ l_{2}$ . מה נכון?

$m ∥ l_{2}$
$m ⊥ l_{2}$
$l_{1} ⊥ l_{2}$
אין מספיק מידע

5.לשני מלבנים יש שטח $24$ סמ"ר. מה חייב להיות נכון?

הם חופפים
יש להם אותו היקף
ייתכן שהם שונים בצלעותיהם למרות שהשטח שווה
אחד מהם חייב להיות ריבוע

6.איזה גודל צריך לחשב כדי לדעת כמה מטר גדר צריך סביב מגרש?

שטח
היקף
אלכסון
מרחק מהמרכז

7.למלבן היקף $30$ ס"מ ואורך $9$ ס"מ. מה רוחבו?

$3$ ס"מ
$6$ ס"מ
$12$ ס"מ
$15$ ס"מ

8.ריבוע ששטחו $49$ סמ"ר. מה היקפו?

$14$ ס"מ
$21$ ס"מ
$28$ ס"מ
$49$ ס"מ

9.כמה סמ"ר הם $3$ מ"ר?

$300$
$3, 000$
$30, 000$
$300, 000$

10.צורת L מורכבת משני מלבנים ללא חפיפה: $6 \times 4$ ו- $2 \times 3$ . מה השטח הכולל?

$24$ סמ"ר
$26$ סמ"ר
$30$ סמ"ר
$36$ סמ"ר

11.אם מגדילים את כל צלעות הריבוע פי $3$ , מה יקרה?

ההיקף פי $3$ והשטח פי $9$
ההיקף פי $9$ והשטח פי $3$
גם ההיקף וגם השטח פי $3$
גם ההיקף וגם השטח פי $9$

12.למלבן $1 \times 9$ ולמלבן $4 \times 6$ יש:

אותו היקף אבל שטחים שונים
אותו שטח אבל היקפים שונים
אותו היקף ואותו שטח
לא אותו היקף ולא אותו שטח