גרסת הדפסה | החוברת

הכירו את הגוף התלת-ממדי שמלווה אתכם בכל מקום - קודקודים, פאות ומקצועות

מהגאומטריה השטוחה למרחב

עד עכשיו עסקנו בצורות דו-ממדיות כמו מלבן וריבוע - צורות שטוחות שחיות על דף נייר. עכשיו אנחנו עולים מימד! נכיר את התיבה - גוף תלת-ממדי שאתם פוגשים כל יום: קופסת נעליים, ספר, ארון, ואפילו החדר שאתם יושבים בו.

במודול הזה נלמד מה הופך תיבה לתיבה, נספור את כל חלקיה, נחקור אותה בסימולציה אינטראקטיבית, ונגלה מה כל כך מיוחד בקובייה.

מה נלמד?: הגדרת תיבה וזיהוי מרכיביה
מושגים חדשים: פאה, מקצוע, קודקוד - השפה של גופים תלת-ממדיים
מקרה מיוחד: הקובייה - כשכל הממדים שווים
חקירה פעילה: סימולציה אינטראקטיבית של תיבה - סובבו, שנו ממדים, הדגישו חלקים

מה זו תיבה?

תיבה היא גוף גאומטרי תלת-ממדי המוגבל בשש פאות, כאשר כל פאה היא מלבן. חשבו על קופסת נעליים - יש לה חלק עליון, חלק תחתון, וארבעה צדדים. כל אחד מהם הוא מלבן, ויחד הם יוצרים תיבה.

למה דווקא מלבנים? כי בתיבה כל הזוויות הן זוויות ישרות (90 מעלות). זה מה שמבדיל אותה מגופים תלת-ממדיים אחרים. כשכל הפאות הן מלבנים וכל הזוויות ישרות, מתקבלת הצורה ה"קופסתית" המוכרת.

תמונה הממחישה את מרכיבי התיבה בעזרת קופסת קרטון וחפצים מהכיתה — בתיבה אפשר לזהות פאה, מקצוע וקודקוד ממש כמו בקופסאות וחפצים יומיומיים.

שלושת הממדים של תיבה

כל תיבה מוגדרת על ידי שלושה ממדים: אורך, רוחב וגובה. בדרך כלל נסמן אותם באותיות a, b, c. שלוש המידות האלה קובעות הכול - את גודל הפאות, את אורך המקצועות, ובהמשך גם את שטח הפנים ואת הנפח.

אורך (a)

הממד הארוך ביותר של התיבה, בדרך כלל הצלע שנמדדת לאורך.

רוחב (b)

הממד שמאונך לאורך, נמדד לרוחב התיבה.

גובה (c)

הממד האנכי - כמה גבוהה התיבה מהרצפה עד למעלה.

חקרו תיבה תלת-ממדית בעצמכם

הסימולציה הזו נותנת לכם שליטה מלאה על תיבה תלת-ממדית. שנו את הממדים, סובבו אותה במרחב, והדגישו את הפאות, המקצועות או הקודקודים. ראו בזמן אמת איך שטח הפנים והנפח משתנים!

המרכיבים של תיבה: פאות, מקצועות וקודקודים

כדי לדבר על גופים תלת-ממדיים, צריך שפה מדויקת. בואו נכיר שלושה מושגים חשובים שישמשו אותנו לאורך כל הפרק.

שלושת מרכיבי התיבה

פאה

כל אחד מששת המלבנים שמרכיבים את התיבה. לתיבה יש 6 פאות.

מקצוע

הקו שבו שתי פאות נפגשות - כמו קפל בקופסה. לתיבה יש 12 מקצועות.

קודקוד

נקודה שבה שלושה מקצועות נפגשים - כמו פינה של קופסה. לתיבה יש 8 קודקודים.

תיבה עם קודקודים מסומנים A, B, C, D, E, F, G, H

8 קודקודים (בנקודות האדומות), 12 מקצועות (הקווים), 6 פאות (הריבועים/מלבנים)

פאות התיבה - הבנה מעמיקה

לתיבה יש 6 פאות, והן מתחלקות לשלושה זוגות של פאות נגדיות. כל זוג מורכב משני מלבנים זהים שמקבילים זה לזה.

שלושה זוגות הפאות בתיבה עם ממדים a, b, c

זוג פאות	ממדי כל פאה	כמה פאות בזוג
עליונה ותחתונה	a x b	2
קדמית ואחורית	a x c	2
ימנית ושמאלית	b x c	2

סה"כ: 3 זוגות = 6 פאות

שימו לב: כל פאה סמוכה ל-4 פאות אחרות, ונגדית לפאה אחת בלבד. פאות סמוכות הן כאלה שחולקות מקצוע משותף, ופאות נגדיות הן כאלה שנמצאות בצדדים מנוגדים של התיבה.

