סיכום פרק 4

מהשפה הגאומטרית ועד בעיות אמת - מסכמים, משווים ובודקים

כך חושבים על הפרק

הפרק הזה לא עסק רק בנוסחאות. למדנו לזהות יחסים גאומטריים, לסווג צורות, לבחור בין היקף לשטח, ולהחליט מתי צריך לחבר, לחסר, להמיר יחידות או לחשוב על שינוי קנה מידה.

שפת הצורות

ניצבות, הקבלה, מרחק מנקודה לישר וחפיפה

משפחת המרובעים

מלבן, ריבוע, תכונות, אלכסונים ויחסי הכלה

מדידה ויישום

היקף, שטח, יחידות שטח, שטחים מורכבים ושינויי ממדים

שלוש שאלות מפתח לסיכום

איזה קשר גאומטרי אני רואה כאן: $⊥$ , $∥$ , מרחק, חפיפה או הכלה?
איזה גודל מבקשים ממני: היקף, שטח, צלע חסרה, או יחס שינוי?
איזו אסטרטגיה מתאימה: חישוב ישיר, פירוק לצורות, חיסור שטחים, המרת יחידות או השוואה?

1. שפת הצורות והישרים

מה חייבים לזהות קודם?

ניצבות

אם שני ישרים נפגשים בזווית של $9 0^{\circ}$ , הם ניצבים. זווית ישרה אחת מספיקה כדי לדעת שכל הצומת ישר-זוויתי.

הקבלה

ישרים מקבילים נשארים במרחק קבוע ולעולם לא נפגשים באותו מישור. אם שני ישרים ניצבים לאותו ישר, הם מקבילים זה לזה.

מרחק מנקודה לישר

מרחק נמדד רק לאורך ניצב. קטע אלכסוני יכול להגיע לישר, אבל אינו מייצג את המרחק.

חפיפה

אותו גודל ואותה צורה בדיוק. סיבוב, הזזה ושיקוף שומרים חפיפה, אבל שטח שווה לבדו לא מבטיח חפיפה.

טוען סימולציה...

ניצבות מול הקבלה

ניצבות $⊥$

ישרים שנפגשים בזווית ישרה של $9 0^{\circ}$ . זה הקשר שמגדיר פינות של מלבן, רגלי ניצב ומרחק מנקודה לישר.

דוגמה: $A B ⊥ B C$ במלבן

הקבלה $∥$

ישרים באותו מישור שלא נפגשים ושומרים על מרחק קבוע. זה הקשר שמסביר למה לצלעות נגדיות במלבן יש אותו כיוון.

דוגמה: $A B ∥ C D$ במלבן

כלל מחבר: אם ישר ניצב לאחד משני ישרים מקבילים, הוא ניצב גם לשני.

2. מלבן, ריבוע וקשרי משפחה

השוואת תכונות מרכזיות

תכונה	מלבן	ריבוע
זוויות	4 זוויות ישרות של $9 0^{\circ}$	4 זוויות ישרות של $9 0^{\circ}$
צלעות נגדיות	שוות ומקבילות	שוות ומקבילות
כל הצלעות	לא בהכרח שוות	כולן שוות
אלכסונים	שווים וחוצים זה את זה	שווים, חוצים זה את זה וגם ניצבים
יחסי הכלה	כל מלבן הוא מקבילית	כל ריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין

טעות נפוצה 1

ריבוע כן נחשב מלבן. יש לו 4 זוויות ישרות, ולכן הוא עומד בהגדרת מלבן וגם מוסיף תנאי של 4 צלעות שוות.

טעות נפוצה 2

שתי צורות עם אותו שטח אינן בהכרח חופפות. למשל, מלבן $4 \times 6$ ומלבן $3 \times 8$ שניהם בעלי שטח $24$ , אבל צלעותיהם שונות.

טעות נפוצה 3

כשמבקשים לזהות מלבן, לא מספיק לראות צלעות נגדיות שוות. צריך לבדוק גם את הזוויות או להשתמש בתכונות מתאימות של המלבן עצמו.

טוען סימולציה...

3. היקף, שטח ויחידות

מתי בוחרים היקף ומתי שטח?

היקף

מודד את הגבול של הצורה. מתאים לגדר, סרט, מסגרת, חוט או קו צבע סביב הצורה.

דוגמה: כמה מטר גדר צריך סביב מגרש?

שטח

מודד את כמות הכיסוי בתוך הצורה. מתאים לריצוף, צביעה, דשא, שטיח או אריחים.

דוגמה: כמה אריחים צריך כדי לרצף חדר?

בבעיות מורכבות לפעמים צריך את שניהם, אבל לכל שאלה יש תפקיד אחר.

היקף מלבן

P_{מלבן} = 2 (a + b)

שטח מלבן

S_{מלבן} = a \cdot b

היקף ושטח ריבוע

P_{ריבוע} = 4 a, S_{ריבוע} = a^{2}

שינוי קנה מידה

P_{חדש} = k \cdot P, S_{חדש} = k^{2} \cdot S

יחידות שטח שצריך לזכור

מעבר	שוויון	מה לזכור
מ"ר לסמ"ר	$1 m^{2} = 10, 000 cm^{2}$	בשטח גורם ההמרה בריבוע
דמ"ר לסמ"ר	$1 dm^{2} = 100 cm^{2}$	כי $1 0^{2} = 100$
דונם למ"ר	$1 דונם = 1, 000 m^{2}$	שימושי בשדות ובמגרשים
קמ"ר למ"ר	$1 km^{2} = 1, 000, 000 m^{2}$	כי $1, 00 0^{2} = 1, 000, 000$

4. בעיה מסכמת

חצר עם ערוגה ריבועית

שלב 1 מתוך 4

חצר מלבנית

12 \times 8

מ', ובמרכזה ערוגה ריבועית שצלעה

4

מ'. מצאו את שטח הדשא שנשאר ואת אורך הגדר החיצונית של החצר.

נחשב קודם את שטח החצר כמלבן:

S_{חצר} = 12 \cdot 8 = 96 m^{2}

מלבן, שטח ושינוי קנה מידה

מאתגר

למגרש מלבני היקף $36$ מ' ואורך $11$ מ'. מצאו את הרוחב ואת השטח. אחר כך בדקו מה יקרה להיקף ולשטח אם יגדילו את כל הצלעות פי $2$ .

P = 36, a = 11, b = ?, S = ?, k = 2

5. בודקים הבנה לפני החידון

סביב

אם מדובר בגדר, סרט, מסגרת או גבול חיצוני, שאלו את עצמכם מיד: האם זו בעיית היקף?

מילוי

אם מדובר בריצוף, צביעה, שטיח, דשא או אריחים, זו בדרך כלל בעיית שטח.

שינוי

אם מגדילים או מקטינים את המידות, אל תזכרו רק כלל. בדקו מה קורה לאורך אחד, לשני אורכים, ואז לשטח כולו.

משחק חזרה לפרק

עכשיו הזמן לעבור למצב קפסטון: קודם חשבו לבד, אחר כך שחקו בג'פרדי ונסו להסביר למה בחרתם בכל תשובה, לא רק מהי התשובה הנכונה.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 12

למלבן היקף $30$ ס"מ ואורך $9$ ס"מ. מה רוחבו?

תרגול מתקדם

מוכנים למבחן המסכם המלא?

עברו לחידון המורחב של הפרק לתרגול מקיף עם 100 שאלות מכל נושאי הלימוד.

למבחן המסכם

סיכום פרק 4

כך חושבים על הפרק

שלוש שאלות מפתח לסיכום

1. שפת הצורות והישרים

מה חייבים לזהות קודם?

ניצבות

הקבלה

מרחק מנקודה לישר

חפיפה

ניצבות מול הקבלה

ניצבות ⊥

הקבלה ∥

2. מלבן, ריבוע וקשרי משפחה

השוואת תכונות מרכזיות

טעות נפוצה 1

טעות נפוצה 2

טעות נפוצה 3

3. היקף, שטח ויחידות

מתי בוחרים היקף ומתי שטח?

היקף

שטח

יחידות שטח שצריך לזכור

4. בעיה מסכמת

חצר עם ערוגה ריבועית

מלבן, שטח ושינוי קנה מידה

5. בודקים הבנה לפני החידון

סביב

מילוי

שינוי

משחק חזרה לפרק

למלבן היקף 30 ס"מ ואורך 9 ס"מ. מה רוחבו?