מקצועות התיבה - הבנה מעמיקה

לתיבה יש 12 מקצועות, והם מתחלקים לשלוש קבוצות של 4 מקצועות שווי אורך.

מקצועות התיבה עם ממדים a, b, c

קבוצת מקצועות	אורך כל מקצוע	כמה מקצועות
מקצועות לאורך	a	4
מקצועות לרוחב	b	4
מקצועות לגובה	c	4

סה"כ: $3 \times 4$ = 12 מקצועות

סכום אורכי כל המקצועות

L_{t o t a l} = 4 a + 4 b + 4 c = 4 (a + b + c)

קודקודים - הפינות של התיבה

לתיבה יש 8 קודקודים. בכל קודקוד נפגשים בדיוק 3 מקצועות - אחד מכל ממד. חשבו על פינה של חדר: שם נפגשים הרצפה, הקיר האחד והקיר השני - שלוש קצוות שנפגשות בנקודה אחת.

דוגמאות מהחיים

תיבות מסביבנו

קופסת נעליים

ממדים טיפוסיים: 30 ס"מ x 18 ס"מ x 12 ס"מ. שלושת הממדים שונים, לכן זו תיבה ולא קובייה.

ספר

ספר הוא תיבה צרה מאוד - האורך והרוחב גדולים אבל העובי (הגובה) קטן.

חדר בבית

חדר בגודל 4 מ' x 5 מ' x 3 מ' הוא תיבה ענקית. הרצפה והתקרה הן פאות נגדיות.

קוביית משחק

כל הצלעות שוות (בד"כ 1.5 ס"מ). זו קובייה - מקרה פרטי של תיבה.

מכולה ימית

מכולות ימיות סטנדרטיות הן תיבות במידות בינלאומיות קבועות (TEU): כ-6 מ' x 2.4 מ' x 2.6 מ'. התקינה הזו מאפשרת לאחסן ולערום אותן בכל נמל בעולם.

בניין

מרבית הבניינים בערים בנויים כ"תיבות" - קל לתכנן אותם, חסכוני בחומר, ומתאים לרצפות דירות מלבניות.

הקובייה - מקרה פרטי של תיבה

קובייה היא תיבה מיוחדת שבה כל שלושת הממדים שווים. אם a = b = c, אז התיבה היא קובייה. זה אומר שכל 6 הפאות הן ריבועים חופפים וכל 12 המקצועות שווים באורכם.

תנאי הקובייה

a = b = c

קובייה - כל הצלעות שוות

בקובייה כל 12 המקצועות שווים באורכם (a)

תיבה מול קובייה

תיבה כללית

שלושה ממדים שונים (a, b, c). הפאות הן מלבנים. יש שלושה זוגות של פאות חופפות.

קופסת נעליים: $30 \times 18$ x 12 ס"מ

קובייה

כל הממדים שווים (a = b = c). כל הפאות הן ריבועים חופפים. כל המקצועות שווים.

קוביית משחק: $2 \times 2$ x 2 ס"מ

כל קובייה היא תיבה, אך לא כל תיבה היא קובייה!

האם יכולה להיות תיבה שבה שני ממדים שווים אבל היא לא קובייה?

תרגיל מודרך: ניתוח תיבה

נבחן תיבה עם ממדים 3 ס"מ, 4 ס"מ, 5 ס"מ ונתאר את כל מרכיביה.

ניתוח התיבה $3 \times 4$ x 5

a = 3, b = 4, c = 5

נחשב את שטחי שלושת זוגות הפאות - זוג עליונה ותחתונה
$S_{ab} = a \cdot b = 3 \cdot 4 = 12 cm^{2}$
זוג קדמית ואחורית
$S_{a c} = a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15 cm^{2}$
זוג ימנית ושמאלית
$S_{b c} = b \cdot c = 4 \cdot 5 = 20 cm^{2}$
סך המקצועות - 4 מכל אורך
$L = 4 a + 4 b + 4 c = 12 + 16 + 20 = 48 cm$

תשובה:

6 faces, 12 edges, 8 vertices

תרגיל מודרך: ניתוח קובייה

ניתוח קובייה עם מקצוע 2 ס"מ

a = b = c = 2 cm

בקובייה כל 6 הפאות הן ריבועים חופפים
$S_{f a ce} = a^{2} = 2^{2} = 4 cm^{2}$
כל 12 המקצועות שווים באורכם
$L_{e d g e} = a = 2 cm$
סך אורכי כל המקצועות
$L_{t o t a l} = 12 a = 24 cm$

תשובה:

m 6 / m ריבועים, m 12 / m מקצועותשווים

תרגילים: בואו נבחן את עצמנו

תרגיל

תרגיל 1: זיהוי תיבה

לתיבה יש ממדים a = 5, b = 5, c = 7. כמה פאות ריבוע יש בה, וכמה פאות מלבן?

תרגיל

תרגיל 2: חישוב סכום מקצועות

מה סך אורכי כל 12 המקצועות של תיבה בממדים 3 ס"מ x 4 ס"מ x 6 ס"מ?

תרגיל

תרגיל 3: אתגר - אלגברה

סך אורכי מקצועות תיבה הוא 48 ס"מ. ידוע ש-a = 3, b = 5. מה גובה התיבה (c)?

ניצבות והקבלה בתיבה

בתיבה יש קשר חזק בין מושגי הניצבות וההקבלה שלמדנו בפרק הקודם:

מקצועות מקבילים

בכל קבוצה של 4 מקצועות שווי אורך, כל שניים מהם מקבילים. לדוגמה: 4 מקצועות הגובה מקבילים זה לזה.

מקצועות ניצבים

מקצועות שנפגשים בקודקוד הם תמיד ניצבים זה לזה (יוצרים זווית ישרה). בכל קודקוד, שלושת המקצועות ניצבים זה לזה.

האם יכולים להיות שני מקצועות של תיבה שהם לא מקבילים וגם לא נפגשים?

רגע של חשיבה

אם נסתכל על חפצים מסביבנו - האם כל החפצים שנראים כמו "קופסה" הם באמת תיבות?

למה בעולם התעשייה רוב הקופסאות הן תיבות ולא כדורים או פירמידות?

פעילות: חקרו תיבה בעצמכם!

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.כמה פאות יש לתיבה?

2.מה ההבדל בין תיבה לקובייה?

לקובייה יש יותר פאות מאשר לתיבה
בקובייה כל הממדים שווים, בתיבה הם עשויים להיות שונים
לקובייה אין קודקודים
תיבה היא צורה דו-ממדית וקובייה תלת-ממדית

3.כמה מקצועות יש לתיבה?

4.כמה קודקודים יש לתיבה?

5.בתיבה עם ממדים 2 ס"מ, 3 ס"מ, 4 ס"מ, כמה מקצועות יש מכל אורך?

2 מכל אורך
3 מכל אורך
4 מכל אורך
6 מכל אורך

6.תיבה בעלת ממדים 2 ס"מ, 2 ס"מ, 2 ס"מ - מהי?

תיבה רגילה בלבד
קובייה
לא ניתן לקבוע
מלבן

7.כמה מקצועות נפגשים בכל קודקוד של תיבה?

8.בתיבה בממדים 3 x 5 x 7 ס"מ, מה סך אורכי כל המקצועות?

15 ס"מ
60 ס"מ
105 ס"מ
180 ס"מ

9.איזה משפט נכון לגבי תיבה?

כל שני מקצועות בתיבה מקבילים זה לזה
מקצועות שנפגשים בקודקוד הם תמיד ניצבים
פאות נגדיות הן תמיד סמוכות
לקובייה אין פאות נגדיות

10.סך כל המקצועות של תיבה הוא 52 ס"מ. אם a=3 ו-b=5, מה הגובה c?

3 ס"מ
5 ס"מ
8 ס"מ
13 ס"מ

מהגאומטריה השטוחה למרחב

מה זו תיבה?

שלושת הממדים של תיבה

אורך (a)

רוחב (b)

גובה (c)

חקרו תיבה תלת-ממדית בעצמכם

המרכיבים של תיבה: פאות, מקצועות וקודקודים

שלושת מרכיבי התיבה

פאה

מקצוע

קודקוד

תיבה עם קודקודים מסומנים A, B, C, D, E, F, G, H

פאות התיבה - הבנה מעמיקה

שלושה זוגות הפאות בתיבה עם ממדים a, b, c

מקצועות התיבה - הבנה מעמיקה

מקצועות התיבה עם ממדים a, b, c

קודקודים - הפינות של התיבה

דוגמאות מהחיים

תיבות מסביבנו

קופסת נעליים

ספר

חדר בבית

קוביית משחק

מכולה ימית

בניין

הקובייה - מקרה פרטי של תיבה

קובייה - כל הצלעות שוות

תיבה מול קובייה

תיבה כללית

קובייה

תרגיל מודרך: ניתוח תיבה

ניתוח התיבה 3×4 x 5

תרגיל מודרך: ניתוח קובייה

ניתוח קובייה עם מקצוע 2 ס"מ

תרגילים: בואו נבחן את עצמנו

תרגיל 1: זיהוי תיבה

תרגיל 2: חישוב סכום מקצועות

תרגיל 3: אתגר - אלגברה

ניצבות והקבלה בתיבה

מקצועות מקבילים

מקצועות ניצבים

רגע של חשיבה

פעילות: חקרו תיבה בעצמכם!

ניתוח התיבה $3 \times 4$ x 5